Sumatorio

En matemáticas, o sumatorio ${\Big (}\sum {\Big )}$ é a suma dunha secuencia de números, chamadas sumandos; o resultado é a súa suma ou total. Ademais dos números, tamén se poden sumar outros tipos de valores: funcións, vectores, matrices, polinomios e, en xeral, elementos de calquera tipo de obxectos matemáticos sobre os que se define unha operación denotada como "+".

Os sumatorios de secuencias infinitas chámanse series. Implican o concepto de límite, e non se consideran neste artigo.

Para sumas longas e sumatorios de lonxitude variable é un problema común atopar formas pechadas para o resultado. Por exemplo,

$\sum _{i=1}^{n}i={\frac {n(n+1)}{2}}.$

Notación

O símbolo do sumatorio

A notación matemática usa a letra grega grega maiúscula sigma para representar de forma compacta a suma de moitos termos similares, por exemplo:

$\sum _{i\mathop {=} m}^{n}a_{i}=a_{m}+a_{m+1}+a_{m+2}+\cdots +a_{n-1}+a_{n}$.

Onde i é o índice da suma; a_i é unha variable indexada que representa cada termo da suma; m é o índice inferior da suma e n é o índice superior da suma. Por tanto no exemplo de enriba a suma irá desde o elemento número m ata o elmento número n indo o índice aumentando dun en un.

Isto lese como "suma de a_i, de i igual a m ata i igual a n".

Un exemplo que mostra a suma de algúns cadrados consecutivos:

$\sum _{i=3}^{6}i^{2}=3^{2}+4^{2}+5^{2}+6^{2}=86.$

E outro exemplo é a suma dos primeiros n números da secuencia de Fibonacci

$\sum _{i=0}^{n}f_{i}=f_{n+2}-1.$

Ás veces o índice e os límites dos índices do sumatorio omítense da definición do sumatorio se o contexto é suficientemente claro. Isto aplícase especialmente cando o índice vai de 1 a n. Por exemplo, pódese escribir que:

$\sum a_{i}^{2}=\sum _{i=1}^{n}a_{i}^{2}.$

Outro xeito é poñer a condición do índice toda no lado inferior, por exemplo:

$\sum _{0\leq k<100}f(k)$.

Tamén se pode expresar como o percorrido polos elementos dun conxunto:

$\sum _{x\mathop {\in } S}f(x)$ é a suma de $f(x)$ sobre todos os elementos $x$ no conxunto $S$.

$\sum _{d\,|\,n}\;\mu (d)$ é a suma de $\mu (d)$ sobre todos os números enteiros positivos $d$ que dividen $n$.

Tamén hai formas de xeneralizar o uso de moitos signos sigma. Por exemplo,

$\sum _{i,j}$ é o mesmo que $\sum _{i}\sum _{j}.$

Unha notación similar úsase para o produto dunha secuencia, usando ${\textstyle \prod }$, que é unha forma ampliada da letra maiúscula grega pi.

Un sumatorio alterno de sumas e restas podemos definilo como:

$\sum _{i=0}^{n}(-1)^{n}a_{i}.$

Cálculo de diferenzas finitas

Dada unha función f que se define sobre os enteiros do intervalo [m, n], cúmprese a seguinte ecuación:

$f(n)-f(m)=\sum _{i=m}^{n-1}(f(i+1)-f(i)).$

Esta coñécese como serie telescópica e é o análogo do teorema fundamental do cálculo no cálculo de diferenzas finitas, que afirma que:

$f(n)-f(m)=\int _{m}^{n}f'(x)\,dx,$ onde

$f'(x)=\lim _{h\to 0}{\frac {f(x+h)-f(x)}{h}}$ é a derivada de f.

