Infographie bidimensionnelle: Explorer le domaine visuel : l'infographie bidimensionnelle en vision par ordinateur

Infographie bidimensionnelle

Exploration du domaine visuel : infographie bidimensionnelle en vision par ordinateur

Fouad Sabry est l'ancien responsable régional du développement commercial pour les applications chez Hewlett Packard pour l'Europe du Sud, le Moyen-Orient et l'Afrique. Fouad est titulaire d'un baccalauréat ès sciences des systèmes informatiques et du contrôle automatique, d'une double maîtrise, d'une maîtrise en administration des affaires et d'une maîtrise en gestion des technologies de l'information, de l'Université de Melbourne en Australie. Fouad a plus de 25 ans d'expérience dans les technologies de l'information et de la communication, travaillant dans des entreprises locales, régionales et internationales, telles que Vodafone et des machines professionnelles internationales. Actuellement, Fouad est un entrepreneur, auteur, futuriste, axé sur les technologies émergentes et les solutions industrielles, et fondateur de l'initiative One Billion Knowledge.

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Fouad Sabry

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Infographie © en deux dimensions 2024 par Fouad Sabry. Tous droits réservés.

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Couverture dessinée par Fouad Sabry.

Bien que toutes les précautions aient été prises dans la préparation de ce livre, les auteurs et les éditeurs n'assument aucune responsabilité pour les erreurs ou omissions, ou pour les dommages résultant de l'utilisation des informations contenues dans le présent document.

Table des matières

Chapitre 1 : Infographie 2D

Chapitre 2 : Matrice orthogonale

Chapitre 3 : Ellipsoïde

Chapitre 4 : Rotation (mathématiques)

Chapitre 5 : Matrice de transformation

Chapitre 6 : Matrice de rotation

Chapitre 7 : Formalismes de rotation en trois dimensions

Chapitre 8 : Représentation de l'angle de l'axe

Chapitre 9 : Cinématique

Chapitre 10 : Opérateur de rotation tridimensionnel

Appendice

À propos de l'auteur

Chapitre 1 : Infographie 2D

La génération d'images numériques sur un ordinateur, généralement à partir de modèles bidimensionnels (tels que des modèles géométriques 2D, du texte et des images numériques) et à l'aide de méthodes adaptées à ces types de modèles est connue sous le nom d'infographie 2D. Il pourrait s'agir soit des modèles eux-mêmes, soit du domaine de l'informatique qui les inclut.

La typographie, la cartographie, le dessin technique, la publicité, etc. sont autant d'exemples d'applications qui se sont appuyées sur la base de l'infographie 2D. Les modèles bidimensionnels sont préférés aux images de synthèse tridimensionnelles dans ces cas, car ils permettent un meilleur contrôle direct de l'image. En effet, l'image bidimensionnelle est plus qu'une simple représentation d'un objet du monde réel ; Il a également une valeur sémantique supplémentaire (dont l'approche s'apparente plus à la photographie qu'à la typographie).

Les descriptions de documents basées sur des techniques d'infographie 2D peuvent être beaucoup plus petites que l'image numérique correspondante dans de nombreux domaines, notamment la publication assistée par ordinateur, l'ingénierie et les affaires. Étant donné que cette représentation peut être rendue à différentes résolutions pour s'adapter à une variété de périphériques de sortie, elle est également plus polyvalente. C'est pourquoi les fichiers graphiques 2D sont couramment utilisés pour l'archivage et le transport de documents et d'images.

Les appareils graphiques vectoriels des années 1950 ont ouvert la voie aux premières images de synthèse en 2D. Dans les décennies qui ont suivi, les appareils matriciels sont devenus la norme. Deux des innovations les plus importantes dans ce domaine sont le langage PostScript et le protocole X Window System.

Des combinaisons de modèles géométriques (également appelés graphiques vectoriels), d'images numériques (également appelées graphiques matriciels), de texte à composer (décrit par son contenu, son style et sa taille de police, sa couleur, sa position et son orientation), de fonctions et d'équations mathématiques, ainsi que d'autres types d'informations sont toutes possibles dans les modèles graphiques 2D. Les transformations géométriques bidimensionnelles, telles que la translation, la rotation et la mise à l'échelle, permettent une manipulation facile et précise de ces pièces. Un objet doté d'une méthode d'auto-rendu, un processus qui attribue arbitrairement des couleurs aux pixels de l'image, décrit l'image dans des graphiques orientés objet. Dans les paradigmes de programmation orientée objet, les modèles complexes sont construits à partir de sous-modèles.

