משוואה ממעלה שישית

גרף של פונקציה ממעלה שישית, עם 6 שורשים ממשיים (חותכים את ציר x) ו-5 נקודות קריטיות.

משוואה ממעלה שישית היא משוואה מהצורה $ax^{6}+bx^{5}+cx^{4}+dx^{3}+ex^{2}+fx+g=0$, כאשר $a\neq 0$ והמקדמים $a,b,c,d,e,f,g$ יכולים להיות מספרים שלמים, מספרים רציונליים, מספרים ממשיים, מספרי מרוכבים או, באופן כללי יותר, איברים של כל שדה.

פונקציה ממעלה שישית היא פונקציה המוגדרת על ידי פולינום ממעלה שישית. משום שיש להן מעלה זוגית, היא דומה מבחינה גרפית לפונקציה ממעלה רביעית. עם זאת, לפונקציה ממעלה שישית עשויים להיות נקודות קיצון מקומיות נוספות. נגזרת של פונקציה ממעלה שישית היא פונקציה ממעלה חמישית.

מאחר שפונקציה ממעלה שישית על ידי פולינום ממעלה זוגית, יש לה את אותו הגבול כאשר הארגומנט הולך לאינסוף חיובי או שלילי. אם המקדם המוביל $a$ הוא חיובי, אז הפונקציה עולה לפלוס אינסוף משני הצדדים ולכן לפונקציה יש מינימום גלובלי. כמו כן, אם $a$ שלילי, הפונקציה יורדת עד מינוס אינסוף משני הצדדים ולכן יש לה מקסימום גלובלי.

פתרון

כמה משוואות ממעלה שישית, כמו $ax^{6}+dx^{3}+g=0$ ניתנות לפתרון באמצעות רדיקלים, אבל משוואות אחרות לא ניתנות לפתרון. בשנת 1824 הוכיח נילס הנריק אבל כי אין פתרון כללי באמצעות רדיקלים למשוואה ממעלה חמישית ומעלה. שנים ספורות לאחר מכן מצא אווריסט גלואה אפיון מלא של כל המשוואות הפולינומיות שניתנות לפתרון באמצעות רדיקלים: אלו המשוואות שחבורת גלואה המתאימה להן היא חבורה פתירה. מחקרים אלו הולידו את תורת גלואה ואת תורת החבורות. גלואה פיתח טכניקות לקביעה האם משוואה נתונה ניתנת לפתרון על ידי רדיקלים. מתורת גלואה נובע כי משוואה ממעלה שישית ניתנת לפתרון במונחים של רדיקלים, אם ורק אם חבורת הגלואה שלה נמצאת בחבורה מסדר 48, המייצבת חלוקה של קבוצת השורשים לשלוש תת-קבוצות של שני שורשים, או חבורה מסדר 72 המייצבת חלוקה של מערכת השורשים לשתי תת-קבוצות של שלושה שורשים. קיימות נוסחאות כדי לבדוק כל מקרה, ולחשב את השורשים, במקרים שהמשוואה ניתנת לפתרון. ב-1867 (בעקבות עבודתו של הרמיט על משוואה ממעלה חמישית), הראה Joubert שכל הרחבת שדות ספרבילית מממד 6, במאפיין שאינו 2, נוצרת על ידי איבר המקיים משוואה מהצורה $x^{6}+bx^{4}+cx^{2}+d(x+1)$.

משוואה כללית ממעלה שישית ניתנת לפתרון במונחים של פונקציות קמפה דה פרייט. ישנן משוואות ממעלה שישית הניתנות לפתרון על ידי פונקציה היפרגאומטרית כללית במשתנה אחד, באמצעות הגישה של פליקס קליין לפתרון משוואה ממעלה חמישית.

דוגמאות

עקומת וואט, שנחקרה בעבודה הראשונית על מנוע הקיטור, היא משוואה ממעלה שישית עם שני משתנים.

אחת השיטות לפתרון משוואה מעוקבת כוללת שינוי במשתנים כדי להשיג משוואה ממעלה שישית, שמשתניה ממעלות 6, 3 ו-0 בלבד. בדרך זו, ניתן לפתור אותה כמו משוואה ריבועית.

ראו גם

• פונקציה מעוקבת