Un exemplo de aplicación da ecuación anterior é o seguinte:

$n^{k}=\sum _{i=0}^{n-1}\left((i+1)^{k}-i^{k}\right).$

Usando o teorema binomial, isto pódese reescribir como:

$n^{k}=\sum _{i=0}^{n-1}{\biggl (}\sum _{j=0}^{k-1}{\binom {k}{j}}i^{j}{\biggr )}.$

A fórmula anterior úsase máis habitualmente para inverter o operador diferenza $\Delta$, definido por:

$\Delta (f)(n)=f(n+1)-f(n),$

onde f é unha función definida nos enteiros non negativos. Así, dada tal función f, o problema é calcular a antidiferenza de f, unha función $F=\Delta ^{-1}f$ tal que $\Delta F=f$. É dicir, $F(n+1)-F(n)=f(n).$ Esta función defínese ata a adición dunha constante, e pódese escoller como

$F(n)=\sum _{i=0}^{n-1}f(i).$

Non sempre hai unha expresión en forma pechada para tal suma, mais a fórmula de Faulhaber proporciona unha forma pechada no caso en que $f(n)=n^{k}$ e, por linearidade, para cada función polinómica de n.

Aproximación por integrais definidas

Moitas aproximacións deste tipo pódense obter mediante a seguinte conexión entre sumas e integrais, que vale para calquera función crecente f:

$\int _{s=a-1}^{b}f(s)\ ds\leq \sum _{i=a}^{b}f(i)\leq \int _{s=a}^{b+1}f(s)\ ds.$

e para calquera función decrecente f:

$\int _{s=a}^{b+1}f(s)\ ds\leq \sum _{i=a}^{b}f(i)\leq \int _{s=a-1}^{b}f(s)\ ds.$

Para aproximacións máis xerais, consulte a fórmula de Euler-Maclaurin.

Para sumatorios nos que o sumando está dado (ou pode ser interpolado) por unha función integrable do índice, o sumatorio pode interpretarse como unha suma de Riemann que se produce na definición da integral definida correspondente. Polo tanto, pódese esperar que, por exemplo,

${\frac {b-a}{n}}\sum _{i=0}^{n-1}f\left(a+i{\frac {b-a}{n}}\right)\approx \int _{a}^{b}f(x)\ dx,$

xa que o lado dereito é por definición o límite para $n\to \infty$ do lado esquerdo. Porén, para unha suma dada n é fixo, non tende a infinito, e pouco se pode dicir sobre o erro na aproximación anterior sen presupostos adicionais sobre f: está claro que para funcións con oscilacións a grande escala a suma de Riemann pode estar arbitrariamente lonxe da integral de Riemann.

Identidades

As fórmulas seguintes implican sumas finitas; para sumas infinitas ou sumas finitas de expresións que impliquen funcións trigonométricas ou outras funcións transcendentais, consulte a lista de series matemáticas.

Identidades xerais

$\sum _{n=s}^{t}C\cdot f(n)=C\cdot \sum _{n=s}^{t}f(n)\quad$ (distributiva).

$\sum _{n=s}^{t}f(n)\pm \sum _{n=s}^{t}g(n)=\sum _{n=s}^{t}\left(f(n)\pm g(n)\right)\quad$ (conmutativa e asociativa).

$\sum _{n=s}^{t}f(n)=\sum _{n=s+p}^{t+p}f(n-p)\quad$ (desprazamento do índice).

$\sum _{n\in B}f(n)=\sum _{m\in A}f(\sigma (m)),\quad$ (bixección σ dun conxunto finito A nun conxunto B, mudar o índice, xeneraliza a fórmula precedente).

$\sum _{n=s}^{t}f(n)=\sum _{n=s}^{j}f(n)+\sum _{n=j+1}^{t}f(n)\quad$ (subdividir unha suma, usando asociatividade).

$\sum _{n=a}^{b}f(n)=\sum _{n=0}^{b}f(n)-\sum _{n=0}^{a-1}f(n)\quad$ (outra variante da anterior).

$\sum _{n=s}^{t}f(n)=\sum _{n=0}^{t-s}f(t-n)$.

$\sum _{n=0}^{t}f(n)=\sum _{n=0}^{t}f(t-n)$.

