همولوژی (ریاضیات)

در ریاضیات همولوژی راهی کلی برای نسبت دادن دنباله ای از اشیاء جبری مثل گروه‌های آبلی یا مدول‌ها به دیگر اشیاء جبری مثل فضاهای توپولوژیکی است. گروه‌های همولوژی در ابتدا در توپولوژی جبری تعریف شدند. انواع مختلف ساختارهای مشابه نیز در دیگر زمینه‌ها چون جبر مجرد، گروه‌ها، جبرهای لی، نظریه گالوا و هندسه جبری موجودند.

انگیزه اصلی برای تعریف گروه‌های همولوژی، مشاهده این نکته بود که هر دو شکل را می‌توان با بررسی حفره‌هایش تمیز داد. به عنوان مثال، یک دایره دیسک نیست، چون دایره حفره ای دارد، در حالی که دیسک صلب و بدون حفره است، در حالی که یک کره معمولی دایره نیست چون کره دارای حفره دو بعدی است در حالی که دایره حفره یک بعدی است. درحالی که نمی‌توان به صورت صریح به حفره اشاره کرد و گفت که حفره ای «در آنجا نیست»، لذا تعریف حفره و این که چه چیزی حفره‌های مختلف را از هم متمایز می‌کند امر روشنی نیست. همولوژی در ابتدا روشی ریاضیاتی بود که حفره‌ها را تعریف کرده و آن‌ها را در منیفلدها دسته‌بندی کرد. به‌طور کلی می‌توان گفت که یک چرخه یک زیرمنیفلد بسته‌است، یک مرز چرخه است که خود مرز یک زیر منیفلد بوده و کلاس همولوژی (که نمایانگر یک حفره است) کلاس هم‌ارزی چرخه‌ها به هنگ (پیمانه) مرز هاست؛ لذا یک کلاس همولوژی با چرخه ای نمایندگی می‌شود که مرزی هیچ زیر منیفلدی نیست: این چرخه نماینده یک حفره است، یک منیفلد فرضی که مرزش آن چرخه است، در حالی که «آنجا نیست».

انواع مختلفی از نظریات همولوژی مختلف وجود دارند. نوع خاصی از اشیاء ریاضی چون فضاهای توپولوژی یا گروه‌ها، ممکن است یک یا چند نظریه همولوژی متناظر داشته باشند. زمانی که شیء زیرین توصیف هندسی چون فضاهای توپولوژیکی داشته باشند، n-امین گروه همولوژی نمایانگر رفتار در بعد nام است. بسیاری از گروه‌های همولوژی یا مدول‌ها را می‌توان به صورت فانکتورهای مشتق شده روی رسته‌های آبلی مناسب فرموله کرد، که میزان عدم دقیق بودن یک فانکتور (تابعگون) را اندازه‌گیری می‌کند. ازین جنبه تجریدی، گروه‌های همولوژی را می‌توان به کمک اشیاء یک رسته مشتق شده تعیین کرد.

یادداشت‌ها و ارجاعات

• مشارکت‌کنندگان ویکی‌پدیا. «Homology Theory». در دانشنامهٔ ویکی‌پدیای انگلیسی.

منابع

• Cartan, Henri Paul and Eilenberg, Samuel (1956) Homological Algebra Princeton University Press, Princeton, NJ, OCLC 529171
• Eilenberg, Samuel and Moore, J. C. (1965) Foundations of relative homological algebra (Memoirs of the American Mathematical Society number 55) American Mathematical Society, Providence, R.I. , OCLC 1361982
• Hatcher, A. , (2002) Algebraic Topology Cambridge University Press, شابک ‎۰−۵۲۱−۷۹۵۴۰−۰. Detailed discussion of homology theories for simplicial complexes and manifolds, singular homology, etc.
• Homology group at Encyclopaedia of Mathematics
• Hilton, Peter (1988), "A Brief, Subjective History of Homology and Homotopy Theory in This Century", Mathematics Magazine, Mathematical Association of America, 60 (5): 282–291, JSTOR 2689545
• Teicher, M., ed. (1999), The Heritage of Emmy Noether, Israel Mathematical Conference Proceedings, Bar-Ilan University/American Mathematical Society/Oxford University Press, ISBN 978-0-19-851045-1, OCLC 223099225
• Homology (Topological space) at PlanetMath.
• Richeson, D. ; Euler's Gem: The Polyhedron Formula and the Birth of Topology, Princeton University (2008)
• Spanier, Edwin H. (1966). Algebraic Topology, Springer, p. 155,. شابک ‎۰−۳۸۷−۹۰۶۴۶−۰.
• Timothy Gowers, June Barrow-Green, Imre Leader (2010), The Princeton Companion to Mathematics, Princeton University Press, شابک ‎۹۷۸۱۴۰۰۸۳۰۳۹۸.
• John Stillwell (1993), Classical Topology and Combinatorial Group Theory, Springer, doi:10.1007/978-1-4612-4372-4_6, شابک ‎۹۷۸−۰−۳۸۷−۹۷۹۷۰−۰.
• Charles A. Weibel (1999), History of Homological Algebra, chapter 28 in the book History of Topology by I.M. James, Elsevier, شابک ‎۹۷۸۰۰۸۰۵۳۴۰۷۷.