nombre transcendant

Français

Étymologie

Composé de nombre et de transcendant.

Note historique :

L'utilisation du terme de « transcendant » pour qualifier un nombre ou une fonction semble provenir de Leibniz dans une publication de 1682, où il démontra que sinus n'est pas une fonction algébrique.

« [L'existence des nombres transcendants] fut conjecturée par Lambert en 1761, après avoir démontré l’irrationalité de π, mais elle ne fut démontrée par Joseph Liouville qu’en 1844 ! [...] En fait, Liouville construisit explicitement ce nombre [appelé “constante de Liouville”] afin qu’il soit transcendant. Presque trente ans plus tard, Charles Hermite démontra que le nombre e est transcendant. Puis, en 1882, Lindemann prouva la transcendance de π. »— (Alexandre Bailleul ss la dir. d'Éric Gaudron (Laboratoire de Mathématiques de Clermont-Ferrand) : Nombres transcendants, 2014. Lire en ligne : [1]).

Locution nominale

Singulier	Pluriel
nombre transcendant	nombres transcendants
\nɔ̃bʁ tʁɑ̃.sɑ̃.dɑ̃\

nombre transcendant \nɔ̃bʁ tʁɑ̃.sɑ̃.dɑ̃\ masculin

1. (Mathématiques) Nombre qui n’est solution d’aucune équation algébrique à coefficients rationnels.
   Autrement dit, un nombre transcendant « sur les rationnels » est un nombre complexe non-algébrique ; c'est-à-dire un nombre irrationnel, réel ou complexe, qui ne peut être exprimé comme une racine d’une équation polynomiale.
   • Le nombre pi est un nombre transcendant, c’est pourquoi la quadrature du cercle, telle qu’on l’entendait lorsque le problème a été posé, est une entreprise chimérique. Il est impossible de tracer avec la règle et le compas, en partant du rayon d’un cercle, un rectangle d’aire égale à celle du cercle.
   • e [le nombre d'Euler, ou constante de Néper, qui est à la base des logarithmes naturels, à ne pas confondre avec les nombres d'Euler comme suite d'entiers naturels] est un nombre réel irrationnel transcendant.
     2^√2 est aussi un nombre réel irrationnel transcendant.
     En revanche le nombre √5 est un nombre irrationnel, mais il n’est pas transcendant, parce qu’il est solution de l’équation $x^{2}-5=0$.
     Le nombre eⁱ est [quant à lui] un nombre complexe transcendant.
   • Le corps $\mathbb {R}$ des nombres réels n'étant pas dénombrable (Cantor), la preuve de la dénombrabilité des nombres algébriques entraîne la non dénombrabilité de l'ensemble des nombres transcendants [puisque ces deux sous-ensembles de $\mathbb {R}$ sont complémentaires, pour que leur réunion $\mathbb {R}$ soit indénombrable, il est nécessaire que l'un au moins des deux le soit]. [...] Les nombres algébriques apparaissent donc comme réunion dénombrable d'ensembles finis, ce qui assure leur dénombrabilité et, par là, la non dénombrabilité de l'ensemble des nombres transcendants. — (Serge Mehl, Dénombrabilité des nombres algébriques sur chronomath.com, 1992/2024. Consulté le 22/08/2024.)

Antonymes

• nombre algébrique

Traductions

• Allemand : transzendente Zahl (de)
• Anglais : transcendental number (en)
• Arabe : عَدَد مُتَسَامِي (ar) 'adad mutasèmii
• Chinois : 超越数 (zh) (超越數)
• Coréen : 초월수 (ko) chowolsu
• Espagnol : número trascendente (es) ou número trascendental (es)
• Italien : numero trascendente (it)
• Japonais : 超越数 (ja) chōetsusū
• Russe : трансцендентное число (ru) neutre

Voir aussi

• nombre transcendant sur l’encyclopédie Wikipédia