عدد برنولی

اعداد برنولی B±
n

n	کسری	ده‌دهی
0	1	+1.000000000
1	±1/2	±0.500000000
2	1/6	+0.166666666
3	0	+0.000000000
4	−1/30	−0.033333333
5	0	+0.000000000
6	1/42	+0.023809523
7	0	+0.000000000
8	−1/30	−0.033333333
9	0	+0.000000000
10	5/66	+0.075757575
11	0	+0.000000000
12	−691/2730	−0.253113553
13	0	+0.000000000
14	7/6	+1.166666666
15	0	+0.000000000
16	−3617/510	−7.092156862
17	0	+0.000000000
18	43867/798	+54.97117794
19	0	+0.000000000
20	−174611/330	−529.1242424

اعداد برنولی با نماد B_n در ریاضیات، دنباله‌ای اند از عددهای گویا که در نظریه اعداد روی می‌دهد. مقدار ۲۰ عدد برنولی در جدول کناری آمده‌است.

به ازای هر n ناصفر زوج، اگر n بر ۴ بخش پذیر باشد B_n منفی و در غیر این صورت مثبت خواهد بود همچنین به ازای nهای فرد غیر از ۱، B_n صفر خواهد بود.

در فرمول زیر روش انتقال از عدد منفی به مثبت نشان داده شده‌است:

$B_{n}^{+{}}=(-1)^{n}B_{n}^{-{}}$

اعداد برنولی، مقدارهای خاصی از چندجمله‌ای برنولی، $B_{n}(x)$ اند با فرض $B_{n}^{-{}}=B_{n}(0)$ و $B_{n}^{+}=B_{n}(1)$.

از آنجایی که به ازای همهٔ اعداد فرد بزرگتر از ۱، B_n = ۰ است بسیاری از فرمول‌هایی که برای عددهای برنولی ارائه می‌شود در اصل برای اعداد زوج است و منظور از "B_n" همان B_2n است.

اعداد برنولی در گسترش بسط تیلور توابع مثلثاتی و تانژانت توابع هذلولوی، در فرمول فالهابر برای جمع توان‌های نخستین اعداد صحیح مثبت ($\sum _{k=1}^{n}k^{p}=1^{p}+2^{p}+\cdots +n^{p}$)، در فرمول اویلر-مکلورن و در جاهایی در تابع زتای ریمان دیده می‌شود.

عددهای برنولی توسط ریاضی‌دان سوئیسی یاکوب برنولی معرفی شدند و به نام او ثبت شدند اما یک ریاضی‌دان ژاپنی به نام سکی تاکاکازو نیز این اعداد را شناسایی کرده بود که پس از مرگش در ۱۷۱۲ مقاله اش منتشر شد؛ کار او کاتسویو سامپو نام داشت.

ایدا لاولیس در نوشته‌هایش پیرامون موتور تحلیلی از ۱۸۴۲ به توصیف الگوریتمی برای تولید اعداد برنولی توسط ماشین ببیج می‌پردازد.

پیشینه

کارهای نخست

گذشتهٔ اعداد برنولی ریشه در تاریخ محاسبهٔ مجموع توان‌های اعداد طبیعی دارد. روش‌های محاسبهٔ جمع n عدد طبیعی نخست ($\sum _{k=1}^{n}k=1+2+\cdots +n$) همچنین جمع توان دوها (مربعات) ($\sum _{k=1}^{n}k^{2}=1^{2}+2^{2}+\cdots +n^{2}$) و توان سه‌ها (مکعبات) n عدد طبیعی ($\sum _{k=1}^{n}k^{3}=1^{3}+2^{3}+\cdots +n^{3}$) قبلاً بدست آمده بود اما هیچ فرمول ریاضی مشخصی برای آنها گفته نشده بود و حل آنها تنها به صورت توضیحی و با واژه‌ها بیان شده بود، بدون فرمول ریاضی. از جمله ریاضی‌دانان نامی که به حل مجموع توان‌های اعداد طبیعی پرداختند می‌توان به فیثاغورس، ارشمیدس، آریابهاتا، ابوبکر کرجی و ابن هیثم اشاره کرد.

