Teoría da representación

A teoría da representación é unha rama das matemáticas que estudas as estruturas alxébricas abstractas representando os seus elementos como transformación lineares de espazos vectoriais e estuda os módulos sobre esas estruturas. En esencia, unha representación converte un obxecto alxébrico abstracto nun ente máis concreto describindo os seus elementos mediante matrices e as súas operacións en termos de suma e produto de matrices. Os obxectos alxébricos que poden ter estas descricións inclúen os grupos, as álxebras asociativas e a álxebra de Lie. O primeiro e máis destacado destes obxectos é a teoría de representación de grupo, na que os elementos dun grupo se representan mediante matrices invertibles de xeito que a operación do grupo é a multiplicación de matrices.

A teoría da representación é un método útil porque reduce problemas da álxebra abstracta a problemas da álxebra linear, materia ben coñecida. Ademais, o espazo vectorial no que un grupo se representa pode ser infinito-dimensional, permitindo por exemplo que for un espazo de Hilbert, e poden aplicarse logo métodos da análise matemática. A teoría da representación tamén é importante na Física porque por exemplo describe como un grupo de simetría dun sistema físico afecta as solucións das ecuacións que describen o sistema.

A teoría da representación aparece en varios campos das matemáticas por dúas razóns. Primeiro, as aplicacións da teoría son variadas: Ademais do seu impacto na álxebra a teoría da representación:

• aclara e xeneraliza a análise de Fourier a través da análise harmónica,
• conecta coa xeometría mediante a teoría dos invariantes e o programa Erlangen,
• ten impacto na teoría de números a través das formas automórficas e o programa Langlands.

En segundo lugar, hai diferentes aproximacións á teoría da representación. Os mesmos obxectos poden estudarse empregando métodos da xeometría alxébrica, a teoría de módulos, a teoría de módulos analítica, a xeometría diferencial, a teoría dos operadores, a combinatoria alxébrica e a topoloxía.

O éxito da teoría da representación deu lugar a numerosas xeneralizacións. Unha das máis xerais é a teoría das categorías Os obxectos alxébricos sobre os que se aplica a teoría poden ser vistos como tipos particulares de categoría e as representacións como funtores da categoría dos obxectos á categoría dos espazos vectoriais. Isto apunta a dúas xeneralizacións obvias: primeiro, os obxectos alxébricos poden substituírse por categorías máis xerais; segundo, a categoría obxectivo dos espazos vectoriais pode substituírse por outras categorías máis coñecidas.

Definicións e conceptos

Sexa V un espazo vectorial sobre un corpo K. Por exemplo, supóñase que V é Rⁿ ou Cⁿ, espazo n-dimensional estándar de vectores columna sobre os números reais ou os complexos respectivamente. Neste caso, a idea da teoría da representación é facer álxebra abstracta empregando matrices n×n de números reais ou complexos.

Hai tres principais tipos de obxectos alxébricos para os que pode facerse isto: grupos, álxebras asociativas e álxebras de Lie.

• O conxunto de todas as matrices invertibles n×n é un grupo co produto de matrices e a teoría de representación de grupo analiza un grupo describindo ("representando") os seus elementos en termos de matrices invertibles.
• A suma e multiplicación de matrices fai que o conxunto de todas as matrices n×n sexa unha álxebra asociativa e polo tanto correspóndese coa teoría de representación de álxebras asociativas.

Se substituímos a multiplicación de matrices polo conmutador de matrices MN − NM, entón as matrices n×n convértese nunha álxebra de Lie, pasando á teoría de representación de álxebras de Lie.

Isto xeneralízase para calquera corpo K e calquera espazo vectorial V sobre F con aplicacións lineares substituíndo as matrices e a composición substituíndo á multiplicación de matrices: hai un grupo GL(V,F) de automorfismos de V, unha álxebra asociativa End_F(V) de todos os endomorfismos de V e a álxebra de Lie correspondente gl(V,F).

