Discussion:Cardinalité (mathématiques)

Redirection ou article court ?

Les articles courts n'ont pas vocation à être utilisés lorsque la redirection et l'article visé concernent exactement le même concept, sous des variantes de nommage.

Il n'y a pas lieu de créer parallèlement un article Cardinal (mathématiques), un article nombre cardinal, un article cardinal d'un ensemble et que sais-je encore... Ce serait plus qu'une maladresse mais une entorse au principe de neutralité s'il s'agissait de répartir le contenu selon deux points de vue : le point de vue formel et le point de vue élémentaire (à supposer qu'il existe pour cette notion, ce dont je doute).

D'où mon intervention dans le même sens que celle d'El Caro. Touriste (d) 12 juin 2010 à 19:22 (CEST)

cardinal et cardinal

Bonjour,
Quelle différence y a-t-il entre

• En mathématiques et en particulier en théorie des ensembles, le cardinal d'un ensemble est le nombre d'éléments de cet ensemble.

et

• En mathématiques, les nombres cardinaux, ou simplement cardinaux, généralisent les nombres entiers naturels pour pouvoir « compter » les éléments d'un ensemble, même infini. On parle du cardinal d'un ensemble, qui, dans le cas des ensembles finis, est simplement son nombre d'éléments.

... qui justifie deux articles séparés ? Merci de m'éclairer. ---- El Caro ^bla 12 juin 2010 à 19:19 (CEST)

Les deux ne sont pas destinés au même public : le premier est immédiatement lisible et compréhensible par le neophite qui n'a pas besoin de plus, ce n'est pas le cas de second qui donne mal au cheveux dès qu'on a ouvert la page.

Le but est de pouvoir lier des pages qui mentionnent du cardinal d'un ensemble, de façon à ce que cette information soit accessible à des gens qui ne savent pas ce que c'est (et donc préfèreront l'article simple).

Les mathématicien, eux, se fichent pas mal de cliquer sur un lien cardinal d'un ensemble ils savent très bien ce que c'est... donc, les deux articles sont destinés à des populations différentes.

Camion (d) 12 juin 2010 à 19:39 (CEST)

Si je puis m'immiscer, voyant cet échange via ma liste de suivi, deux observations :

• D'abord la même faite par El Caro, à laquelle vous ne répondez pas : certes l'article détaillé sur le cardinal contient des informations relativement pointues, mais si on n'en lit que le premier paragraphe on obtient quelque chose de substantiellement identique à votre suggestion. Faut-il pour chaque article créer une redirection ne reprenant que le premier paragraphe, afin d'éviter des maux de cheveux aux lecteurs ?
• La seconde est qu'il est en effet inutile d'inviter des lecteurs néophytes à visiter nombre cardinal depuis un article élémentaire. Une solution pour cela est de modifier le texte de l'article élémentaire (remplacer cardinal par nombre d'éléments, certes un peu plus coûteux en caractères mais de si peu) pour ne pas utiliser un terme inutilement pédant. Cette solution (l'économie de concepts introduits) me semble plus fructueuse que la vôtre (l'introduction de concepts au rabais, si je puis essayer de trouver une formule faisant balance, un peu artificellement). Touriste (d) 12 juin 2010 à 19:47 (CEST)

• D'abord, ça n'est pas exactement le même paragraphe. rien que la première phrase de l'article long donne des information inutiles et déroutantes pour le débutant,
• Ensuite, le terme Cardinal d'un ensemble est d'usage quasiment générique parmis les mathématiciens. Je ne vois pas trop comment on va convaincre tout le monde d'utiliser le systématiquement le terme nombre d'éléments à la place. Surtout que le nombre d'élément entre vaguement en contradiction avec le fait que ce nombre peut être infini, et que le but n'est pas d'éviter que les néophites ne sachent ce qu'est le cardinal d'un ensemble.

