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Constante de Mills

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En mathématiques, la constante de Mills est définie comme étant le plus petit nombre réel A tel que la partie entière de A3n soit un nombre premier, pour tout entier n strictement positif. Sous l'hypothèse de Riemann,

[1],[2].

Théorème de Mills

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Il existe un nombre réel A, la constante de Mills, tel que, pour tout entier n > 0, la partie entière de A3n soit un nombre premier[3].

Ce théorème a été démontré en 1947 par le mathématicien William H. Mills ; par la suite, plusieurs mathématiciens ont calculé le plus petit A convenable en supposant qu’il y a toujours un nombre premier entre deux cubes consécutifs, ce qui est une conséquence de l'hypothèse de Riemann[2].

Nombres premiers de Mills

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Les nombres premiers générés par la constante de Mills sont appelés les nombres premiers de Mills. Si l'hypothèse de Riemann est vraie, cette suite (fn) est :

2, 11, 1 361, 2 521 008 887, 16 022 236 204 009 818 131 831 320 183, etc. (suite A051254 de l'OEIS),

ou encore : fn+1 = fn3 + bn où la suite (bn) est :

3, 30, 6, 80, 12, 450, 894, 3 636, 70 756, 97 220, 66 768, 300 840, etc. (suite OEISA108739).

Plancher et plafond

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Une analogue de la formule de Mills peut être obtenue en remplaçant la fonction plancher par la fonction plafond. En effet, Tóth [4] a montré en 2017 que la fonction définie par

est également génératrice de nombres premiers pour . Pour le cas , la valeur de la constante commence par 1,24055470525201424067... Les nombres premiers générés sont alors:

Notes et références

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  1. (en) Suite OEISA051021 de l'OEIS.
  2. a et b (en) Chris K. Caldwell et Yuanyou Cheng, « Determining Mills' Constant and a Note on Honaker's Problem », J. Integer Seq., vol. 8, no 05.4.1,‎ (lire en ligne).
  3. (en) William H. Mills, « A prime-representing function », Bull. Amer. Math. Soc.,‎ , p. 604 et 1196 (lire en ligne).
  4. (en) Tóth László, « A Variation on Mills-Like Prime-Representing Functions », Journal of Integer Sequences, vol. 20, no 17.9.8,‎ (lire en ligne).


Article connexe

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Formules pour les nombres premiers

Liens externes

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