חוקי קסטיליאנו

חוקי קסטיליאנו, הנקראים על שמו של קרלו אלברטו קסטיליאנו, הם עקרונות בשיטות אנרגיה בתורת האלסטיות. חוקי קסטיליאנו מבוססים על חוק שימור האנרגיה.

החוקים מתקימים בתופעות אלסטיות וליניאריות בחומרים איזוטרופיים, עבורם ניתן להשתמש בעקרון הסופרפוזיציה המכתיב כי המעוות יהיה ליניארי עם העומס. נגזרות חלקיות של פונקציית אנרגיית המעוות לפי הכוחות נותנות לפי קסטיליאנו את התזוזות של המבנה בכיוון הכוחות ונגזרות חלקיות של פונקציית אנרגיית המעוות לפי התזוזות נותנות את הכוחות.

החוק הראשון של קסטיליאנו

• אם אנרגיית המעוות $\ U$ של מבנה אלסטי מבוטאת כפונקציה של התזוזות $\ q_{i}$ אזי הנגזרת החלקית של פונקציית אנרגיית המעוות ביחס לתזוזות תתן את פונקציית הכוחות $\ Q_{i}$. בעזרת החוק הראשון של קסטיליאנו ניתן לחשב את העומסים הפועלים על המבנה אם ידועה לנו פונקציית אנרגיית המעוות כתלות בתזוזות.

$\ {\frac {\partial U}{\partial q_{i}}}=Q_{i}$

כאשר:

• $\ Q_{i}$ הוא פונקציית העומס.
• $\ q_{i}$ היא פונקציית התזוזה.
• $\ U$ היא פונקציית אנרגיית המעוות.

נהוג להציג את הכוחות בשתי משוואות, משוואה אחת עבור כוחות ומשוואה אחת עבור מומנטים:

$\ {\frac {\partial U}{\partial \Delta _{i}}}=P_{i}\quad ,\quad {\frac {\partial U}{\partial \phi _{i}}}=M_{i}$

כאשר:

• $\ P_{i}$ הוא פונקציית העומס - כוחות.
• $\ M_{i}$ הוא פונקציית העומס - מומנטים.
• $\ \phi _{i}$ היא פונקציית תזוזה זוויתית התלויה במומנטים.
• $\ \Delta _{i}$ היא פונקציית תזוזה קווית התלויה בכוחות.

החוק השני של קסטיליאנו

• אם אנרגיית המעוות $\ U$ של מבנה ליניארי אלסטי מבוטאת כפונקציה של הכוחות $\ Q_{i}$ אזי הנגזרת החלקית של פונקציית אנרגיית המעוות ביחס לכוחות תתן את פונקציית התזוזות $\ q_{i}$ בכיוון הכוחות. החוק השני הוא חוק הפוך לחוק הראשון. אם העומסים ידועים לנו, מצורת מהלך הכוחות והמומנטים ניתן לחשב את התזוזות, (ראו הדוגמה).

$\ {\frac {\partial U}{\partial Q_{i}}}=q_{i}$.

כאשר:

• $\ Q_{i}$ הוא פונקציית העומס.
• $\ q_{i}$ היא פונקציית התזוזה.
• $\ U$ היא פונקציית אנרגיית המעוות.

הסבר

נתבונן בשני גופים א', ב', בכל אחד מהם שתי נקודות a,b. בנקודות האלה פועלים כוחות בעוצמה זהה אבל בכיוון מנוגד זה לזה.

• בגוף א' הכוחות פועלים לאורך הקו המחבר בין שתי הנקודות. הנגזרת החלקית לפי הכוח, של פונקציית האנרגיה, תיתן את שינוי המרחק בין הנקודות כתוצאה מפעולת הכוחות.
• בגוף ב' הכוחות פועלים בניצב לקו המחבר בין הנקודות. זהו זוג כוחות היוצר מומנט. הנגזרת החלקית לפי הכוח, של פונקציית האנרגיה, תיתן את התזוזה הזוויתית של הקו בין הנקודות כתוצאה מפעולת המומנט.

