Esfera de Riemann
![]() |
fig.1: Proxección estereográfica do plano complexo estendido sobre a "esfera de Riemann". |
![]() |
fig.2: A "esfera de Riemann" pode visualizarse como o plano complexo envolto arredor dunha esfera. |
En matemáticas, a esfera de Riemann (ou plano complexo estendido), chamada así en honor ao matemático do século XIX Bernhard Riemann, é unha esfera obtida do plano complexo mediante a adición dun punto do infinito. A esfera é a representación xeométrica dos números complexos estendidos, denotado como ou ,[1] (véxase fig.1 e fig.2), que consiste nos números complexos ordinarios xunto co símbolo para representar o infinito.
Os números complexos estendidos son comúns na análise complexa porque permiten a división por cero nalgunha circunstancias, no sentido de facer expresións ben definidas como:
Por exemplo, calquera función racional sobre o plano complexo pode estenderse como unha función continua sobre a esfera de Riemann, cos polos da función racional mapeados ao infinito. Máis xeralmente, calquera función meromorfa pode pensarse como unha función continua con contradominio a esfera de Riemann.
En xeometría, a esfera de Riemann é o exemplo típico dunha superficie de Riemann e unha das variedades complexas máis simples. En xeometría proxectiva, a esfera pode pensarse como a recta proxectiva complexa , o espazo proxectivo de todas as rectas complexas en . Como con calquera superficie de Riemann compacta, a esfera tamén pode verse como unha curva alxébrica proxectiva, sendo un exemplo fundamental da xeometría alxébrica. Tamén ten utilidade noutras disciplinas que dependen da análise e da xeometría, como pode ser a mecánica cuántica e outras ramas da física.
Notas
[editar | editar a fonte]- ↑ Na esfera de Riemann o punto do infinito representa o horizonte infinito do plano complexo, é un infinito positivo tal que permite que a proxección do plano complexo se peche sobre esa esfera.
Véxase tamén
[editar | editar a fonte]Outros artigos
[editar | editar a fonte]Bibliografía
[editar | editar a fonte]- Brown, James; Churchill, Ruel (1989). Complex Variables and Applications (en inglés). Nova York: McGraw-Hill. ISBN 0070109052.
- Griffiths, Phillip; Harris, Joseph (1978). Principles of Algebraic Geometry (en inglés). John Wiley & Sons. ISBN 0-471-32792-1.
- Penrose, Roger (2005). The Road to Reality (en inglés). Nova York: Knopf. ISBN 0-679-45443-8.
- Rudin, Walter (1987). Real and Complex Analysis (en inglés). Nova York: McGraw-Hill. ISBN 0071002766.
- Riemann Sphere