Fonction cardinale
En mathématiques, une fonction cardinale (ou un invariant cardinal) est une fonction à valeurs dans les nombres cardinaux.
Fonctions cardinales en théorie des ensembles
[modifier | modifier le code]- La fonction cardinale la plus utilisée est celle qui à tout ensemble A associe sa cardinalité, notée |A|.
- Les alephs et les beths peuvent être vues comme des fonctions cardinales définies sur les ordinaux.
- Les opérations arithmétiques sur les cardinaux sont des exemples de fonctions des cardinaux (ou des couples de cardinaux) dans les cardinaux.
- Les caractéristiques cardinales d'un idéal propre I de parties de X (c'est-à-dire un ensemble non vide de parties propres de X, stable par sous-ensembles et par réunions finies) sont, en supposant que I recouvre X :
- son additivité add(I), qui est le plus petit nombre d'éléments de I dont la réunion n'est pas élément de I :
Ce cardinal est infini : Il est même supérieur ou égal à ℵ1 si I est stable non seulement par réunions finies mais par réunions dénombrables ; - son nombre de recouvrement cov(I), qui est le plus petit nombre d'éléments de I dont la réunion est X tout entier :
Ce cardinal est supérieur ou égal au précédent : - son uniformité non(I) – parfois notée aussi unif(I) – qui est la plus petite taille d'une partie de X n'appartenant pas à I :
Ce cardinal est, lui aussi, supérieur ou égal à l'additivité[1] : - sa cofinalité cof(I), qui est la cofinalité de l'ordre partiel (I, ⊂), c'est-à-dire le plus petit cardinal d'une partie cofinale de cet ordre :
Elle majore les deux cardinaux précédents[1] :
- son additivité add(I), qui est le plus petit nombre d'éléments de I dont la réunion n'est pas élément de I :
- Dans le cas où I est un idéal lié à la structure des réels, comme l'idéal des parties Lebesgue-négligeables ou celui des parties maigres, ces invariants cardinaux font partie des caractéristiques cardinales du continu (en).
- Pour un ensemble préordonné (E, ≤), la définition de la cofinalité se généralise en celle du (en) dominating number 𝖉(E) :
et l'on définit aussi le (en) bounding number 𝖇(E) : - En théorie des cofinalités possibles (en), on utilise la fonction cardinale ppκ(λ)[2].
Fonctions cardinales en topologie
[modifier | modifier le code]Les fonctions cardinales sont très utilisées en topologie générale, comme outils pour décrire diverses propriétés topologiques[3],[4],[5]. En voici quelques exemples[6].
- Les deux invariants cardinaux les plus simples d'un espace topologique X sont sa cardinalité |X| et celle de sa topologie, o(X) = |TX|.
- Son poids w(X) est la plus petite cardinalité d'une base de TX. L'espace est dit à base dénombrable lorsque w(X) ≤ ℵ0.
- Son caractère χ(X) est le plus petit cardinal κ tel que tout point possède une base de voisinages de cardinal inférieur ou égal à κ. L'espace est dit à bases dénombrables de voisinages lorsque χ(X) ≤ ℵ0.
- Son π-poids πw(X) est le plus petit cardinal d'une π-base, c'est-à-dire d'une famille d'ouverts non vides telle que tout ouvert non vide de X contient un ouvert de cette famille.
- Sa densité d(X) est la plus petite cardinalité d'une partie dense. L'espace est dit séparable lorsque d(X) ≤ ℵ0.
- Son nombre de Lindelöf L(X) est le plus petit cardinal κ tel que tout recouvrement ouvert de X possède un sous-recouvrement de cardinal inférieur ou égal à κ. L'espace est dit de Lindelöf lorsque L(X) ≤ ℵ0.
- Sa cellularité (ou son nombre de Suslin (en)[5]) c(X) est le plus petit cardinal κ tel que toute famille d'ouverts non vides deux à deux disjoints est de cardinal inférieur ou égal à κ.
- Sa cellularité héréditaire ou son étalement[7] (en anglais : spread) s(X) est la borne supérieure des cellularités de ses sous-espaces :
le sous-espace Z est discret
- Sa cellularité héréditaire ou son étalement[7] (en anglais : spread) s(X) est la borne supérieure des cellularités de ses sous-espaces :
- Son étroitesse[7] (en anglais : tightness) t(X) est le plus petit cardinal κ tel que tout point adhérent à une partie A de X est adhérent à un sous-ensemble de A de cardinal inférieur ou égal à κ. L'espace est dit dénombrablement engendré, ou dénombrablement étroit, lorsque t(X) ≤ ℵ0.