Les principes de la géométrie euclidienne, En géométrie, une translation déplace chaque point d'une certaine distance fixe dans une certaine direction.

Un type de « mouvement rigide » est la translation ; D'autres types incluent la rotation et la réflexion.

Il est également possible de considérer une translation comme le processus d'ajout d'un vecteur constant à chaque point, ou comme si l'origine du système de coordonnées était déplacée.

Un opérateur de traduction est un opérateur T_\mathbf{\delta} tel que T_\mathbf{\delta} f(\mathbf{v}) = f(\mathbf{v}+\mathbf{\delta}).

Lorsque v est un vecteur constant, alors la translation Tv fonctionnera comme suit : Tv(p) = p + v.

Théoriquement, si T est une translation, si A est un sous-ensemble et T est une fonction, alors la translation de A par T est l'image de A sous T.

La traduction de A par Tv s'écrit souvent A + v.

Toute translation dans un espace euclidien est aussi une isométrie. L'ensemble de toutes les translations est appelé le groupe de translation T, et c'est un sous-groupe ordinaire du groupe euclidien E, étant isomorphe à l'espace lui-même (n ). Le groupe orthogonal O est un isomorphisme du groupe quotient E(n) par T. (n) :

E(n ) / T ≅ O(n ).

Contrairement à une transformation linéaire, une translation est une transformation affine, l'opérateur de translation est généralement représenté par une matrice, ce qui la rend linéaire, lorsque des coordonnées homogènes sont utilisées.

Ainsi, nous écrivons le vecteur tridimensionnel w = (wx, wy, wz) en utilisant 4 coordonnées homogènes comme w = (wx, wy, wz, 1).

Chaque vecteur homogène p (en coordonnées homogènes) doit être multiplié par cette matrice de translation si un objet doit être traduit par un vecteur v :

Le produit de la multiplication est comme indiqué dans le tableau ci-dessous :

Pour trouver l'inverse d'une matrice de translation, il suffit d'inverser la direction du vecteur :

De même, en multipliant les vecteurs ensemble, on obtient le produit de deux matrices de translation :

La multiplication des matrices de translation est commutative car l'addition vectorielle est commutative (contrairement à la multiplication de matrices arbitraires).

Une matrice de rotation, en algèbre linéaire, est une matrice qui fait pivoter un objet dans l'espace euclidien.

fait pivoter les points du plan xy-cartésien dans le sens inverse des aiguilles d'une montre d'un angle θ autour de l'origine du système de coordonnées cartésiennes.

Une matrice de rotation R est utilisée pour effectuer la rotation, les coordonnées de chaque point doivent être exprimées sous la forme d'un vecteur dans la direction verticale, constitué des coordonnées du point.

La multiplication matricielle Rv donne un vecteur tourné.

Pour clarifier, le vecteur zéro (c'est-à-dire n'est pas affecté par la multiplication matricielle, basée sur des coordonnées de degré zéro), Seules les rotations autour de l'origine du système de coordonnées peuvent être décrites au moyen de matrices de rotation.

De telles rotations peuvent être facilement décrites algébriquement à l'aide de « matrices de rotation », et jouent un rôle crucial dans les calculs géométriques, la physique et les interfaces graphiques.

Dans les limites d'un plan, une rotation peut être simplement décrite par un angle θ de rotation, Alternativement, les 4 entrées d'une matrice de rotation 22 peuvent être utilisées pour la représenter.

En ce qui concerne la troisième dimension, voir aussi le théorème de rotation d'Euler, qui stipule que toute rotation peut être refondue en une rotation angulaire autour d'un axe unique et immuable, qui peut être réduit à un angle et à un vecteur à trois éléments.

Cependant, il peut également être représenté par les 9 entrées d'une matrice de rotation 33.

Dans les dimensions supérieures à trois, la rotation est rarement employée ; Un déplacement de rotation est quelque chose dont on peut parler, qu'une matrice peut être utilisée pour représenter, il n'y a pas d'axe ou d'angle unique qui lui est associé.

