אידיאל מקסימלי

בתורת החוגים אידיאל מקסימלי של חוג הוא אידיאל (אמיתי) שהוא מקסימלי ביחס לסדר ההכלה - כלומר, אינו מוכל באף אידיאל גדול יותר (פרט לחוג עצמו). חוג המנה ביחס לאידיאל מקסימלי הוא חוג פשוט, כלומר אין לו אף אידיאל לא טריביאלי. במקרה הקומוטטיבי, חוג המנה הוא שדה.

לפי הלמה של צורן, כל אידיאל בחוג עם יחידה (או אפילו חוג שיש בו אידמפוטנט שונה מאפס כלשהו) מוכל באידיאל מקסימלי (זהו "משפט קרול", 1929). חוג שיש לו אידיאל מקסימלי אחד בלבד נקרא חוג מקומי.

כל אידיאל מקסימלי הוא אידיאל ראשוני.

הגדרה

יהי $R$ חוג. אידיאל אמיתי $I$ הוא מקסימלי אם אין אידיאל אמיתי $J$ המכיל אותו ממש.

אידיאלים חד-צדדיים

באותו אופן ניתן להגדיר אידיאל שמאלי מקסימלי להיות אידיאל שמאלי (אמיתי) שאינו מוכל באף אידיאל שמאלי אחר. זה שקול לכך שמודול המנה $R/I$ הוא $R$-מודול שמאלי פשוט. (וכן לאידיאלים ימניים).

לאידיאלים שמאליים מקסימליים תפקיד חשוב בתורת המבנה של חוגים פרימיטיביים. חיתוך כל האידיאלים השמאליים המקסימליים הוא הרדיקל של ג'ייקובסון.

דוגמאות

בחוגים בעלי ממד קרול 1 (ובפרט, בכל חוג דדקינד), כל אידיאל ראשוני (שונה מאפס) הוא מקסימלי. לכן בחוג השלמים, האידיאלים המקסימליים הם אלו הנוצרים על ידי מספרים ראשוניים.

אם $F$ שדה סגור אלגברית, אז כל אידיאל מקסימלי של האלגברה האפינית של הפולינומים $F[\lambda _{1},\dots ,\lambda _{n}]$ הוא מן הצורה $\langle \lambda _{1}-a_{1},\dots ,\lambda _{n}-a_{n}\rangle$; בשפה גאומטרית, פירושו של דבר שכל יריעה אפינית אי-פריקה ממימד 0 היא נקודה. אם n>1, לא כל אידיאל ראשוני הוא מקסימלי.

דוגמה פתולוגית. בחוג ללא יחידה $2\mathbb {Z}$, האידיאל $4\mathbb {Z}$ הוא מקסימלי, אבל חוג המנה הוא חוג בלי יחידה בן שני איברים, שבו הריבוע של כל איבר הוא 0 (ולכן זה אינו שדה).

מקורות

• אידיאל מקסימלי, באתר MathWorld (באנגלית)
• http://www.mathreference.com/ring,maxi.html (באנגלית)
• http://planetmath.org/encyclopedia/MaximalIdeal.html (באנגלית)

קישורים חיצוניים

• אידיאל מקסימלי, באתר MathWorld (באנגלית)