$\sum _{i=k_{0}}^{k_{1}}\sum _{j=l_{0}}^{l_{1}}a_{i,j}=\sum _{j=l_{0}}^{l_{1}}\sum _{i=k_{0}}^{k_{1}}a_{i,j}\quad$ (conmutatividade e asociatividade).

$\sum _{k\leq j\leq i\leq n}a_{i,j}=\sum _{i=k}^{n}\sum _{j=k}^{i}a_{i,j}=\sum _{j=k}^{n}\sum _{i=j}^{n}a_{i,j}=\sum _{j=0}^{n-k}\sum _{i=k}^{n-j}a_{i+j,i}\quad$ (outra aplicación de conmutatividade e asociatividade).

$\sum _{n=2s}^{2t+1}f(n)=\sum _{n=s}^{t}f(2n)+\sum _{n=s}^{t}f(2n+1)\quad$ (subdividir o sumatorio en índices pares e impares).

$\sum _{n=2s+1}^{2t}f(n)=\sum _{n=s+1}^{t}f(2n)+\sum _{n=s+1}^{t}f(2n-1)\quad$ (subdividir unha suma en partes pares e impares, para índices impares).

${\biggl (}\sum _{i=0}^{n}a_{i}{\biggr )}{\biggl (}\sum _{j=0}^{n}b_{j}{\biggr )}=\sum _{i=0}^{n}\sum _{j=0}^{n}a_{i}b_{j}\quad$ (distributiva).

$\sum _{i=s}^{m}\sum _{j=t}^{n}{a_{i}}{c_{j}}={\biggl (}\sum _{i=s}^{m}a_{i}{\biggr )}{\biggl (}\sum _{j=t}^{n}c_{j}{\biggr )}\quad$ (A distributividade permite a factorización).

$\sum _{n=s}^{t}\log _{b}f(n)=\log _{b}\prod _{n=s}^{t}f(n)$.

$C^{\sum \limits _{n=s}^{t}f(n)}=\prod _{n=s}^{t}C^{f(n)}$.

$\sum _{m=0}^{k}\sum _{n=0}^{m}f(m,n)=\sum _{m=0}^{k}\sum _{n=m}^{k}f(n,m),\quad$ para calquera función ${\textstyle f}$ de ${\textstyle \mathbb {Z} \times \mathbb {Z} }$.

Potencias e logaritmo das progresións aritméticas

$\sum _{i=1}^{n}c=nc\quad$ para todo c que non depende de i.

$\sum _{i=0}^{n}i=\sum _{i=1}^{n}i={\frac {n(n+1)}{2}}$.

$\sum _{i=1}^{n}(2i-1)=n^{2}\qquad$ (Suma dos primeiros números naturais impares).

$\sum _{i=0}^{n}2i=n(n+1)\qquad$ (Suma dos primeiros números naturais pares).

$\sum _{i=1}^{n}\log i=\log n!\qquad$ (A suma dos logaritmos é o logaritmo do produto).

$\sum _{i=0}^{n}i^{2}=\sum _{i=1}^{n}i^{2}={\frac {n(n+1)(2n+1)}{6}}={\frac {n^{3}}{3}}+{\frac {n^{2}}{2}}+{\frac {n}{6}}$.

$\sum _{i=0}^{n}i^{3}={\biggl (}\sum _{i=0}^{n}i{\biggr )}^{2}=\left({\frac {n(n+1)}{2}}\right)^{2}={\frac {n^{4}}{4}}+{\frac {n^{3}}{2}}+{\frac {n^{2}}{4}}\qquad$ (Teorema de Nicómaco)

Índice do sumatorio en expoñentes

Nos seguintes sumatorios, asúmese que a é diferente de 1.

$\sum _{i=0}^{n-1}a^{i}={\frac {1-a^{n}}{1-a}}$ (suma dunha progresión xeométrica).

$\sum _{i=0}^{n-1}{\frac {1}{2^{i}}}=2-{\frac {1}{2^{n-1}}}$ (caso especial para a = 1/2).

