Méthode de Laplace

En mathématiques, la méthode de Laplace, due à Pierre-Simon de Laplace, est une méthode pour l'évaluation numérique d'intégrales de la forme :

\int _{a}^{b}\mathrm {e} ^{Mf(x)}\,\mathrm {d} x\,

où $f$ est une fonction deux fois dérivable, $M$ est un grand nombre réel et les bornes $a$ et $b$ peuvent éventuellement être infinies.

Principe de la méthode

Illustration de la méthode de Laplace : en noir, la fonction

f (x)

, et en rouge,

e Mf (x)

avec

M = 3

: on remarque que seule l'aire sous la courbe à intégrer près du maximum de

f

(pointillés) est significative.

Pour $M > 0$ , si l'on suppose que la fonction $f$ admet un unique maximum au point $x_{0}$ alors pour $M$ grand, seuls les points au voisinage de $x 0$ contribuent de façon significative à l'intégrale :

\int _{a}^{b}\!\mathrm {e} ^{Mf(x)}\,\mathrm {d} x.\,

Si $M$ est négatif, en considérant $- M$ et $- f$ on peut se ramener à considérer les maximums de $- f$ donc les minimums de $f$ .

Méthode de Laplace, cas général

Pour appliquer la méthode de Laplace, un certain nombre de conditions sont requises. Le point $x 0$ ne doit pas être l'une des bornes de l'intégrale et $f (x)$ ne peut s'approcher de la valeur $f (x 0)$ qu'au voisinage de $x 0$ .

Par application du théorème de Taylor, au voisinage de $x 0$ , $f (x)$ s'écrit :

f(x)=f(x_{0})+f'(x_{0})(x-x_{0})+{\frac {1}{2}}f''(x_{0})(x-x_{0})^{2}+O\left((x-x_{0})^{3}\right)

.

Puisque $f$ admet un maximum en $x 0$ , qui n'est pas l'une des bornes de l'intégrale, $f\,'(x_{0})=0$ et $f\,''(x_{0})<0$ , on a alors dans un voisinage de $x 0$ :

f(x)\approx f(x_{0})-{\frac {1}{2}}|f''(x_{0})|(x-x_{0})^{2}

Et pour l'intégrale :

\int _{a}^{b}\!\mathrm {e} ^{Mf(x)}\,\mathrm {d} x\approx \mathrm {e} ^{Mf(x_{0})}\int _{a}^{b}\!\mathrm {e} ^{-M|f''(x_{0})|(x-x_{0})^{2}/2}\,\mathrm {d} x

La deuxième intégrale peut être estimée à l'aide d'une intégrale de Gauss en remplaçant les bornes $a$ et $b$ par $-\infty$ et $+\infty$ et l'on a alors :

$\int _{a}^{b}\!\mathrm {e} ^{Mf(x)}\,\mathrm {d} x\approx {\sqrt {\frac {2\pi }{M|f''(x_{0})|}}}\mathrm {e} ^{Mf(x_{0})}{\mbox{ quand }}M\to \infty$

Le remplacement des bornes par $-\infty$ et $+\infty$ est numériquement valide car, quel que soit $k\in \mathbb {N} ,\,\mathrm {e} ^{-M|f''(x_{0})|(x-x_{0})^{2}/2}$ est un $o\left((x-x_{0})^{-k}\right)$

Les deux conditions demandées pour effectuer cette méthode ne sont pas nécessairement requises et il existe des généralisations pour le cas où $x 0$ est l'une des bornes en utilisant un développement au premier ordre autour de $x 0$ ainsi que par découpage d'intégrale pour le cas où deux, ou un nombre fini, de maximums locaux de $f$ auraient des valeurs proches. La méthode du point col permet également une généralisation pour

I(\lambda )=\int _{\mathcal {C}}f(z)\mathrm {e} ^{\lambda g(z)}\,\mathrm {d} z\,

Exemple : formule de Stirling

La méthode de Laplace peut être employée pour démontrer la formule de Stirling :

Pour $N$ grand : $N!\approx {\sqrt {2\pi N}}N^{N}\mathrm {e} ^{-N}\,$

Par définition de la fonction gamma, on a

N!=\Gamma (N+1)=\int _{0}^{\infty }\mathrm {e} ^{-x}x^{N}\,\mathrm {d} x.\,

Avec le changement de variable $x = Nz$ on obtient :

{\begin{aligned}N!&=\int _{0}^{\infty }\mathrm {e} ^{-Nz}\left(Nz\right)^{N}N\,\mathrm {d} z=N^{N+1}\int _{0}^{\infty }\mathrm {e} ^{-Nz}z^{N}\,\mathrm {d} z\\&=N^{N+1}\int _{0}^{\infty }\mathrm {e} ^{-Nz}\mathrm {e} ^{N\ln z}\,\mathrm {d} z=N^{N+1}\int _{0}^{\infty }\mathrm {e} ^{N(\ln z-z)}\,\mathrm {d} z.\end{aligned}}

En considérant la fonction $f (z) = ln(z) - z$ , qui est deux fois dérivable :

f'(z)={\frac {1}{z}}-1\,,\ f''(z)=-{\frac {1}{z^{2}}}.\,

on voit que $f$ atteint son maximum en $z = 1$ et sa dérivée seconde vaut –1 en 1 ; on a alors avec la méthode de Laplace :

N!\approx N^{N+1}{\sqrt {\frac {2\pi }{N}}}\mathrm {e} ^{-N}={\sqrt {2\pi N}}N^{N}\mathrm {e} ^{-N}.\,

Notes et références

(en) Cet article est partiellement ou en totalité issu de l’article de Wikipédia en anglais intitulé « Laplace's method » (voir la liste des auteurs).

Voir aussi

Bibliographie

J. Dieudonné, Calcul infinitésimal [détail des éditions], chap. IV, §2
P. Deift, X. Zhou, A steepest descent method for oscillatory Riemann-Hilbert problems. Asymptotics for the MKdV equation, Ann. of Math. (2), v.137 (1993), no. 2, 295–368
A. Erdelyi, Asymptotic Expansions, Dover, 1956

Articles connexes

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