- Son étroitesse augmentée t+(X) est le plus petit cardinal régulier κ tel que tout point adhérent à une partie A de X est adhérent à un sous-ensemble de A de cardinal inférieur à κ.
Diverses inégalités relient ces fonctions. Par exemple[5] :
Beaucoup de fonctions cardinales d'un espace topologique correspondent par dualité aux fonctions cardinales de son algèbre de fonctions continues[5] ou d'une algèbre de Boole[7].
Fonctions cardinales d'une algèbre de Boole
[modifier | modifier le code]Les fonctions cardinales sont souvent utilisées dans l'étude des algèbres de Boole[8],[9].
On peut mentionner par exemple les fonctions suivantes d'une algèbre de Boole B :
- sa cellularité c(B), qui est la borne supérieure des cardinaux d'antichaînes de B ;
- sa longueur length(B), qui est la borne supérieure des cardinaux de ses chaînes ;
- sa profondeur depth(B), qui est la borne supérieure des cardinaux de ses parties bien ordonnées ;
- son incomparabilité inc(B), qui est la borne supérieure des cardinaux de familles d'éléments deux à deux incomparables ;
- son pseudo-poids π(B), qui est le plus petit cardinal d'une famille d'éléments non nuls de l'algèbre de Boole B telle que tout élément non nul de B est minoré par un élément de cette famille.
Fonctions cardinales en algèbre
[modifier | modifier le code]Des exemples de fonctions cardinales que l'on considère en algèbre sont :
- l'indice d'un sous-groupe H d'un groupe G, qui est le nombre de classes suivant H ;
- la dimension d'un espace vectoriel, qui est le cardinal d'une base ;
- plus généralement, le rang d'un module libre ;
- la codimension d'un sous-espace vectoriel ;
- le nombre minimal de générateurs de n'importe quelle structure algébrique, comme les générateurs d'un groupe ou d'un espace vectoriel ;
- le degré d'une extension de corps, le degré séparable d'une extension algébrique et le degré de transcendance d'une extension transcendante.
Notes et références
[modifier | modifier le code]- (en) D. H. Fremlin, Measure Theory, vol. 4, Torres Fremlin, , 945 p. (ISBN 978-0-9538129-4-3, lire en ligne), p. 18.
- (en) Michael Holz, Karsten Steffens et Edmund Weitz, Introduction to Cardinal Arithmetic, Birkhäuser, , 304 p. (ISBN 978-3-7643-6124-2, lire en ligne).
- (en) István Juhász (hu), Cardinal functions in topology, Amsterdam, Math. Centre Tracts, , 160 p. (ISBN 978-90-6196-062-1, lire en ligne).
- (en) István Juhász, Cardinal Functions in Topology – Ten Years Later, Amsterdam, Math. Centre Tracts, , 160 p. (ISBN 978-90-6196-196-3, lire en ligne).
- (en) « Cardinal characteristic », dans Michiel Hazewinkel, Encyclopædia of Mathematics, Springer, (ISBN 978-1556080104, lire en ligne).
- Certains auteurs, comme (en) Ryszard Engelking, General Topology, Heldermann (de), , 529 p. (ISBN 978-3-88538-006-1), pour qui « il n'y a pas de cardinaux finis en topologie », préfèrent définir ces fonctions cardinales de telle façon qu'elles ne prennent que des valeurs infinies, ce qui revient à modifier les définitions données ici, par exemple en ajoutant ℵ0 dans le membre de droite.
- Résumé en français de (en) J. Donald Monk, « Cardinal functions on boolean algebras », dans Maurice Pouzet et Denis Richard, Orders: Description and Roles, , p. 9-37.
- (en) J. Donald Monk, Cardinal Functions on Boolean Algebras, Birkhäuser, coll. « Lectures in Mathematics ETH Zürich », , 153 p. (ISBN 978-3-7643-2495-7).
- (en) J. Donald Monk, Cardinal Invariants on Boolean Algebras, Birkhäuser, coll. « Progress in Mathematics » (no 142), , 298 p. (ISBN 978-3-7643-5402-2, lire en ligne).
Voir aussi
[modifier | modifier le code]Articles connexes
[modifier | modifier le code]Liens externes
[modifier | modifier le code]- (en) Apollo Hogan, A Glossary of Definitions from General Topology (ps), UC Berkeley, 2004
- (en) Richard E. Hodel, « Combinatorial set theory and cardinal function inequalities », Proc. Amer. Math. Soc., vol. 111, , p. 567-575 (lire en ligne)