ציר רדיקלי

בגאומטריה, ציר רדיקלי של שני מעגלים הוא המקום הגאומטרי של כל הנקודות שהחזקות שלהן ביחס לשני המעגלים שוות. זהו תמיד קו ישר. לציר הרדיקלי תפקיד חשוב בתאוריה של אינוורסיה במעגל.

לכל שני מעגלים שאינם בעלי מרכז משותף יש ציר רדיקלי. הציר הרדיקלי הוא תמיד קו ישר; אם המעגלים נחתכים, זהו הישר העובר דרך נקודות החיתוך.

משפחות קואקסליות

איור 1: נציגים של שתי משפחות קואקסליות משלימות. הישר החום הוא הציר הרדיקלי של המעגלים בירוק, והישר השחור הוא הציר הרדיקלי של המעגלים בכחול. הנקודות האדומות הן נקודות הגבול של המשפחה הירוקה

נניח שהישר t הוא הציר הרדיקלי של המעגלים C1 ו-C2. מעגל C ש-t הוא הציר הרדיקלי שלו ושל C1 נקרא מעגל קואקסלי ("בעל ציר משותף") עם C1 ו-C2; קבוצת כל המעגלים האלה (לרבות C1 ו-C2) נקראת המניפה הקואקסלית (pencil of coaxal circles) של C1 ו-C2. לכל שני מעגלים במשפחה הזו יש אותו ציר רדיקלי, והמרכזים שלהם נמצאים על ישר אחד, המאונך לציר. אינוורסיה במעגל מעבירה מניפה קואקסלית למניפה קואקסלית.

תהי P נקודה על הציר הרדיקלי של שני מעגלים; ל-P יש אותה חזקה ביחס לכל אחד מהמעגלים, ואם החזקה הזו חיובית (היינו P מחוץ לאחד המעגלים, ולכן מחוץ לכולם), אז מעגל שמרכזו P ורדיוסו הוא שורש החזקה חוצה במאונך את כל המעגלים במשפחה הקואקסלית. אפשר לבחור נקודה נוספת על הציר הרדיקלי, וליצור גם סביבה מעגל החוצה במאונך את כל המעגלים במניפה. המשפחה הקואקסלית של שני המעגלים האלה משלימה למשפחה המקורית: כל מעגל מאחת המשפחות חוצה במאונך כל מעגל מן המשפחה השנייה. אם המעגלים במניפה קואקסלית אינם חוצים זה את זה, אז המעגלים במניפה המשלימה עוברים כולם דרך אותן שתי נקודות, הנקראות נקודות הגבול של המשפחה הראשונה (ואכן, ככל שהמעגל קטן יותר, כך קרוב יותר מרכזו לאחת מנקודות הגבול). ראו איור 1.

בנייה בסרגל ובמחוגה

איור 2: בניית הציר הרדיקלי (בירוק) של שני מעגלים נתונים (בכחול): מעבירים מעגל המשיק במשותף לשני המעגלים (באדום, ראו כיצד באיור 3); הציר הרדיקלי הוא הישר (בירוק) היורד מחיתוך המשיקים (הנקודה הירוקה) במאונך לישר המחבר את מרכזי המעגלים

איור 3: בניית המעגלים (באדום) המשיקים במשותף לשני מעגלים נתונים (בכחול), דרך נקודה נתונה על אחד מהם (גם כן בכחול): מסמנים את נקודות הדמיון של שני המעגלים (בירוק), ומחברים אותן אל הנקודה; שתיים מארבע נקודות החיתוך של הישרים האלו עם המעגל השני, הן נקודות השקה של מעגל העונה על הדרישה

העובדה שאפשר לבנות את הציר הרדיקלי בסרגל ובמחוגה (ראו איורים 2 ו-3) מקנה לו תפקיד מועיל בבניות גאומטריות שונות.

מרכז החזקה של שלושה מעגלים

יהיו C1,C2,C3 שלושה מעגלים שאינם קואקסליים, ואינם קונצנטריים. הצירים הרדיקליים של כל שניים מן המעגלים האלה, נפגשים בנקודה אחת הנקראת מרכז החזקה של המעגלים. בעזרת מרכז החזקה, אפשר לבנות את שני המעגלים המשיקים במשותף ל-C1,C2,C3, באופן הבא:

1. מצא את נקודות הדמיון של כל שני מעגלים.
2. העבר ישר דרך שלוש נקודות הדמיון החיצוניות (ישר זה נקרא ישר ד'לאמבר של שלושת המעגלים).
3. לכל i=1,2,3, הורד אנך מן המרכז של Ci אל ישר ד'לאמבר, ומצא על ידי אינוורסיה במעגל Ci את הנקודה הצמודה למפגש האנך עם הישר.
4. הוצא ממרכז החזקה קרניים אל שלוש הנקודות שהתקבלו. הקרניים האלה פוגשות את שלושת המעגלים בפנים ובחוץ.
5. המעגל החוסם את המשולש שקודקודיו הם נקודות המפגש הפנימיות, והמעגל החוסם את המשולש שקודקודיו הם נקודות המפגש החיצוניות, משיקים במשותף ל-C1,C2,C3.

קישורים חיצוניים

מדיה וקבצים בנושא ציר רדיקלי בוויקישיתוף

• ציר רדיקלי, באתר MathWorld (באנגלית)
• דוד פרייברט, חידושים בגאומטריה אוקלידית - תיאוריה של מרובע קמור ומעגל היוצר נקודות פסקל על צלעותיו, הוצאת אקדמון, 2021, נספח א'.