Sous-graphe

En théorie des graphes, un sous-graphe est un graphe contenu dans un autre graphe. Formellement, un graphe $H=(V_{H},E_{H})$ est un sous-graphe de $G=(V_{G},E_{G})$ si $V_{H}\subseteq V_{G}$ et $E_{H}\subseteq \{(x,y)\in E_{G}\mid x\in V_{H}\wedge y\in V_{H}\}$. L'ensemble des sommets du sous-graphe $H$ est un sous-ensemble de l'ensemble des sommets de $G$ et l'ensemble des arcs de $H$ est un sous-ensemble de l'ensemble des arcs de $G$ ayant leur origine et leur extrémité parmi les sommets de $H$.

G₁, G₂ et G₃ sont des sous-graphes de G. G₁ n'est pas un sous-graphe induit car il manque l'arête 2-6. G₂ et G₃ sont des sous-graphes induits.

Un sous-graphe couvrant ou graphe partiel est un sous-graphe ayant le même ensemble de sommets que le graphe qui le contient. Formellement, $H$ est un sous-graphe couvrant de $G$ (i.e. $H$ couvre $G$) si $V_{H}=V_{G}$ et $E_{H}\subseteq E_{G}$. Ainsi tout graphe simple à n sommets est un sous-graphe couvrant du graphe complet K_n.

Un sous-graphe induit est un sous-graphe obtenu en restreignant le graphe à un sous-ensemble de sommets et en conservant toutes les arêtes entre sommets de ce sous-ensemble. Formellement, $H$ est un sous-graphe induit de $G$ si, pour tout couple $(x,y)$ de sommets de $H$, $x$ est connecté à $y$ dans $H$ si et seulement si $x$ est connecté à $y$ dans $G$. Autre formulation de la condition : l'ensemble des arcs de $H$ est l'ensemble des arcs de $G$ incidents à deux sommets de $H$.

Voir aussi

• Théorie des graphes