Camion (d) 12 juin 2010 à 20:26 (CEST)

Et puis d'ailleurs pour commencer, ce ne sont pas les mêmes choses : Le cardinal d'un ensemble qualifie ce ensemble, alors qu'un nombre cardinal est un substantif désignant un type particulier de nombre Camion (d) 12 juin 2010 à 20:39 (CEST)

Tiens pas faux, vous marquez un point. Maintenant les deux notions sont tellement imbriquées que je n'ai pas l'impression que ce soit très judicieux de tenter de les séparer : si j'ouvre une source au pif, le bouquin de Krivine chez PUF que j'ai sous la main, les deux sont défnies page 39 à quelques lignes l'une de l'autre; idem dans Moschovakis (au sein d'un même paragraphe 4.21). De toutes façons, la séparation rigoureuse mènerait à deux articles plein de formalisme se recoupant pour une bonne part, ça ne correspond pas bien à votre choix de séparation du simple et du compliqué. Touriste (d) 12 juin 2010 à 20:49 (CEST)

Bah, un choix est surtout quelque chose qu'on fait parce qu'on pense devoir le faire et pour lequel on donne après coup des explications qui peuvent être imprécises au départ et s'affinent au fur et à mesure qu'on y réfléchit.

Le fait est que, pour encore reformuler ce choix, sans dénier l'aspect simple et compliqué, mais il est sans doute vrai que la question du cardinal d'un ensemble pourrait peut-être devenir plus compliquée, je répéterais ce que je vous ai répondu sur ma page : Le cardinal d'un ensemble est un nombre ou associé à un seul ensemble (ou une fonction, en fait), qui caractérise cet ensemble et est du "type" nombre cardinal, alors qu'un nombre cardinal est simplement un type de nombre particulier qui est utilisé pour compter les éléments d'un ensemble, mais qui n'est pas directement associé à un ensemble.

Autre remarque qui rejoint cette question du simple et du compliqué : le cardinal d'un ensemble est une notion d'école secondaire alors que les nombre cardinaux sont matière de mathématicien universitaire.

Camion (d) 12 juin 2010 à 21:46 (CEST)

Votre point grossit quand je remarque à l'instant que Wikipedia en anglais distingue les articles en:Cardinal number et en:Cardinality, ce qui légitime sérieusement la faisabilité de la séparation. Bien sûr une telle séparation mène à écrire des trucs savants dans les deux, mais elle se révèle tout à fait faisable.

Pas trop d'accord avec vous en revanche sur la dernière phrase : les cardinaux finis, connus aussi sous le nom d'« entiers » sont une notion très élémentaire, tandis que les cardinaux d'ensembles infinis (même le dénombrable) ne sont guère évoqués avant l'enseignement supérieur. La barrière entre le simple et le technique sépare le fini de l'infini, pas les cardinalités des nombres cardinaux. Touriste (d) 12 juin 2010 à 21:49 (CEST)

Ce n'est pas des cardinaux finis que j'ai dit qu'ils sont une notion élémentaire, mais du cardinal d'un ensemble, que j'ai du étudier si mes souvenirs sont bons, en première secondaire... bien sûr, à l'époque, on nous parlait de patates et d'ensembles fini et certainement pas d'ensemble non-dénombrables... et puis ça remonte à plus de 30 ans et les programmes ont sans doute beaucoup évolué depuis mais bon

Ceci dit, moi, une fois passée la première phrase qui définit simplement le terme cardinal d'un ensemble, si les gens arrêtent après parce qu'ils ne comprennent plus, c'est moins grave tant qu'ils ont compris la base et peuvent continuer ailleurs. Moi, ce qui me dérange surtout, c'est que les gens ne trouvent pas l'information parce qu'ils sont arrêtés par du texte rébarbatif avant d'arriver où il y a ce qui les intéresse. Camion (d) 12 juin 2010 à 22:14 (CEST)

Ben oui, ce n'est pas vous qui avez dit que les cardinaux finis étaient élémentaires, c'est moi en réponse à « les nombres cardinaux sont matière de mathématicien universitaire » : c'est sans doute le cas de $\aleph _{\omega }$ mais pas celui de $42$ -je manifestais là un désaccord. Mais ce n'est pas bien grave.

