Función periódica

Nas matemáticas, unha función é periódica se os valores da función se repiten conforme se lle engade á variable independente un determinado período, é dicir:

A onda periódica máis simple: unha onda harmónica. Neste exemplo, A=1, Ω=1 e θ=0.

$f\left(x\right)=f\left(x+P\right)$

onde P é o período.

Do mesmo xeito, pero nun contexto físico, as ondas periódicas son aquelas ondas que mostran periodicidade respecto do tempo, é dicir, describen ciclos repetitivos. Nunha onda periódica cúmprese:

$x_{a}(t)=x_{a}(t+T_{p})=x_{a}(t+nT_{p})\,\!$

onde o período propio fundamental $T_{p}={\frac {1}{F}}\,\!$, $F\,\!$ é a frecuencia do compoñente fundamental da onda periódica e $n\,\!$ un número enteiro.

Toda onda periódica é, por definición, unha onda determinista, pois pode ser descrita matematicamente (mediante un modelo matemático).

Perspectiva xeral

A forma máis simple de onda periódica é a onda harmónica (sinusoidal), que se describe matematicamente:

$x_{a}(t)=A\sin(\Omega t+\theta )\,\!$

Esta onda está completamente caracterizada por tres parámetros: $A\,\!$ é a amplitude da sinusoide, $\Omega \,\!$ é a frecuencia en radiáns por segundo (rad/s), e $\theta \,\!$ é a fase en radiáns. En lugar de $\Omega \,\!$, a miúdo emprégase a frecuencia $F\,\!$ ciclos por segundo ou hertzs (Hz), onde $\Omega =2\pi F\,\!$.

Exemplo de onda periódica máis complexa. A liña horizontal azul indica o nivel do valor eficaz.

Mais o modelo descrito para as ondas harmónicas non serve para describir estruturas periódicas máis complicadas: as ondas anharmónicas. Joseph Fourier demostrou que as ondas periódicas con formas complicadas poden considerarse como unha suma de ondas harmónicas (cunhas frecuencias que son sempre múltiplos enteiros da frecuencia fundamental). Así, supoñamos que $x_{a}(t)\,\!$ representa o desprazamento periódico dunha onda nunha certa posición. Se $x_{a}(t)\,\!$ e a súa derivada son continuas, pode demostrarse que dita función pode representarse mediante unha suma do tipo:

$x_{a}(t)=\sum _{n=1}^{\infty }A_{n}\sin(n\Omega t+\theta _{n})\,\!$

O proceso de determinación matemática dos coeficientes $A_{n}\,\!$ e as constantes de fase $\theta _{n}\,\!$, para unha forma de onda dada chámase análise de Fourier. Ao igual que unha forma de onda periódica pode analizarse como unha serie de Fourier mediante as contribucións relativas da frecuencia fundamental e os harmónicos superiores presentes na forma de onda, tamén é posible construír novas formas de onda periódicas, sumando á frecuencia fundamental distintas contribucións dos seus harmónicos superiores. Este proceso denomínase síntese de Fourier.

É importante notar que para os sinais de ancho de banda limitado (na práctica, todas as de interese en telecomunicacións), a suma de harmónicos é tamén finita:

$x_{a}(t)=\sum _{n=1}^{N}A_{n}\sin(n\Omega t+\theta _{n})\,\!$

sendo $N\,\!$ o número total de harmónicos dos que se compón a onda periódica. O harmónico de frecuencia máis baixa denomínase primeiro harmónico ou harmónico de frecuencia fundamental ($n=1\,\!$, polo tanto de amplitude $A_{1}\,\!$, frecuencia $\Omega \,\!$ e fase $\theta _{1}\,\!$). De feito, o caso máis simple, o dunha onda harmónica, é un caso particular para un único harmónico ($N=1\,\!$). Outros casos requiren un número infinito de harmónicos que só poden existir nas súas formas perfectas como abstraccións matemáticas debido a que na natureza non se poden crear ou transmitir sinais de ancho de banda infinito. Non obstante, incluso as súas aproximacións (descritas como a suma dun número limitado de harmónicos) son de grande interese na práctica, especialmente en Telecomunicacións. Entre estes casos de sinais periódicos compostos por infinitos harmónicos encóntranse as ondas cadradas (onda composta exclusivamente por harmónicos impares cunha amplitude que é inversamente proporcional ao número de harmónico, é dicir, $x_{a}(t)={\frac {4A}{\pi }}\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{2n-1}}\sin[(2n-1)\Omega t+\theta ]\,\!$ ) ou as triangulares.