$\sum _{i=0}^{n-1}ia^{i}={\frac {a-na^{n}+(n-1)a^{n+1}}{(1-a)^{2}}}$ (a veces a derivada con respecto a a da progresión xeométrica).

${\begin{aligned}\sum _{i=0}^{n-1}\left(b+id\right)a^{i}&=b\sum _{i=0}^{n-1}a^{i}+d\sum _{i=0}^{n-1}ia^{i}\\&=b\left({\frac {1-a^{n}}{1-a}}\right)+d\left({\frac {a-na^{n}+(n-1)a^{n+1}}{(1-a)^{2}}}\right)\\&={\frac {b(1-a^{n})-(n-1)da^{n}}{1-a}}+{\frac {da(1-a^{n-1})}{(1-a)^{2}}}\end{aligned}}$

(suma dunha secuencia aritmético-xeométrica)

Coeficientes binomiais e factoriais

Existen moitas identidades con sumatorios que implican coeficientes binomiais. Algunhas das máis básicas son as seguintes.

Implicando o teorema do binomio

$\sum _{i=0}^{n}{n \choose i}a^{n-i}b^{i}=(a+b)^{n},$ o teorema do binomio.

$\sum _{i=0}^{n}{n \choose i}=2^{n},$ caso especial onde a = b = 1.

$\sum _{i=0}^{n}{n \choose i}p^{i}(1-p)^{n-i}=1$, o caso especial onde p = a = 1 − b, que, para $0\leq p\leq 1,$ expresa a suma da distribución binomial.

$\sum _{i=0}^{n}i{n \choose i}=n(2^{n-1}),$ o valor en a = b = 1 da derivada con respecto a a do teorema do binomio.

$\sum _{i=0}^{n}{\frac {n \choose i}{i+1}}={\frac {2^{n+1}-1}{n+1}},$ o valor en a = b = 1 da antiderivada con respecto a a do teorema do binomio.

Implicando números de permutación

Nos seguintes sumatorios, ${}_{n}P_{k}$ é o número de k-permutacións de n.

$\sum _{i=0}^{n}{}_{i}P_{k}{n \choose i}={}_{n}P_{k}(2^{n-k})$

$\sum _{i=1}^{n}{}_{i+k}P_{k+1}=\sum _{i=1}^{n}\prod _{j=0}^{k}(i+j)={\frac {(n+k+1)!}{(n-1)!(k+2)}}$

$\sum _{i=0}^{n}i!\cdot {n \choose i}=\sum _{i=0}^{n}{}_{n}P_{i}=\lfloor n!\cdot e\rfloor ,\quad n\in \mathbb {Z} ^{+}$, onde e $\lfloor x\rfloor$ denota a función chan.

Outros

$\sum _{k=0}^{m}{\binom {n+k}{n}}={\binom {n+m+1}{n+1}}$

$\sum _{i=k}^{n}{i \choose k}={n+1 \choose k+1}$

$\sum _{i=0}^{n}i\cdot i!=(n+1)!-1$

$\sum _{i=0}^{n}{m+i-1 \choose i}={m+n \choose n}$

$\sum _{i=0}^{n}{n \choose i}^{2}={2n \choose n}$

$\sum _{i=0}^{n}{\frac {1}{i!}}={\frac {\lfloor n!\;e\rfloor }{n!}}$

Números harmónicos

$\sum _{i=1}^{n}{\frac {1}{i}}=H_{n}\quad$ (o n-ésimo número harmónico )

$\sum _{i=1}^{n}{\frac {1}{i^{k}}}=H_{n}^{k}\quad$ (o número harmónico xeneralizado)

Véxase tamén

Bibliografía

• Cajori, Florian (1929). A History Of Mathematical Notations Volume II. Open Court Publishing. ISBN 978-0-486-67766-8. 

Outros artigos

• Notación pi maiúscula.
• Sumatorio por partes