Sur la première phrase, on peut revenir à celle qui vous a tant hérissé dans l'article touffu et que El Caro a citée plus haut ; vous avez écrit qu'elle « donne des informations inutiles et déroutantes pour le débutant ». Oh lesquelles ? Si c'est le cas, ne vous gênez pas pour la simplifier, mais elle ne me semble pas excessivement compliquée (peut-être le mot "naturels" dont on pourrait se passer ? ou réordonner pour dire _d'abord_ que si l'ensemble est fini c'est son nombre d'éléments et que ça s'étend en nettement plus technique aux ensembles infinis ?) Touriste (d) 12 juin 2010 à 22:24 (CEST)

Je me demande si vous aviez une intention perverse en choisissant un exemple aussi litigieux que le nombre $42$ pour votre exemple, mais bon, passons sur les frivolités. Non, là où je voulais en venir avec la question des mathématiciens universitaires, c'est que jamais dans mon curriculum, on ne m'a enseigné qu'il y avait des "entiers normaux", des entiers cardinaux et des entiers ordinaux qui avaient des propriétés différentes en mathématiques.

Sinon, sur la phrase "En mathématiques, les nombres cardinaux, ou simplement cardinaux, généralisent les nombres entiers naturels pour pouvoir « compter » les éléments d'un ensemble, même infini. On parle du cardinal d'un ensemble, qui, dans le cas des ensembles finis, est simplement son nombre d'éléments.", ben :

• ça parle de "nombre cardinaux" ou de "cardinaux" et pas "du cardinal d'un ensemble.
• en tant que tel, ça ne m'intéresse pas de savoir qu'ils généralisent les entiers, je veux d'abord savoir que c'est le nombre d'éléments de l'ensemble.
• ici ça dit plus loin "pour pouvoir « compter »"... c'est effectivement une explication des nombre cardinaux, mais pas du cardinal qui est le résultat de ce comptage
• Et puis seulement après, on ajoute qu'on parle du cardinal d'un ensemble qui...

En gros, au final, ce ne sont pas les mêmes choses et ça fait perdre son temps au lecteur que de le forcer à lire un blabla qui est hors du sujet qui l'intéresse alors qu'avec un article séparé, il le trouve tout de suite.Camion (d) 12 juin 2010 à 22:56 (CEST)

Il n'y a pas d'« entiers normaux, entiers cardinaux et entiers ordinaux » : il y a des entiers, qui sont aussi les cardinaux finis et qui sont aussi les ordinaux finis. Sur vos remarques sur l'introduction, vous voulez peut-être savoir que le cardinal d'un ensemble est son nombre d'éléments, mais ça n'est guère vrai que pour des ensembles finis. Une fois qu'on a dit ça, pour des ensembles infinis, il est difficile d'expliquer ce qu'est le cardinal de l'ensemble A sans dire d'abord ce qu'est un cardinal (essayez d'expliquer ce qu'est le cercle circonscrit à un triangle sans donner une idée de ce qu'est un cercle...). Vous ne m'avez franchement pas convaincu de l'inadaptation du paragraphe en question à vos besoins : si vous considérez qu'expliquer "cercle" avant "cercle circonscrit" c'est du "blabla" et qu'il faut aller à l'essentiel certes, mais ce n'est pas toujours possible (en espérant que mon analogie ne vous paraîtra pas trop dissemblable - c'est quand même le même problème). Pour les ensembles finis, c'est facile d'expliquer rapidement à un néophyte ce qu'est le cardinal de l'ensemble parce que c'est un entier, notion que le lecteur connaît vraisemblablement ; pour les ensembles infinis ce me semble assez sans espoir. Touriste (d) 12 juin 2010 à 23:14 (CEST)

"Cardinal d'un ensemble" laisse déjà supposer que tout ensemble admet un cardinal, alors que ce n'est pas forcément vrai (ça suppose AC). Si c'est le "nombre d'éléments" qu'on veut faire ressortir, je vois deux solutions :

• renommer le présent article en "Cardinal d'un ensemble fini" ;
• ou rediriger vers la notion grammaticale Adjectif numéral (là on sort du projet math). --Michel421 _{parfaitement agnostique} 12 juin 2010 à 22:39 (CEST)

Là tu es un peu trop enthousiaste pour moi. D'une part un titre comme "Cardinal d'un ensemble" ne suppose en rien que _tout_ ensemble ait un cardinal - au hasard un titre comme parité d'une fonction ne gêne personne, avec raison. Par ailleurs à condition d'utiliser une théorie suffisamment creuse (disons celle de Frege) on peut associer un cardinal à tout ensemble : si le cardinal de A est la classe formée des ensembles équipotents à A, on ne peut à peu près rien en faire, mais on peut quand même l'évoquer. Touriste (d) 12 juin 2010 à 22:46 (CEST)

