Utilisateur:Mesmaksref/Brouillon
Les carrés diaboliques d'ordre 4 sont aux nombres de 384 (48 à rotation et réflexions près). Ce sont des carrés bien plus magique que les carrés magiques d'ordre 4 car ils vérifient 57 contraintes quand leur homologues n'en vérifient que 16??. De ce fait les carrés magiques sont aussi des carrés plus-que-parfait.
Magie d'un carré diabolique
Les carrés diaboliques comme leur homologue magiques doivent vérifier les 10 contraintes suivantes : les sommes des 4 lignes, des 4 colonnes et des 2 diagonales principales doivent être égales. En plus de cela, les sommes des diagonales brisées (6 au total) doivent aussi être égales aux sommes déjà calculées. En tout il y a donc 4+4+2+6 = 16 contraintes.
Cependant ces 16 contraintes ne sont pas indépendantes ou libres. Leur rang est 12, donc il suffit de 12 contraintes bien choisie pour s'assurer d'avoir les 16 de valider. Par exemple il est équivalent de dire qu'un carré est diaboliques si les sommes des 4 lignes, de 3 colonnes, des deux diagonales et de trois diagonales brisées qui ne sont pas toutes du même type sont identiques.
A l'inverse, un carré diabolique vérifie plus que les 16 contraintes imposées par sa définition. Etant par nature un carré magique d'ordre 4, un carré diabolique vérifie déjà le fait que la somme de ses 4 coins ou de ses 4 cases centrales est identiques à la constante magique. En tout chaque carré diabolique vérifie les mêmes 57 contraintes qui sont représentées ci-dessous.
Forme générale
Dans le début de cette section, la contrainte d'avoir les nombres de à 1 et 16 remplissant le carré diaboliques est relâché. De fait, la constante magique n'est pas forcément égale à 34, elle peut a priori valoir n'importe quelle valeur. Dans ces conditions, trouver un carré diabolique d'ordre 4 revient à résoudre un système d'équation avec 17 inconnues, les 16 nombres remplissant les cases et la constante magique, et 16 équations linéaires de ces 17 inconnues. Comme vu à la section précédente, ces 16 équations linéaires ne sont pas indépendantes, elles sont équivalentes à 12 équations linéaires libres. Ainsi, le problème est donc la résolution d'un système linéaire de 17 inconnues avec 12 équations. En utilisant l'algèbre linéaire, on déduit qu'il y a alors une infinité de solutions. Si l'on veut une solution particulière, il suffit de changer cinq des inconnues bien choisies pour que le système soit inversible en cinq paramètres et d'en déduire les 12 restantes. Le résultat peut se schématiser par le carré suivant qui se déduit après avoir choisi les cinq nombres réels : , , , et . Deux exemples sont donnés en prenant les nombres 1, 2, 3, 4 et 5 et les nombres 1, 1, 2, 4, 8.
| a | a + b + c + e | a + c + d | a + b + d + e |
| a + b + c + d | a + d + e | a + b | a + c + e |
| a + b + e | a + c | a + b + c + d + e | a + d |
| a + c + d + e | a + b + d | a + e | a + b + c |
| 1 | 11 | 9 | 12 |
| 10 | 10 | 3 | 9 |
| 8 | 4 | 15 | 5 |
| 13 | 7 | 6 | 6 |
| 1 | 8 | 13 | 12 |
| 14 | 11 | 2 | 7 |
| 4 | 5 | 16 | 9 |
| 15 | 10 | 3 | 6 |
Méthodes pour générer des carrés diaboliques
Méthodes pour générer des carrés diaboliques
- Connaître les 7040 carrés magiques et les filtrer
- Générer des carrés magiques avec comme paramètres a, b, c, d compris entre 1 et 16 sans répétition 16*15*14*13 carrés et les tester pour savoir si les autres nombres restent compris entre 1 et 16
Nombres de carrés diaboliques d'ordre 4
- Sur les 7040, 384 carrés diaboliques
- 48 si on ne tient pas compte des rotations et réflexions
Lien avec d'autres types de carrés magiques
Carrés plus-que parfait
Les diaboliques sont par défaut des carrés plus que parfait.
Et vice-versa tous les carrés plus que parfait sont diaboliques.
Carrés associatifs
- vérifier s'il en existe parmi les diaboliques
Carrés gréco-latins
- Vérifier s'il en existe
Carrés diaboliques équivalents
384, 48 si symétrie commune à tous les carrés magiques, ?? si on prend 16 symétrie et 1 si on prend toutes les symétries le groupe d'action de taille 384.
