Sistema non linear

Nas matemáticas, os sistemas non lineares representan sistemas cuxo comportamento non é expresable como a suma dos comportamentos dos seus descriptores. Máis formalmente, un sistema físico, matemático ou doutro tipo é non linear cando as ecuacións de movemento, evolución ou comportamento que regulan o seu comportamento son non lineares. En particular, o comportamento de sistemas non lineares non está suxeito ó principio de superposición, como o é un sistema lineal.

A linearidade dun sistema permite ós investigadores facer certas suposicións matemáticas e aproximacións, permitindo un cálculo máis sinxelo dos resultados. Xa que os sistemas non lineares non son iguais á suma das súas partes, en xeral son difíciles (ou imposibles) de modelar, e os seus comportamentos con respecto a unha variable dada (por exemplo, o tempo) é moi difícil de predicir.

Entre os sistemas non lineares atópanse fenómenos como os efectos do caos, atractores estraños e ondas raras. Aínda que algúns sistemas non lineares e ecuacións de interese xeral foron extensamente estudados, a vasta maioría son mal comprendidos.

Contexto

Sistemas lineares

(Ver Aplicación linear)

En matemáticas unha función linear é aquela que satisfai as seguintes propiedades:

Aditividade: $f(x+y)=f(x)+f(y)\$
Homoxeneidade: $f(\alpha \,x)=\alpha \,f(x)\$

Estas dúas regras tomadas en conxunto coñécense como Principio de Superposición.

Sistemas non lineares

As ecuacións non lineares son de interese en física e matemáticas debido a que a maioría dos problemas físicos son implicitamente non lineares na súa natureza. Exemplos físicos de sistemas lineares son relativamente raros. As ecuacións non lineares son difíciles de resolver e dan orixe a interesantes fenómenos como a teoría do caos. Unha ecuación linear pode ser descrita usando un operador lineal, L. Unha ecuación linear nalgún valor descoñecido de ou ten a forma

Lu=0\,

Unha ecuación non linear é unha ecuación da forma:

F(u)=0\,

Para algún valor descoñecido de u.

Para poder resolver calquera ecuación necesítase decidir en que espazo matemático atópase a solución u. Podería ser que u fose un número real, un vector ou, talvez, unha función con algunhas propiedades.

As solucións de ecuaciones lineares poden ser en xeral descritas como unha superposición doutras solucións da mesma ecuación. Isto fai que as ecuacións lineares sexan doadas de resolver.

As ecuaciones non lineares son moito máis complexas, e moito máis difíciles de entender pola falta de solucións sinxelas superpostas. Para as ecuacións non lineares as solucións en xeral non forman un espazo vectorial e, tampouco poden ser superpostas para producir novas solucións. Isto fai o resolver as ecuacións moito máis difícil que en sistemas lineares.

Ecuacións non lineares específicas

Algunhas ecuacións non lineares son ben comprendidas, por exemplo:

$y=x^{2}-1$

E outras ecuaciones polinomiais.

Con todo, os sistemas de ecuacións non lineares son moito máis complexos. de xeito semellante, ecuacións diferenciais de primeira orde non lineares, tal como:

$dxu=u^{2}$

son resoltas de xeito dado (neste caso por separación de variables). As ecuacións diferenciais de orde superior, tales como:

$dx^{2}u+g\left(u\right)=0$

onde g é unha función non linear, son moito máis dificultosas.

Para as ecuacións diferenciais parciais, a dificultade é aínda maior, xa que que un número de resultados indique a existencia de solucións, non implica que a estabilidade dunha solución e a dinámica das solucións teñan que ser probadas.

Ferramentas para a solución de certas ecuacións non lineares

Ó día de hoxe, existen moitas ferramentas para analizar ecuaciones non lineares. Por mencionar algunhas, temos o teorema da función implícita e a teoría da bifurcación

Malinietski G.G. 2006. Fundamentos matemáticos da sinerxética. Caos, estruturas e simulación por ordenador. [1].

Exemplo de ecuacións non lineares

A relatividade xeral
As Ecuaciones de Navier-Stokes de dinámica de fluídos
A óptica non linear
O sistema do clima na Terra
O balanceo dun uniciclo robot
A ecuación de transporte de Boltzmann
A ecuación de Korteweg-de Vries
A ecuación non linear de Schroedinger.

Véxase tamén