अतिपरवलयिक फलन

गणित में, अतिपरवलयिक फलन (hyperbolic functions) ऐसे फलन हैं जो सामान्य त्रिकोणमितीय फलनों से मिलते-जुलते किन्तु अलग फलन हैं।

A ray through the unit hyperbola $\scriptstyle x^{2}\ -\ y^{2}\ =\ 1$ in the point $\scriptstyle (\cosh \,a,\,\sinh \,a)$, where $\scriptstyle a$ is twice the area between the ray, the hyperbola, and the $\scriptstyle x$-axis. For points on the hyperbola below the $\scriptstyle x$-axis, the area is considered negative (see animated version with comparison with the trigonometric (circular) functions).

हाइपरबोलिक साइन "sinh" (/ˈsɪntʃ/ या /ˈʃaɪn/), और हाइपरबोलिक कोसाइन "cosh" (/ˈkɒʃ/), मूलभूत अतिपरवलयिक फलन हैं। इनसे हाइपरबोलिक टैन्जेन्ट "tanh" (/ˈtæntʃ/ या /ˈθæn/), हाइपरबोलिक कोसेकेन्ट "csch" या "cosech" (/ˈkoʊʃɛk/ या /ˈkoʊsɛtʃ/), हाइपरबोलिक सेकेन्ट "sech" (/ˈʃɛk/ या /ˈsɛtʃ/), तथा हाइपरबोलिक कोटैन्जेन्ट "coth" (/ˈkoʊθ/ या /ˈkɒθ/), व्युत्पन्न हुए हैं।

परिभाषा

sinh, cosh and tanh

csch, sech and coth

(a) cosh(x) is the average of e^x and e^−x

(b) sinh(x) is half the difference of e^x and e^−x

अतिपरवलयिक फलनों को कई तरह से पारिभाषित किया जाता है। एक विधि इनको इक्सपोनेन्शियल फलन के फलन के रूप में परिभाषित करती है-

• Hyperbolic sine:

$\sinh x={\frac {e^{x}-e^{-x}}{2}}={\frac {e^{2x}-1}{2e^{x}}}={\frac {1-e^{-2x}}{2e^{-x}}}.$

• Hyperbolic cosine:

$\cosh x={\frac {e^{x}+e^{-x}}{2}}={\frac {e^{2x}+1}{2e^{x}}}={\frac {1+e^{-2x}}{2e^{-x}}}.$

• Hyperbolic tangent:

$\tanh x={\frac {\sinh x}{\cosh x}}={\frac {e^{x}-e^{-x}}{e^{x}+e^{-x}}}=$

$={\frac {e^{2x}-1}{e^{2x}+1}}={\frac {1-e^{-2x}}{1+e^{-2x}}}.$

• Hyperbolic cotangent:

$\coth x={\frac {\cosh x}{\sinh x}}={\frac {e^{x}+e^{-x}}{e^{x}-e^{-x}}}=$

$={\frac {e^{2x}+1}{e^{2x}-1}}={\frac {1+e^{-2x}}{1-e^{-2x}}},\qquad x\neq 0.$

• Hyperbolic secant:

$\operatorname {sech} \,x={\frac {1}{\cosh x}}={\frac {2}{e^{x}+e^{-x}}}=$

$={\frac {2e^{x}}{e^{2x}+1}}={\frac {2e^{-x}}{1+e^{-2x}}}.$

• Hyperbolic cosecant:

$\operatorname {csch} \,x={\frac {1}{\sinh x}}={\frac {2}{e^{x}-e^{-x}}}=$

$={\frac {2e^{x}}{e^{2x}-1}}={\frac {2e^{-x}}{1-e^{-2x}}},\qquad x\neq 0.$

हाइपरबोलिक फलनों को अवकल समीकरणों के हल के रूप में भी परिभाषित किया जा सकता है। हाइपरबोलिक साइन और हाइपरबोलिक कोसाइन निम्नलिखित तन्त्र के अनन्य हल (s, c) हैं-

${\begin{aligned}c'(x)&=s(x)\\s'(x)&=c(x)\end{aligned}}$

such that s(0) = 0 and c(0) = 1.

ये फलन निमनलिखित समीकरण के अन्न्य हल भी हैं- $f''(x)=f(x),$ such that $f(0)=1,f'(0)=0,$ for the hyperbolic cosine, and $f(0)=0,f'(0)=1,$ for the hyperbolic sine.

Hyperbolic functions may also be deduced from trigonometric functions with complex arguments:

• Hyperbolic sine:

$\sinh x=-i\sin(ix)$

• Hyperbolic cosine:

$\cosh x=\cos(ix)$

• Hyperbolic tangent:

$\tanh x=-i\tan(ix)$

• Hyperbolic cotangent:

$\coth x=i\cot(ix)$

• Hyperbolic secant:

$\operatorname {sech} x=\sec(ix)$

• Hyperbolic cosecant:

$\operatorname {csch} x=i\csc(ix)$

where i is the imaginary unit with the property that $i^{2}=-1.$

The complex forms in the definitions above derive from Euler's formula.