קסטיליאנו השתמש בשיטה כדי לפתור בעיות של מבנים ובעיקר מסבכים בהם הכוחות פועלים בצמתים המחברים את המוטות. קסטיליאנו פיתח בעזרת החוק הראשון את עקרון העבודה המועטה (באנגלית Least Work Principle) בעזרתו ניתן לפתור מסבכים מורכבים.

במסבך המוראה בתרשים מתקיים לדוגמה $\ {\frac {\partial U}{\partial X_{i}}}=0$ כי אין מוט המחבר בין הצמתים. $\ X_{i}$ היא פונקציית התזוזה.

קסטיליאנו הכליל את השיטה לפתרון של גופים אלסטיים כלליים כדי לפתור בעיות בלתי מסוימות סטטית. בעיות בלתי מסוימות סטטית הן כאלה שאינן ניתנות לפתרון רק באמצעות משוואות שווי משקל כמו סכום כוחות בכיוון מסוים שווה לאפס וסכום מומנטים סביב נקודה מסוימת שווה אפס. זקוקים למשוואה נוספת כי יש יותר נעלמים מאשר משוואות. את המשוואה הנוספת כותבים על סמך עיקרון פיזיקלי נוסף כגון שימור אנרגיה ותזוזות ידועות.

דוגמה

קורה רתומה בצד אחד

חישוב שקיעה של קורה רתומה בצד אחד ומועמסת בצד השני החופשי כאשר נתונה פונקציית אנרגיית המעוות:

$\ U=\int \limits _{0}^{\theta }{\frac {M_{b}^{2}R}{2EI}}d\theta$

• $\ U$ - היא פונקציית אנרגיית המעוות.
• $\ M_{b}$ - הוא מומנט הכפיפה הפועל על הקורה.
• $\ E$ - הוא מודול האלסטיות של חומר הקורה.
• $\ I$ - הוא מומנט ההתמד של השטח.
• $\ R$ - הוא רדיוס העקמומיות של הקורה.
• $\ \theta$ - היא זווית העקמומיות של הקורה.

$\ {\frac {\partial U}{\partial W}}={\frac {\partial U}{\partial M_{b}}}{\frac {\partial M_{b}}{\partial W}}$

$\ {\frac {\partial U}{\partial W}}=\int \limits _{0}^{L}{\frac {M_{b}}{EI}}({\frac {\partial M_{b}}{\partial W}})dx$

• $\ W$ - הוא כח הפועל בקצה החופשי של הקורה.

$\ {\frac {\partial M_{b}}{\partial W}}=x$ ; $\ M_{b}=Wx$

• $\ y$ - הוא שקיעת הקצה החופשי של הקורה הרתומה בהשפעת כח אנכי $\ W$:

$\ y={\frac {\partial U}{\partial W}}=\int \limits _{0}^{L}{\frac {Wx}{EI}}xd\ x={\frac {W}{EI}}\int \limits _{0}^{L}x^{2}d\ x={\frac {WL^{3}}{3EI}}$

לקריאה נוספת

• Stephen P. Timoshenko and J.N. Goodier, Theory of Elasticity, McGraw Hill 1970 3rd edition. pp 254 - 258.,
• Alexander Blake, Practival Stress Analysis ib Engineering Design Marcel Dekker Inc, 1990. ISBN 0-8247-8152-x
• Joseph Shigley, Mechanical Engineering Design, McGraw Hill 1983. ISBN 0-07-056888-X pp 135 - 139.
• Stephen P. Timoshenko, History of Strength of Materials, Dover 1983. pp 288 - 293
• Castigliano, Carlo Aberto, Théorie de l'équilibre des systèmes élastiques et ses applications. Nero, Turin 1879

---

קישורים חיצוניים

• הביוגרפיה באנגלית של קארלו אלברטו קסטיליאנו
• חוקי קסטיליאנו בוויקי ספרים באנגלית