Signum-funktio
![](http://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/4/4f/Signum_function.svg/250px-Signum_function.svg.png)
Signum-funktio eli etumerkkifunktio on matematiikassa erikoisfunktio, joka saa arvoksi vain lukuja –1, 0 ja 1. Muita arvoja se ei saa. Funktion nimi tulee latinan sanasta signum, joka tarkoittaa merkkiä. Lausekkeissa funktion nimenä käytetään kolmikirjaimista lyhennettä sgn[1], jolloin lauseke voidaan merkitä esimerkiksi
Funktio onkin määritelty tietokoneiden ohjelmointikieliä varten, jotta laskelmissa voidaan määrittää lausekkeen tuloksen merkki ja käyttää sitä tietoa hyväksi.
Funktion saamat arvot tulevat argumentin merkin mukaan seuraavasti. Jos argumentti on negatiivinen, saa signum arvokseen –1, jos argumentti on nolla, saa signum arvokseen 0 ja jos argumentti on positiivinen, tulee signumin arvoksi +1 [1]. Plus-merkki ja miinus-merkki tulkitaan signum-funktiossa luvuiksi +1 ja –1 [2][3][4][5]. Tämä voidaan esittää reaaliluvuilla paloittaisena esityksenä
Funktion ominaisuuksia
[muokkaa | muokkaa wikitekstiä]Vaihtoehtoisia määritystapoja
[muokkaa | muokkaa wikitekstiä]Kun , se voidaan laskea myös muodossa
missä tarkoittaa :n itseisarvoa. Se voidaan ilmaista myös erään yksiportaisen askelfunktion Heavisiden funktion avulla:
Parittomuus
[muokkaa | muokkaa wikitekstiä]Signum-funktio on pariton funktio, sillä positiiviselle luvulle pätee koska .
Muita ominaisuuksia
[muokkaa | muokkaa wikitekstiä]Signumin avulla voidaan laskea itseisarvo .[6] Toisaalta voidaan kirjoittaa myös .
Reaalilukujen kertolaskun merkkisääntö voidaan ilmaista . Vastaava pätee osamäärällekin.
Signum voidaan yhdistää itsensä kanssa yhdistetyksi funktioksi, mutta se ei muuta sen arvoa: .
Jatkuvuus realiluvuilla
[muokkaa | muokkaa wikitekstiä]Signum on jatkuva funktio kaikkialla paitsi origossa, missä vasemmanpuoleinen raja-arvo on ja oikeanpuoleinen raja-arvo .
Kompleksiluvut
[muokkaa | muokkaa wikitekstiä]Signumin määrittäminen kompleksiluvuille voidaan tehdä eri tavoin. Jos luku on kompleksiluku, määritetään sen merkki
missä itseisarvo , ja muuten . Sama asia voidaan kirjoittaa myös
missä . Kun signum reaaliluvulla tarkoittaa yleensä arvoa ±1, on signum kompleksiluvuilla yleensä lukua, joka sijaitsee kompleksitason origokeskeisellä yksikköympyrällä eli [6] Kun kompleksiluku esitetään muodossa , tulee kaava muotoon
Kaikille kompleksiluvuille ja niiden kompleksikonjugaateille on voimassa .[6]
Kompleksilukujen signum-funktiolle on osoitettavissa seuraavia ominaisuuksia:
- (tulon merkkisääntö)
- positiiviselle reaaliluvulle
- negatiiviselle reaaliluvulle
- (pariton funktio kompleksiluvuille)
- kompleksilukujen konjugaateille
- kun .
Derivaatta ja integraali
[muokkaa | muokkaa wikitekstiä]Signum-funktiolla on derivaatta (joka on nolla) kaikkialla muualla paitsi origossa, joka on epäjatkuvuuskohta. Distibuutioteoriassa voidaan kuitenkin kirjoittaa
missä on Diracin deltafunktio. Signumin yleinen integraali on
Lähteet
[muokkaa | muokkaa wikitekstiä]- ↑ a b c d e f g Weisstein, Eric W.: Sign (Math World – A Wolfram Web Resource) Wolfram Research. (englanniksi)
- ↑ Weisstein, Eric W.: Plus sign (Math World – A Wolfram Web Resource) Wolfram Research. (englanniksi)
- ↑ Weisstein, Eric W.: Minus sign (Math World – A Wolfram Web Resource) Wolfram Research. (englanniksi)
- ↑ Weisstein, Eric W.: Positive (Math World – A Wolfram Web Resource) Wolfram Research. (englanniksi)
- ↑ Weisstein, Eric W.: Negative (Math World – A Wolfram Web Resource) Wolfram Research. (englanniksi)
- ↑ a b c d PlanetMath: Signum function (Arkistoitu – Internet Archive) (englanniksi)
- ↑ Wolfram Research: Sign (englanniksi)
Kirjallisuutta
[muokkaa | muokkaa wikitekstiä]- Oppenheim, Alan V.; Willsky Alan S.; with Nawab, Syed Hamid: Signals and Systems, s. 1–957. Prentice-Hall Signal Processing Series, 1997 (1983). ISBN 0-13-651175-9.
Aiheesta muualla
[muokkaa | muokkaa wikitekstiä]- Mathematik: Die Signumfunktion (saksaksi)
- LipsWork: Signum function(englanniksi)