Integral de Riemann

Integral de Riemann para funcións dunha variable real

Para funcións dunha única variable real, a integral de Riemann permite calcular áreas como límite de sumas de rectángulos. En primeiro lugar definimos o concepto de suma de Riemann, que formaliza o concepto de sumas de rectángulos relativos á funcións dunha variable, e de forma natural pasamos á definición de funcións Riemann-integrables co paso ao límite destas sumas.

Sumas de Riemann

Consideremos unha función $f\colon [a,b]\subset \mathbb {R} \to \mathbb {R}$ con dominio un intervalo real non dexenerado. Dada unha partición deste intervalo, isto é, un conxunto finito ${\mathcal {P}}=\{x_{0},x_{1},\ldots ,x_{n}\}$ con $a=x_{0}<x_{1}<\cdots <x_{n}=b$, definimos a suma de Riemann da función $f$ relativa á partición ${\mathcal {P}}$ como calquera número real obtido como $$S({\mathcal {P}},f)=\sum _{k=1}^{n}f(t_{k})\ (x_{k}-x_{k-1}),$$onde para cada índice temos que $t_{k}\in [x_{k-1},x_{k}],\ k=1,\ldots ,n$. Existen infinidade de sumas de Riemann da función $f$ relativa á partición ${\mathcal {P}}$, dependendo da escolla dos puntos $t_{k},\ k=1,\ldots ,n$.

Cada sumando da suma de Riemann representa a área (con signo) do rectángulo de base $x_{k}-x_{k-1}$ e altura $f(t_{k})$. Isto implica que se a función $f$ é non negativa, o resultado da suma de Riemann será a suma (positiva) das áreas de todos estes rectángulos, pero se a función $f$ toma valores negativos e ocorre que $f(t_{k})<0$ para algún $k=1,\ldots ,n$, o sumando correspondente tería un peso negativo na suma total.

Funcións Riemann-integrables

Dicimos que unha función de variable real $f\colon {\mathcal {D}}\supset [a,b]\to \mathbb {R}$ é Riemann-integrable se existe un (único) número real ${\mathcal {I}}$ tal que para cada $\varepsilon >0$ existe unha partición ${\mathcal {P}}_{\varepsilon }$ tal que $|S({\mathcal {P}},f,\{t_{k}\})-{\mathcal {I}})|<\varepsilon$, para calquera partición do intervalo $[a,b]$ cumprindo ${\mathcal {P}}\supset {\mathcal {P}}_{\varepsilon }$ e para calquera escolla dos puntos $t_{k}$. O número real ${\mathcal {I}}$ chámase integral de Riemann de $f$, e denotámolo como $\int _{a}^{b}f$.

Podemos definir a norma da partición ${\mathcal {P}}$ como o número real $\|{\mathcal {P}}\|=\max _{k=1,\ldots ,n}\{x_{k}-x_{k-1}\}$. Deste xeito, podemos dicir de forma equivalente que unha función $f$ é Riemann-integrable se existe un (único) número real ${\mathcal {I}}$ tal que $\lim _{\|{\mathcal {P}}\|\to 0}S({\mathcal {P}},f)={\mathcal {I}}$.

Interpretación xeométrica da integral de Riemann

Para funcións non negativas, a integral de Riemann representa a área da rexión comprendida entre a gráfica da función a integral e o eixo de abscisas entre os extremos do intervalo de integración $[a,b]$.

Véxase tamén

Bibliografía

• Shilov, G. E., and Gurevich, B. L., 1978. Integral, Measure, and Derivative: A Unified Approach, Richard A. Silverman, trans. Dover Publications. ISBN 0-486-63519-8.
• Apostol, Tom (1974). Mathematical Analysis. Addison-Wesley. 

Outros artigos

• Integral
• Función medible

Ligazóns externas

• Riemann Integral.