Ah mais parité d'une fonction commence par : " la parité d'une fonction d'une variable réelle, complexe ou vectorielle est une propriété qui requiert d'abord la symétrie du domaine de définition " donc on précise bien que ça n'a de sens que dans ce cas-là (et si on ne le mettait pas, ça gênerait sûrement du monde). Si on veut faire la même chose avec le cardinal d'un ensemble, il faut bien dire quelque part que ça requiert AC - et ça, Camion n'en veut pas. Maintenant, je ne vais pas me battre pour ça. --Michel421 _{parfaitement agnostique} 12 juin 2010 à 23:10 (CEST)

Oui bien sûr, si on maintient la division en articles séparés, celui-ci va devoir évoluer sérieusement ; simplement il me semble pouvoir finalement survivre, à condition expresse de se remplir bien sûr. Touriste (d) 12 juin 2010 à 23:16 (CEST)

J'arrive un peu tard, mais pourquoi, déjà, ne pas créer un article Cardinalité (autre que la redirection actuelle)? Du coup, on pourrait démarrer par la problématique des bijections, parler des entiers, et renvoyer à des idées plus techniques dans l'article nombre cardinal, non ?--Dfeldmann (d) 13 juin 2010 à 06:33 (CEST)

Organisation des articles généralistes sur les cardinaux

Les échanges qui ont précédé ont pas mal fait avancer les choses, surtout depuis qu'on s'est aperçu que :en divisait le sujet différemment de nous.

Il est plausible (ce n'est pas tranché) qu'on se dirige doucement vers le maintien de l'initiative de Camion (d · c · b) de séparer un article sur les cardinaux d'un article plus spécifique sur l'affectation d'un cardinal à un ensemble. Pour ma part j'y étais plutôt favorable en commençant à taper ce paragraphe, puis reviens pas mal en arrière en regardant concrètement ce que ça donnerait.

L'état actuel est un peu bordélique quand même, car il y a des généralités sur les cardinaux à pas mal d'endroits ; il me semble qu'il faudrait un peu réordonner tout ça. On a pour l'instant :

• La page d'homonymie Cardinalité

• La page généraliste Nombre cardinal

• La présente ébauche Cardinal d'un ensemble

• Une partie significative de l'article Nombre transfini

• Des morceaux de l'article Ensemble fini

• Sur le fini, une bonne partie de Combinatoire, notamment la section "Dénombrement"

• L'ébauche Ensemble infini.

J'ai quelques idées sur la "bonne" façon de réordonner tout ça, et comme les réorganisations d'articles c'est peu convivial j'ouvre ça à la discussion :

• les problématiques liées aux cardinaux des ensembles finis me semblent pouvoir être traitées principalement dans l'article Ensemble fini, où elles le sont d'ailleurs actuellement. Un Article court intitulé Cardinal d'un ensemble fini se bornant à dire que c'est le nombre d'éléments et invitant le lecteur curieux de plus de détails à visiter Ensemble fini ou Dénombrement pourrait le compléter ;

• contrairement à Dfeldmann plus haut, l'état des choses avec la page d'homonymie Cardinalité me semble bon, je suggère de ne pas le modifier et donc de ne pas disposer de ce titre (on peut bien sûr créer un redirect Cardinalité (mathématiques) qui ne peut faire de mal, mais c'est très secondaire) ;

• l'article nombre transfini me convainc fort peu - en l'état il doublonne essentiellement tout ce qui existe sur "ordinaux" et "cardinaux". À terme, sa fusion et disparition m'agréerait, mais pas de raison de se précipiter pour la commettre, c'est un débat à tenir sur sa page de discussions - même si vos réactions ici peuvent être intéressantes ;

• on tombe finalement sur trois articles qui ont des sujets extrêmement imbriqués les uns dans les autres : Nombre cardinal, Cardinal d'un ensemble et Ensemble infini. J'ai du mal à les délimiter quand j'essaie de préparer des plans d'articles. Voici quelques thématiques un peu transversales :

• • tout ce qui est historique. Le développer principalement dans ensemble infini, quitte à se répêter un peu dans les autres articles et inviter le lecteur à aller vers l'endroit où c'est le plus développé ?