Exemplo de síntese dunha onda cadrada a partir da adición dos seus compoñentes harmónicos. A onda final resultante só é unha aproximación debido ao uso dun número finito de compoñentes harmónicos: en total, 25. O último gráfico da secuencia (harmonics: 25) pode ser descrito como: $x_{a}(t)={\frac {4A}{\pi }}\sum _{n=1}^{25}{\frac {1}{2n-1}}\sin[(2n-1)\Omega t+\pi ]\,\!$

Esta propiedade demostrada por Fourier sobre as ondas periódicas é importante no estudo da Teoría da Información e, moi especialmente, na demostración do Teorema de mostraxe de Nyquist-Shannon. Este teorema demostra que toda onda periódica limitada en banda (limitada a compoñentes harmónicos por debaixo dunha frecuencia máxima coñecida) pode ser descrita na súa totalidade e sen ambigüidade por unha serie de mostras non cuantificadas se se cumpre que a frecuencia de mostraxe é superior (nunca igual) ao dobre da frecuencia do último harmónico que pode conter a onda.

Valores característicos das ondas periódicas

Valor medio

O valor medio dunha onda $x_{a}(t)\,\!$ calcúlase sobre un intervalo da función correspondente a un período propio fundamental completo $T_{p}\,\!$ desde calquera instante $t_{0}\,\!$.

$A_{medio}={{1 \over T_{p}}{\int _{t_{0}}^{t_{0}+T_{p}}x_{a}(t)\,dt}}\,\!$

É moi frecuente que o valor medio dunha onda periódica sexa cero. En electrotecnia e electrónica un valor medio non nulo mide a magnitude dun compoñente de corrente continua nun sinal.

Valor eficaz

O valor eficaz (raíz cuadrática media ou RMS) dunha onda periódica $x_{a}(t)\,\!$ calcúlase sobre un intervalo da función correspondente a un período propio fundamental completo $T_{p}\,\!$ desde calquera instante $t_{0}\,\!$.

$V_{rms}={\sqrt {{1 \over T_{p}}{\int _{t_{0}}^{t_{0}+T_{p}}x_{a}^{2}(t)\,dt}}}\,\!$

O valor eficaz dunha onda periódica é de especial interese na física cando se aplica a presións (mecánica), tensións ou intensidades (electrotecnia ou electrónica) para cálculos relacionados coa enerxía ou a potencia. Con relación ao valor máximo (ou valor de crista ou pico) $A_{max}\,\!$ nunha onda de valor medio nulo, o cálculo do valor eficaz das seguintes formas de onda pódense simplificar:

• Onda harmónica simple (sinusoidal): $A_{rms}={\frac {A_{max}}{\sqrt {2}}}\,\!$
• Onda cadrada : $A_{rms}=A_{max}\,\!$
• Onda triangular: $A_{rms}={\frac {A_{max}}{\sqrt {3}}}\,\!$

A relación entre a amplitude máxima e o valor eficaz dunha onda periódica depende, polo tanto, da forma de onda.

Factor de pico ou crista

Defínese como a relación entre o valor de pico e o valor eficaz. Exemplos de factores de pico:

• Onda harmónica simple (sinusoidal): $f_{a}={\sqrt {2}}\,\!$
• Onda cadrada: $f_{a}=1\,\!$
• Onda triangular: $f_{a}={\sqrt {3}}\,\!$

Exemplos

Na vida diaria existen moitos casos de funcións periódicas cando a variable é o tempo; situacións como o movemento das agullas dun reloxo ou as fases da lúa teñen un comportamento periódico. Un movemento periódico é aquel no que as posicións do sistema se poden expresar en base a funcións periódicas, todas co mesmo período.

Para unha función aplicada ao conxunto dos números reais ou ao dos enteiros, significa que a totalidade da súa gráfica pode ser representada a partir de copias dunha determinada porción desta, repetida a intervalos regulares.

De forma máis explícita, dise que unha función f é periódica con período P maior que cero se cumpre que:

$f\left(x+P\right)=f\left(x\right)$

para todos os valores de x no dominio de f. De maneira análoga, unha función non periódica é aquela que non posúe dito período P.

Un exemplo simple é a función f que devolve a parte fraccional do seu argumento:

$f\left(0,5\right)=f\left(1,5\right)=f\left(2,5\right)=0,5$

Se unha función f é periódica con período P, entón para todo x no dominio de f e para todo n enteiro:

$f\left(x+Pn\right)=f\left(x\right)$

No exemplo anterior, o valor de P é 1, dado que:

$f\left(x\right)=f\left(x+1\right)=f\left(x+2\right)={\mbox{etc.}}$

Isto non implica que o período dunha función teña que recibir o menor valor posible que satisfaga a expresión anterior, senón que podería tomar calquera outro.

As funcións trigonométricas, tales como a función seno ou coseno, son casos típicos de funcións periódicas, nas que o seu período é de 360 graos. No caso da tanxente, vemos que o seu período é menor, sendo este de 180 graos.

Véxase tamén

Ligazóns externas

• Periodic Waves (en inglés)