Perspective curviligne: Explorer la perception de la profondeur dans la vision par ordinateur

Perspective curviligne

Exploration de la perception de la profondeur dans la vision par ordinateur

Fouad Sabry est l'ancien responsable régional du développement commercial pour les applications chez Hewlett Packard pour l'Europe du Sud, le Moyen-Orient et l'Afrique. Fouad est titulaire d'un baccalauréat ès sciences des systèmes informatiques et du contrôle automatique, d'une double maîtrise, d'une maîtrise en administration des affaires et d'une maîtrise en gestion des technologies de l'information, de l'Université de Melbourne en Australie. Fouad a plus de 25 ans d'expérience dans les technologies de l'information et de la communication, travaillant dans des entreprises locales, régionales et internationales, telles que Vodafone et des machines professionnelles internationales. Actuellement, Fouad est un entrepreneur, auteur, futuriste, axé sur les technologies émergentes et les solutions industrielles, et fondateur de l'initiative One Billion Knowledge.

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Fouad Sabry

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Perspective © curviligne 2024 de Fouad Sabry. Tous droits réservés.

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Couverture dessinée par Fouad Sabry.

Bien que toutes les précautions aient été prises dans la préparation de ce livre, les auteurs et les éditeurs n'assument aucune responsabilité pour les erreurs ou omissions, ou pour les dommages résultant de l'utilisation des informations contenues dans le présent document.

Table des matières

Chapitre 1 : Perspective curviligne

Chapitre 2 : Système de coordonnées sphériques

Chapitre 3 : Tétraèdre

Chapitre 4 : n-sphère

Chapitre 5 : Projection stéréographique

Chapitre 6 : Ellipsoïde

Chapitre 7 : Géométrie conforme

Chapitre 8 : Projection 3D

Chapitre 9 : Intégrale de surface

Chapitre 10 : Elément de volume

Appendice

À propos de l'auteur

Chapitre 1 : Perspective curviligne

La perspective curviligne, également un point de vue à cinq points, est une projection graphique utilisée pour représenter des choses tridimensionnelles sur des surfaces bidimensionnelles.

Il a été formellement codifié en 1968 par les artistes et historiens de l'art André Barré et Albert Flocon dans le livre La Perspective curviligne, par analogie avec un objectif fisheye, la perspective curviligne est officieusement appelée point de vue fisheye. Dans l'animation par ordinateur et l'animation graphique, elle est également connue sous le nom de planète miniature.

Le Portrait d'Arnolfini (1434) par le primitif flamand Jan van Eyck contient un exemple précoce de perspective curviligne approximative à cinq points. Autoportrait dans un miroir convexe (vers 1524) du peintre maniériste Parmigianino et Vue de Delft (1652) du peintre néerlandais de l'âge d'or Carel Fabritius en sont des exemples ultérieurs.

En 1959, Flocon obtint un exemplaire de Grafiek en tekeningen de M. C. Escher, dont l'utilisation de la perspective courbe et incurvée inspira grandement la théorie que Flocon et Barre créaient. Ils ont entamé une longue relation, au cours de laquelle Escher a qualifié Flocon d'« âme sœur ».

L'approche combine à la fois des lignes de perspective courbes et un ensemble de lignes droites convergentes pour imiter plus correctement l'image sur la rétine de l'œil, qui est elle-même sphérique, que la perspective linéaire classique, qui n'utilise que des lignes droites mais est extrêmement déformée sur les bords.

Quatre, cinq points de fuite ou plus sont utilisés :

Dans la perspective à cinq points (fisheye), quatre points de fuite sont placés autour de la circonférence d'un cercle et étiquetés Nord, Ouest, Sud et Est.

La perspective à quatre points, ou infinis, est celle qui ressemble (sans doute) le plus à la perspective de l'œil humain, tout en étant efficace pour représenter des espaces impossibles. Tout comme la perspective à cinq points est l'équivalent curviligne de la perspective à un point, la perspective à quatre points est l'équivalent de la perspective à deux points.

À l'instar de la perspective à deux points, cette approche peut utiliser une ligne verticale comme ligne d'horizon pour fournir simultanément une vue à vol de ver et une vue à vol d'oiseau. Il utilise quatre points ou plus espacés de manière égale le long d'une ligne d'horizon, toutes les lignes verticales sont construites perpendiculairement à la ligne d'horizon et les orthogonales sont créées à l'aide d'une boussole placée sur une ligne qui passe par chacun des quatre points de fuite à un angle de 90 degrés.