• • l'arithmétique cardinale, complètement imbriquée entre l'article sur les nombre cardinaux et l'article sur les cardinaux d'ensembles. C'est l'importance de ce thème qui me conduit à finalement ne pas être favorable à l'éclatement en deux ;

• • les problématiques d'inégalités entre cardinaux, style Cantor-Bernstein, qui ont plutôt leur place à mon sens dans ensemble infini mais qu'on est bien obligé de mentionner aussi dans les articles sur les cardinaux ;

• • les définitions des cardinaux. Or celles-ci sont difficiles à ranger, autre argument contre la séparation. Celle de Frege (voir l'article actuel Nombre cardinal) se rattache très directement à Cardinal d'un ensemble à mon sens, celle dite « classique » (sic) dans ce même article peut être donnée directement, sans référence à un x dont on calcule le cardinal - mais peut aussi être formulée comme "le cardinal de x est le plus petit ordinal équipotent à x ; un cardinal est un ensemble qui est cardinal de quelqu'un". Enfin celle de Scott, pour autant que je la comprenne (Moschovakis 12.45 et 12.46) définit aussi un cardinal comme quelque chose qui est cardinal de x pour au moins un x, donc se rattache plutôt à cardinal d'un ensemble. Le caractère artificiel du rangement de ces définitions entre deux articles distincts me fait traîner des pieds sérieusement quant aux propositions d'éclatement mises en route depuis hier.

J'arrête là mon bilan provisoire, m'éloigne et vous laisse réagir. Prenons notre temps, il y a des liens internes à retoucher, ce ne serait pas une bonne idée de retoucher chacun des 200 ou 300 liens internes quatre fois - certes faire et défaire c'est toujours travailler mais bon... Touriste (d) 13 juin 2010 à 08:58 (CEST)

Note : en allant annoncer cette discussion sur Discussion:Nombre cardinal je découvre qu'elle a en fait lieu une fois par an depuis trois ans :-). Ce n'est pas une raison de ne pas avancer, mais c'en est une pour surtout ne rien faire avant discussion ! Touriste (d) 13 juin 2010 à 09:05 (CEST)

Discussion:Nombre cardinal - je me souviens d'un épisode volumineux, déclenché par Ambigraphe qui lui aussi était hérissé par le "jargon" relatif à ZF etc... et Jean-Luc W avait proposé un schéma "progressif" ; et on était à peu près arrivé à un consensus là-dessus ; j'avais alors entrepris la rédaction d'une intro sur les cardinaux finis (nombre d'éléments) qui finalement est apparue comme un paragraphe et pas une intro - puis au fil des interventions l'article avait un peu divergé de l'objectif initial. Est-ce que l'on pourrait reprendre ça dans l'optique "progressive" ? --Michel421 _{parfaitement agnostique} 13 juin 2010 à 10:04 (CEST)

Je ne pense pas qu'il faille un article séparé Cardinal d'un ensemble fini. Il suffit de résoudre ici le problème en mentionnant, non pas qu'il s'agit du nombre d'élément de l'ensemble, mais d'une mesure de ce nombre d'éléments.Camion (d) 14 juin 2010 à 04:20 (CEST)

L'expression me semble totalement opaque. Vous dites peut-être ne rien comprendre aux termes mathématique dont les articles sont constellés, mais les termes du langage courant que vous utilisez en réponse à ce problème me sont tout aussi opaques. Je ne vois pas du tout à quelle intuition commune correspond ce "mesure". Et par ailleurs je continue à plaider pour un article séparé pour les cardinaux finis, seuls intéressants pour quelqu'un qui cliquerait par exemple sur le lien « cardinal » dans complexe simplicial (« Les faces de cardinal 2 sont aussi appelées arêtes en référence au vocabulaire de la théorie des graphes. Par analogie, pour tout entier $n$, une face de dimension $n$ (dite aussi $n$-face) est une face de cardinal $n$+1. ») et qu'on n'a aucune raison d'aiguiller sur les problématiques de la théorie des ensembles là où elles sont hors sujet. Touriste (d) 14 juin 2010 à 08:24 (CEST)

Totalement opaque ??? C'est pourtant une façon relativement standart d'exprimer les choses. C'est d'ailleurs comme cela que c'est formulé dans l'article en anglais (où j'ai piqué l'idée) !!!