Véxase tamén

Bibliografía

• Alperin, J. L. (1986). Local Representation Theory: Modular Representations as an Introduction to the Local Representation Theory of Finite Groups. Cambridge University Press. ISBN 978-0-521-44926-7. .
• Bargmann, V. (1947). Irreducible unitary representations of the Lorenz group. Annals of Mathematics 48. pp. 568–640. JSTOR 1969129. doi:10.2307/1969129. .
• Borel, Armand (2001). Essays in the History of Lie Groups and Algebraic Groups. American Mathematical Society. ISBN 978-0-8218-0288-5. .
• Borel, Armand; Casselman, W. (1979). Automorphic Forms, Representations, and L-functions. American Mathematical Society. ISBN 978-0-8218-1435-2. .
• Curtis, Charles W.; Reiner, Irving (1962). Representation Theory of Finite Groups and Associative Algebras. John Wiley & Sons (Reedition 2006 by AMS Bookstore). ISBN 978-0-470-18975-7. .
• Gelbart, Stephen (1984). An Elementary Introduction to the Langlands Program. Bulletin of the American Mathematical Society 10. pp. 177–219. doi:10.1090/S0273-0979-1984-15237-6. .
• Folland, Gerald B. (1995). A Course in Abstract Harmonic Analysis. CRC Press. ISBN 978-0-8493-8490-5. .
• Goodman, Roe; Wallach, Nolan R. (1998). Representations and Invariants of the Classical Groups. Cambridge University Press. ISBN 978-0-521-66348-9. .
• Gordon, James; Liebeck, Martin (1993). Representations and Characters of Finite Groups. Cambridge: Cambridge University Press. ISBN 978-0-521-44590-0. .
• Hall, Brian C. (2015). Lie Groups, Lie Algebras, and Representations: An Elementary Introduction. Graduate Texts in Mathematics 222 (2nd ed.). Springer. 
• Helgason, Sigurdur (1978). Differential Geometry, Lie groups and Symmetric Spaces. Academic Press. ISBN 978-0-12-338460-7. 
• Humphreys, James E. (1972a). Introduction to Lie Algebras and Representation Theory. Birkhäuser. ISBN 978-0-387-90053-7. .
• Humphreys, James E. (1972b). Linear Algebraic Groups. Graduate Texts in Mathematics 21. Berlín, Nova York: Springer-Verlag. ISBN 978-0-387-90108-4. MR 0396773. 
• Jantzen, Jens Carsten (2003). Representations of Algebraic Groups. American Mathematical Society. ISBN 978-0-8218-3527-2. .
• Kac, Victor G. (1977). Lie superalgebras. Advances in Mathematics 26. pp. 8–96. doi:10.1016/0001-8708(77)90017-2. .
• Kac, Victor G. (1990). Infinite Dimensional Lie Algebras (3rd ed.). Cambridge University Press. ISBN 978-0-521-46693-6. .
• Knapp, Anthony W. (2001). Representation Theory of Semisimple Groups: An Overview Based on Examples. Princeton University Press. ISBN 978-0-691-09089-4. .
• Kim, Shoon Kyung (1999). Group Theoretical Methods and Applications to Molecules and Crystals: And Applications to Molecules and Crystals. Cambridge University Press. ISBN 978-0-521-64062-6. .
• Kostrikin, A. I.; Manin, Yuri I. (1997). Linear Algebra and Geometry. Taylor & Francis. ISBN 978-90-5699-049-7. .
• Lam, T. Y. (1998). Representations of finite groups: a hundred years. Notices of the AMS 45 (American Mathematical Society). pp. 361–372 (Part I), 465–474 (Part II). .
• Yurii I. Lyubich. Introduction to the Theory of Banach Representations of Groups. Translated from the 1985 Russian-language edition (Kharkov, Ukraine). Birkhäuser Verlag. 1988.
• Mumford, David; Fogarty, J.; Kirwan, F. (1994). Geometric invariant theory. Ergebnisse der Mathematik und ihrer Grenzgebiete (2) [Results in Mathematics and Related Areas (2)] 34 (3rd ed.). Berlín, Nova York: Springer-Verlag. ISBN 978-3-540-56963-3. MR 0214602(1st ed. 1965). 
• Olver, Peter J. (1999). Classical invariant theory. Cambridge: Cambridge University Press. ISBN 0-521-55821-2. .
• Peter, F.; Weyl, Hermann (1927). Die Vollständigkeit der primitiven Darstellungen einer geschlossenen kontinuierlichen Gruppe. Mathematische Annalen 97. pp. 737–755. doi:10.1007/BF01447892. Arquivado dende o orixinal o 19 de agosto de 2014. Consultado o 10 de xuño de 2017. .
• Pontrjagin, Lev S. (1934). The theory of topological commutative groups. Annals of Mathematics 35 (Annals of Mathematics). pp. 361–388. JSTOR 1968438. doi:10.2307/1968438. .
• Sally, Paul; Vogan, David A. (1989). Representation Theory and Harmonic Analysis on Semisimple Lie Groups. American Mathematical Society. ISBN 978-0-8218-1526-7. .
• Serre, Jean-Pierre (1977). Linear Representations of Finite Groups. Springer-Verlag. ISBN 978-0387901909. .
• Sharpe, Richard W. (1997). Differential Geometry: Cartan's Generalization of Klein's Erlangen Program. Springer. ISBN 978-0-387-94732-7. .
• Simson, Daniel; Skowronski, Andrzej; Assem, Ibrahim (2007). Elements of the Representation Theory of Associative Algebras. Cambridge University Press. ISBN 978-0-521-88218-7. .
• Sternberg, Shlomo (1994). Group Theory and Physics. Cambridge University Press. ISBN 978-0-521-55885-3. .
• Tung, Wu-Ki (1985). Group Theory in Physics (1st ed.). New Jersey, Londres, Singapur, Hong Kong: World Scientific. ISBN 978-9971966577. 
• Weyl, Hermann (1928). Gruppentheorie und Quantenmechanik (The Theory of Groups and Quantum Mechanics, translated H.P. Robertson, 1931 ed.). S. Hirzel, Leipzig (reprinted 1950, Dover). ISBN 978-0-486-60269-1. .
• Weyl, Hermann (1946). The Classical Groups: Their Invariants and Representations (2nd ed.). Princeton University Press (reprinted 1997). ISBN 978-0-691-05756-9. .
• Wigner, Eugene P. (1939). On unitary representations of the inhomogeneous Lorentz group. Annals of Mathematics 40 (Annals of Mathematics). pp. 149–204. JSTOR 1968551. doi:10.2307/1968551. .

Ligazóns externas

• Representation Theory (en inglés)