תחום של פונקציה

פונקציה $f$ מ-$X$ ל-$Y$. קבוצת הנקודות באליפסה האדומה מייצגת את $X$, התחום של $f$.

במתמטיקה, תחום של פונקציה הוא קבוצת הערכים שהפונקציה יכולה לקבל כקלט. נהוג לסמן את התחום של הפונקציה $f$ על ידי $\operatorname {dom} (f)$, בעקבות המינוח האנגלי: Domain (דוֹמֵיְין, שמשמעותו בעברית תחום).

זהו מונח יסודי המשמש באלגברה במערכות צירים ובניתוח פונקציות מתמטיות, על מנת להגדיר עבור אילו איברים יש להחיל את הפונקציה. חלוקת התחום למקטעים משמשת לניתוח אזורי "התנהגות" של פונקציות.

הגדרה

עבור פונקציה $f\colon X\to Y$, התחום של $f$ הוא $X$, והטווח שלה הוא $Y$. התחום והטווח הם חלק מהפונקציה ולא מאפיין שלה.

במקרה ש-$X$ ו-$Y$ הן תתי-קבוצות של $\mathbb {R}$, מגדירה גרף במערכת צירים קרטזית. כלומר, ניתן לשרטט את גרף הפונקציה $f$ על שני צירים אנכיים. במקרה זה, התחום מיוצג כהטלה של גרף הפונקציה על ציר ה-$x$.

בפונקציה $f\colon X\to Y$ הקבוצה $Y$ נקראת טווח, וקבוצת הערכים שהפונקציה מוציאה נקראת תמונה. התמונה היא תמיד תת-קבוצה של הטווח. אם הן שוות אז $f$ היא פונקציה על.

ניתן לצמצם כל פונקציה לתת-קבוצה של התחום שלה. אם $A\subseteq X$ הצמצום של $f\colon X\to Y$ ל-$A$, כאשר $A\subseteq X$ ייכתב כך: $\left.f\right|_{A}\colon A\to Y$.

תחום ההגדרה

הגרף של פונקציית השורש הריבועי הממשית $f(x)={\sqrt {x}}$. התחום שלה מורכב מכל המספרים הממשיים האי-שליליים.

לעhתים פונקצייה אינה מוגדרת עבור כל ערכי התחום. למשל, כאשר פונקציה ממשית (שהטווח שלה הוא קבוצת המספרים הממשיים) ניתנת על ידי נוסחה שלא מחזירה מספר ממשי עבור חלק מהאיברים בתחום. קבוצת האיברים שעליה הפונקציה מוגדרת (כלומר מחזירה ערך השייך לטווח) נקראת תחום ההגדרה.

לדוגמה: הפונקציה $f(x)={\frac {1}{x}}$ אינה מוגדרת בנקודה שבה $x=0$. הפעלת הפונקציה עבור ערך זה תביא לחילוק באפס, והביטוי "${\frac {1}{0}}$" אינו מוגדר. לכן תחום ההגדרה של הפונקציה $f$ הוא קבוצת כל המספרים הממשיים למעט אפס, כלומר: $\mathbb {R} \setminus \{0\}$ או $\{x\in \mathbb {R} |\ x\neq 0\}$.

בהקשרים רבים, נהוג לכנות פונקציה חלקית במונח הפשוט פונקציה, ותחום ההגדרה שלה נקרא התחום שלה.

אם הנוסחה מוגדרת רק לחלק מערכי התחום, נאמר שזו "פונקציה חלקית". "פונקציה" כזו, לא ניתן להפעיל על חלק מהערכים בתחום, מבלי להגיע לביטוי שאינו מוגדר.

דוגמאות

• הפונקציה המפוצלת $f$ המוגדרת על ידי $f(x)={\begin{cases}{\frac {1}{x}}&x\not =0\\0&x=0\end{cases}}$ תחום ההגדרה שלה הוא קבוצת המספרים הממשיים ($\mathbb {R}$).
• לפונקציית השורש הריבועי $f(x)={\sqrt {x}}$ תחום ההגדרה של קבוצת המספרים האי שליליים, המסומנת על ידי $\mathbb {R} _{\geq 0}$ או הקטע $[0,\infty )$ או הקבוצה $\{x\in \mathbb {R} |\ x\geq 0\}$.
• לפונקציה הטריגונומטרית מסומנת $\tan(x)$, יש את תחום ההגדרה קבוצת כל המספרים הממשיים שאינם מהצורה ${\tfrac {\pi }{2}}+k\pi$ עבור $k$ מספר שלם כלשהו.

קישורים חיצוניים

• תחום של פונקציה, באתר MathWorld (באנגלית)