# 递归和动态规划

动态规划可以理解为是查表的递归。那么什么是递归？

## 递归

定义： 递归算法是一种直接或者间接调用自身函数或者方法的算法。

算法中使用递归可以很简单地完成一些用循环实现的功能，比如二叉树的左中右序遍历。递归在算法中有非常广泛的使用，
包括现在日趋流行的函数式编程。

> 纯粹的函数式编程中没有循环，只有递归。

接下来我们来讲解以下递归。通俗来说，递归算法的实质是把问题分解成规模缩小的同类问题的子问题，然后递归调用方法来表示问题的解

### 递归的三个要素

1. 一个问题的解可以分解为几个子问题的解
2. 子问题的求解思路除了规模之外，没有任何区别
3. 有递归终止条件

我这里列举了几道算法题目，这几道算法题目都可以用递归轻松写出来：

- 递归实现 sum

- 二叉树的遍历

- 走楼梯问题

- 汉诺塔问题

## 动态规划

`如果说递归是从问题的结果倒推，直到问题的规模缩小到寻常。 那么动态规划就是从寻常入手， 逐步扩大规模到最优子结构。` 这句话需要一定的时间来消化,
如果不理解，可以过一段时间再来看。

递归的解决问题非常符合人的直觉，代码写起来比较简单。但是我们通过分析（可以尝试画一个递归树），可以看出递归在缩小问题规模的同时可能会
重复计算。 [279.perfect-squares](../problems/279.perfect-squares.md) 中 我通过递归的方式来解决这个问题，同时内部维护了一个缓存
来存储计算过的运算，那么我们可以减少很多运算。 这其实和动态规划有着异曲同工的地方。

我们结合求和问题来讲解一下, 题目是给定一个数组，求出数组中所有项的和，要求使用递归实现。

代码：

```js
function sum(nums) {
  if (nums.length === 0) return 0;
  if (nums.length === 1) return nums[0];

  return nums[0] + sum(nums.slice(1));
}
```

我们用递归树来直观地看一下。

![dynamic-programming-1](../assets/thinkings/dynamic-programming-1.png)

这种做法本身没有问题，但是每次执行一个函数都有一定的开销，拿 JS 引擎执行 JS 来说，
每次函数执行都会进行入栈操作，并进行预处理和执行过程，所以对于内存来说是一个挑战。
很容易造成爆栈。

> 浏览器中的 JS 引擎对于代码执行栈的长度是有限制的，超过会爆栈，抛出异常。

我们再举一个更加明显的例子，问题描述：

一个人爬楼梯，每次只能爬 1 个或 2 个台阶，假设有 n 个台阶，那么这个人有多少种不同的爬楼梯方法？

代码：

```js
function climbStairs(n) {
  if (n === 1) return 1;
  if (n === 2) return 2;
  return climbStairs(n - 1) + climbStairs(n - 2);
}
```

这道题和 fibnacci 数列一摸一样，我们继续用一个递归树来直观感受以下：

![dynamic-programming-2](../assets/thinkings/dynamic-programming-2.png)

可以看出这里面有很多重复计算，我们可以使用一个 hashtable 去缓存中间计算结果，从而省去不必要的计算。
那么动态规划是怎么解决这个问题呢？ 答案就是“查表”。

刚才我们说了`递归是从问题的结果倒推，直到问题的规模缩小到寻常。 动态规划是从寻常入手， 逐步扩大规模到最优子结构。`

从刚才的两个例子，我想大家可能对前半句话有了一定的理解，我们接下来讲解下后半句。

如果爬楼梯的问题，使用动态规划，代码是这样的：

```js
function climbStairs(n) {
  if (n === 1) return 1;
  if (n === 2) return 2;

  let a = 1;
  let b = 2;
  let temp;

  for (let i = 3; i <= n; i++) {
    temp = a + b;
    a = b;
    b = temp;
  }

  return temp;
}
```

动态规划的查表过程如果画成图，就是这样的：

![dynamic-programming-3](../assets/thinkings/dynamic-programming-3.png)

> 虚线代表的是查表过程

这道题目是动态规划中最简单的问题了，因为设计到单个因素的变化，如果涉及到多个因素，就比较复杂了，比如著名的背包问题，挖金矿问题等。

对于单个因素的，我们最多只需要一个一维数组即可，对于如背包问题我们需要二维数组等更高纬度。

> 爬楼梯我们并没有使用一维数组，而是借助两个变量来实现的，空间复杂度是 O(1).
> 之所以能这么做，是因为爬楼梯问题的状态转移方程只和前两个有关，因此只需要存储这两个即可。 动态规划问题有时候有很多这种讨巧的方式，但并不是所有的
> 动态规划都可以这么讨巧，比如背包问题。

### 动态规划的两个要素

1. 状态转移方程

2. 临界条件

在上面讲解的爬楼梯问题中

```
f(1) 与 f(2) 就是【边界】
f(n) = f(n-1) + f(n-2) 就是【状态转移公式】

```

## 总结

本篇文章总结了算法中比较常用的两个方法 - 递归和动态规划。

如果你只能借助一句话，那么请记住：`递归是从问题的结果倒推，直到问题的规模缩小到寻常。 动态规划是从寻常入手， 逐步扩大规模到最优子结构。`