Accessoirement, je n'ai pas dit ne rien comprendre aux termes mathématiques, je dis seulement que la plupart du temps, quand je ne les connais pas, chercher leur explication est extrêmement fastidieux sur wikipédia... quand ne ne sont pas des symboles mathématiques employés sans aucuns liens vers ce à quoi ils se rapportent.

Si ce type d'expression (une mesure) vous parait à vous totalement opaque, alors, il y a beaucoup de travail pour moi ici, pour essayer de concillier les deux mondes... Camion (d) 14 juin 2010 à 12:14 (CEST)

Je ne vois aucun exemple d'utilisation courante du mot « mesure » dont la réponse fournisse autre chose qu'un nombre réel. Pour moi mesurer quelque chose, c'est lui associer un nombre réel (ou un ersatz de nombre réel de la sphère des choses informelles). L'idée de « mesurer » et d'obtenir $\aleph _{\omega }$ comme réponse me semble en effet absolument orthogonale à l'intuition. Je constate en effet que votre formulation vient de l'article en anglais, elle ne me convainc pas pour autant. Touriste (d) 14 juin 2010 à 12:23 (CEST)

Supériorité stricte ?

Anne Bauval à supprimé la ligne qui définissait la supériorité stricte :

• Le cardinal de l'ensemble A est strictement supérieur au cardinal de l'ensemble B s'il existe une fonction injective mais pas de fonction bijective de B dans A

Ce cas apparaissait dans la version anglaise de l'article et je me demande si l'existence de cette supériorité stricte, en particulier dans le cas des cardinalités infinies, est vraiment si triviale qu'on puisse la supprimer. Camion (d) 14 juin 2010 à 04:15 (CEST)

Euh ? La phrase que vous avez retirée ne prétend pas qu'il "existe" deux cardinaux infinis dont l'un est strictement supérieur à l'autre, elle se contentait de donner la définition sans prétendre qu'elle avait des réalisations. Donner cette définition me semble en effet raisonnablement superflu : le sens de "strict" dans le contexte des ensembles ordonnés est défini dans cet article, fait partie des choses très largement connues ; le multiplexer ici me semble noyer le lecteur sous un luxe de détails superflus. Touriste (d) 14 juin 2010 à 08:28 (CEST)

De quoi veut-on parler exactement?

Au début, il semblait que ce qui était proposé se résumait à quelque chose du genre :

Cardinal d'un ensemble : n.m - Nombre d'éléments de cet ensemble.

Autrement dit, une définition de dictionnaire. Les dictionnaires ont leur utilité, ce ne sont pas des encyclopédies. Mais bon....

Et maintenant, on commence à parler de relation d'ordre.

Il faut bien voir que cette approche n'a rien de simple. Il ne sera pas possible de dire quoi que ce soit de tant soit peu pertinent sans doublonner + ou - avec Nombre cardinal. Michel421 _{parfaitement agnostique} 15 juin 2010 à 21:22 (CEST)

En effet, j'ai commencé à revoir les wikiliens pour les diriger selon le cas sur Nombre cardinal ou ici, et ça m'a convaincu que l'exercice est assez artificiel : le lien pertinent dépendait avec un arbitraire certain de la façon précise dont une phrase avait été écrite. J'ai fait un aller-retour dans ma façon de penser (d'abord déconcerté par l'ouverture par Camion d'un deuxième article, puis intéressé par la division pratiquée sur :en pour me stabiliser sur convaincu que ce n'est pas une bonne idée). J'y reviendrai quand j'aurai fini mon brouillon de refonte de l'article principal sur le sujet. Touriste (d) 16 juin 2010 à 08:13 (CEST)

Trop de discussions ouvertes en parallèle, on s'y paume

Sauf bonnes raisons, je vous propose donc, si vous avez des choses à dire sur la réorganisation des articles en rapport avec les cardinaux et autres articles périphériques, de le faire sur Discussion:Nombre cardinal (choix arbitraire : c'est parce que ça a bougé là cet après-midi). Ce n'est ni mieux ni moins bien qu'ici, mais c'est plus pratique si on parle tous au même endroit ! Touriste (d) 17 juin 2010 à 18:55 (CEST)