Les distances a et c entre le spectateur et le mur sont supérieures à b, donc en appliquant le principe qu'un objet rétrécit à mesure que sa distance par rapport à l'observateur augmente, le mur est rétréci et apparaît déformé à ses bords.

Si un point a les coordonnées cartésiennes en trois dimensions (x,y,z) :

Désignant la distance entre le point et l'origine par d = √x2

+ y2 + z2

, Par conséquent, la transition du point vers un système de référence curviligne de rayon R est

(si d = 0 et que le point est à l'origine, sa projection n'est pas définie)

Ceci est obtenu en projetant d'abord le point 3D sur une sphère de rayon R centrée à l'origine, de sorte qu'une image du point avec des coordonnées est obtenue.

Ensuite, une projection parallèle parallèle à l'axe z est utilisée pour projeter le point de la sphère sur le papier à z = R, obtenant ainsi le résultat.

Puisqu'il n'est pas pertinent que le papier repose sur le plan z = R, nous ne tenons pas compte de la coordonnée z du point de l'image, ce qui donne

Étant donné que la modification R n'équivaut qu'à une mise à l'échelle, elle est généralement caractérisée comme une unité, ce qui simplifie encore la formule pour :

Une ligne qui ne passe pas par l'origine est projetée sur la sphère sous la forme d'un grand cercle, qui est ensuite projeté sur le plan sous la forme d'une ellipse. C'est une propriété d'une ellipse que son grand axe soit un diamètre du « cercle englobant ».

Arrivée de l'empereur Charles IV à la basilique Saint-Denis, par Jean Fouquet

Parmigianino, portrait de lui-même dans un miroir convexe

Détail du 14ème siècle d'un miroir convexe dans le portrait d'Arnolfini de Jan van Eyck.

{Fin du chapitre 1}

Chapitre 2 : Système de coordonnées sphériques

Pour spécifier l'emplacement d'un point dans l'espace tridimensionnel à l'aide d'un système de coordonnées sphériques, trois nombres sont utilisés : la distance radiale de l'origine, l'angle polaire mesuré à partir du zénith et l'angle azimutal de la projection orthogonale sur le plan qui passe par l'origine et est orthogonal au zénith. C'est comme le système de coordonnées polaires, mais en trois dimensions.

Le terme « distance radiale » fait référence à la distance le long de l'axe radial d'un cercle. La colatitude, l'angle zénithal, l'angle normal et l'angle d'inclinaison sont tous des noms pour l'angle polaire.

Lorsque le rayon est maintenu constant, les deux coordonnées angulaires forment un système de coordonnées sphériques.

Différentes ressources et champs peuvent utiliser des symboles différents et organiser les coordonnées dans un ordre différent.

Cet article utilisera la convention ISO fréquemment rencontrée en physique : (r,\theta ,\varphi ) donne la distance radiale, l'angle polaire et l'azimut de la boussole.

En revanche, plusieurs textes mathématiques, {\displaystyle (\rho ,\theta ,\varphi )} ou (r,\theta ,\varphi ) donne la distance radiale, l'angle azimutal, l'angle polaire, en changeant les significations de θ et de φ.

Il y a aussi plus d'idiomes utilisés, par exemple, la distance r est par rapport à l'axe z, il est donc essentiel de vérifier l'interprétation des symboles.

Les positions sont exprimées en utilisant le langage des systèmes de coordonnées géographiques, la latitude est la métrique utilisée pour localiser les objets, la longitude, la stature (altitude).

Il existe différents systèmes de coordonnées célestes, chacun ayant son propre plan fondamental et son propre ensemble de termes pour les différentes mesures angulaires et linéaires.

Les systèmes de coordonnées sphériques utilisés en mathématiques utilisent normalement des radians plutôt que des degrés et mesurent l'angle azimutal dans le sens inverse des aiguilles d'une montre de l'axe x à l'  axe des y plutôt que dans le sens des aiguilles d'une montre du nord (0°) à l'est (+90°) comme le système de coordonnées horizontales.

Plutôt que d'utiliser l'angle polaire, on peut utiliser l'angle d'élévation, qui est l'angle entre le plan horizontal et l'axe Z positif, 0 degré d'élévation au-dessus de l'horizon ; Un angle d'élévation négatif est appelé angle de dépression.

Le système de coordonnées sphériques est une généralisation plus large du système de coordonnées polaires pour une utilisation en trois dimensions. Il peut être généralisé à des dimensions supérieures, auquel cas il est connu sous le nom de système de coordonnées hypersphériques.

Un système de coordonnées sphériques