נקודת שבת

במתמטיקה, נקודת שֶׁבֶת של פונקציה היא נקודה בתחום ההגדרה של הפונקציה אשר תמונתה היא הנקודה עצמה, כלומר אם $f(x)$ היא פונקציה אז הנקודה $x_{0}$ היא נקודת שבת אם מתקיים $f(x_{0})=x_{0}$.

דוגמאות

פונקציה בעלת שלוש נקודות שבת (שהן נקודות החיתוך של הפונקציה עם הישר $y=x$)

• עבור הפונקציה $f(x)=2x$, הערך $x=0$, הוא נקודת שבת (היחידה), הואיל ו- $f(0)=2\cdot 0=0$ (וזהו הפתרון היחיד למשוואה $2x=x$).
• נקודה שאינה משנה את מיקומה כתוצאה מטרנספורמציה מרחבית. לדוגמה: בסיבוב של כדור סביב צירו, הנקודות הנמצאות על הציר נותרות במקומן, והן נקודות שבת.
• נקודות שבת "מעניינות" של פונקציה הן כאלו שאם מפעילים את הפונקציה על ערך מסוים, אחר מפעילים אותה שוב על הערך שהתקבל וכן הלאה, הולכים ומתקרבים לנקודת השבת. בניסוח פורמלי: אם עבור בחירה של $x$ הקרוב מספיק לנקודת השבת $x_{0}$, מתקיים $\lim _{n\to \infty }f^{n}(x)=x_{0}$ (כאן $f^{2}(x)=f(f(x))$ וכדומה). נקודת שבת כזו נקראת נקודת שבת יציבה.

משפטים הקשורים בנקודות שבת

• אם $f\colon [a,b]\to [a,b]$ פונקציה רציפה אז יש לה נקודת שבת בקטע $[a,b]$.
• משפט ההעתקה המכווצת על הישר הממשי: תהי $f\colon \mathbb {R} \to \mathbb {R}$. אם קיים קבוע $K<1$ כך ש-$|f(x)-f(y)|<K|x-y|$ לכל $x,y\in \mathbb {R}$, אזי יש ל-$f$ נקודת שבת אחת ויחידה.
• הרחבה של המשפט הקודם למרחב מטרי שלם כלשהו: משפט נקודת השבת של בנך נותן תנאי מספיק כדי שלפונקציה תהיה נקודת שבת אחת ויחידה, ומאפשר למצוא אותה על ידי הפעלה חוזרת של הפונקציה כמתואר לעיל.
• הרחבה של המשפט הקודם לקבוצה קומפקטית וקמורה ב-$\mathbb {R} ^{n}$ הוא משפט נקודת השבת של בראואר, המוכיח קיום של נקודת שבת במצבים מסוימים, אך לא מראה דרך מעשית למצוא אותה.
• משפט נקודת השבת של קנסטר-טרסקי: לכל העתקה מונוטונית עולה מסריג שלם לעצמו יש נקודת שבת (משפט 1 במאמר משנת 1955 של טרסקי , שם, בעמוד השני למאמר, בהערת שוליים מספר 2, טרסקי מצטט מאמר של קנסטר משנת 1928 בו הופיעה תוצאה מוקדמת יותר, שטרסקי טוען שהיא הושגה בשנת 1927 על ידו ועל ידי קנסטר).
• אם $f$ פונקציה חד-חד-ערכית ועל ו-$x_{0}$ נקודת שבת של $f$, אז היא גם נקודת שבת של $f^{-1}$.
• אם $x_{0}$ נקודת שבת של $f$ ושל $g$, אז היא גם נקודת שבת של $f\circ g$.

קישורים חיצוניים

• נקודת שבת, באתר MathWorld (באנגלית)

הערות שוליים

ערך זה הוא קצרמר בנושא מתמטיקה. אתם מוזמנים לתרום לוויקיפדיה ולהרחיב אותו.