Une matrice de rotation est une matrice carrée dont les entrées sont toutes réelles. Pour être plus précis, il s'agit de matrices orthogonales déterminantes-1 :

R^{T} = R^{-1}, \det R = 1\, .

L'ensemble de toutes les matrices orthogonales spéciales n par n forme un groupe appelé SO (n).

Voici la forme que prend chaque matrice de rotation bidimensionnelle :

R(\theta )={\begin{bmatrix}\cos \theta &-\sin \theta \\\sin \theta &\cos \theta \\\end{bmatrix}} .

En multipliant la matrice suivante, les vecteurs de colonne sont tournés :

.

Après rotation, les coordonnées du point d'origine (x,y) sont :

x'=x\cos \theta -y\sin \theta \, , y'=x\sin \theta +y\cos \theta \, .

Le sens de rotation du vecteur est dans le sens inverse des aiguilles d'une montre si θ est positif (par ex.

90°), et dans le sens des aiguilles d'une montre si θ est négatif (par ex.

-90°).

.

Dans le cas d'un système cartésien droitier, vers la droite le long de l'axe x et vers le haut le long de l'axe y, la rotation R(θ) est dans le sens inverse des aiguilles d'une montre.

Pour qu'un système cartésien gaucher fonctionne, avec x pointant vers la droite et y pointant vers le bas, R(θ) est dans le sens des aiguilles d'une montre.

En mathématiques, de telles perspectives inhabituelles sont rarement utilisées, mais dans l'infographie 2D, elles sont monnaie courante, qui commencent généralement en haut à gauche et se déplacent dans le sens des aiguilles d'une montre vers le bas de la page.

D'autres conventions possibles qui modifient la signification d'une rotation produite par une matrice sont discutées ci-dessous.

Les matrices pour les rotations à 90° et 180° sont particulièrement utiles :

R(90^\circ) = \begin{bmatrix} 0 & -1 \\[3pt] 1 & 0 \\ \end{bmatrix} (rotation de 90° dans le sens inverse des aiguilles d'une montre)

R(180^\circ) = \begin{bmatrix} -1 & 0 \\[3pt] 0 & -1 \\ \end{bmatrix} (rotation de 180° dans les deux sens – un demi-tour)

R(270^\circ) = \begin{bmatrix} 0 & 1 \\[3pt] -1 & 0 \\ \end{bmatrix} (rotation de 270° dans le sens inverse des aiguilles d'une montre, identique à une rotation de 90° dans le sens des aiguilles d'une montre)

La mise à l'échelle uniforme, également connue sous le nom de mise à l'échelle isotrope, dilatation homogène et homothétie, est une transformation linéaire en géométrie euclidienne qui agrandit ou réduit les objets du même facteur d'échelle dans toutes les directions. Lorsque vous mettez tout à l'échelle selon le même facteur, le résultat final est géométriquement similaire à l'original. Dans la plupart des cas, vous pouvez traiter les formes congruentes comme similaires avec un facteur d'échelle de 1. (Certains manuels excluent explicitement cette possibilité, tout comme certains excluent la possibilité qu'un carré soit un rectangle ou qu'un cercle soit une ellipse.)

L'approche la plus générale consiste à utiliser un facteur d'échelle différent pour chaque axe. Lorsqu'au moins un des facteurs d'échelle est distinct des autres, on a une mise à l'échelle non uniforme (mise à l'échelle anisotrope, dilatation inhomogène) ; La mise à l'échelle directionnelle ou l'étirement est un cas particulier (dans une direction). Lorsqu'un objet est mis à l'échelle de manière non uniforme, sa forme change en conséquence. Par exemple, un carré dont les côtés ne sont pas parallèles aux axes de mise à l'échelle devient un rectangle ou un parallélogramme (les angles entre les droites parallèles aux axes sont conservés, mais pas tous les angles).

Une matrice de mise à l'échelle est une représentation d'une mise à l'échelle.

Pour mettre à l'échelle un objet par un vecteur v = (vx, vy, vz), chaque point p = (px, py, pz) devrait être multiplié avec cette matrice de mise à l'échelle :

Le produit de la multiplication est comme