در سدهٔ شانزدهم و آغاز سدهٔ هفده‌ام میلادی ریاضی‌‌‌‌دانان پیشرفت شگرفی در این زمینه کردند. در غرب، توماس هریوت (۱۵۶۰ تا ۱۶۲۱) از انگلستان، یوهان فالهابر (۱۵۸۰ تا ۱۶۳۵) از آلمان و پیر دو فرما (۱۶۰۱ تا ۱۶۶۵) و همکار فرانسوی‌اش بلز پاسکال (۱۶۲۳ تا ۱۶۶۲) همگی نقش مهمی در این زمینه داشتند.

ظاهراً توماس هریوت نخستین کسی است که برای مجموع توان‌های اعداد طبیعی از نمادهای ریاضی استفاده کرده‌است اما او توانست تنها تا توان ۴ را محاسبه کند. یوهان فالهابر توانست برای مجموع توان‌های اعداد طبیعی تا توان ۱۷ فرمول‌هایی را بدست آورد که این بالاترین دستاورد تا آن زمان بود؛ اما او هم نتوانست فرمول کلی برای همهٔ توان‌ها بدست آورد.

بلز پاسکال در ۱۶۵۴، معادلهٔ پاسکال مربوط به مجموع pامین توان n عدد صحیح مثبت نخست را اثبات کرد به ازای p = 0, 1, 2, …, k.

ریاضی‌دان سوئیسی ژاکوب برنولی (۱۶۵۴ تا ۱۷۰۵) نخستین کسی بود که دریافت یک دنباله یکتا از اعداد می‌تواند به تنهایی فرمولی کلی برای مجموع توان‌های اعداد صحیح مثبت به ازای هر توانی را بدست دهد این دنباله ثابت‌های B₀, B₁, B₂,… داشت. لذتی که برنولی از بدست آوردن الگویی برای ضرایب فرمولش در محاسبۀ مجموع توان cام اعداد طبیعی تجربه کرد در یادداشت‌هایش این گونه بیان شده است:

با کمک این میز (پشت همین میز) در کمتر از نیمی از یک چهارم ساعت توانستم مجموع توان دهم ۱۰۰۰ عدد طبیعی نخست را بدست آورم و به جواب ۹۱٬۴۰۹٬۹۲۴٬۲۴۱٬۴۲۴٬۲۴۳٬۴۲۴٬۲۴۱٬۹۲۴٬۲۴۲٬۵۰۰ برسم.

نتایج برنولی پس از مرگش در ۱۷۱۳ در کتابی با عنوان هنر گمان بردن (Ars Conjectandi) منتشر شد. سکی تاکاکازو نیز به صورت مستقل به اعداد برنولی دست پیدا کرد و نتایج کارش در ۱۷۱۲، پس از مرگش منتشر شد البته روش سکی به صورت فرمول ریاضی و دنباله‌ای با ثابت‌های مشخص بیان نشد.

فرمول برنولی تا امروز به عنوان کاربردی‌ترین و عمومی‌ترین روش در بدست آوردن مجموع توان‌ها دانسته می‌شود. ضریب‌های استفاده شده در فرمول برنولی امروزه با نام اعداد برنولی شناخته می‌شوند. این نامگذاری به پیشنهاد ابراهام دو مواور بود.

گاهی به فرمول برنولی، فرمول فالهابر نیز گفته می‌شود این نامگذاری به پاس تلاش‌هایی است که یوهان فالهابر انجام داد او راه‌های ارزشمندی برای محاسبهٔ مجموع توان‌ها ارائه کرد اما هرگز به یک فرمول کلی نرسید او هرگز گمان نمی‌کرد یک دنباله از اعداد بتواند بیانگر جواب مسئله باشد.

$\quad \sum n^{m}={\frac {1}{m+1}}\left(B_{0}n^{m+1}+{\binom {m+1}{1}}B_{1}^{+}n^{m}+{\binom {m+1}{2}}B_{2}n^{m-1}+\cdots +{\binom {m+1}{m}}B_{m}n\right)$

یا

$\quad \sum n^{m}={\frac {1}{m+1}}\left(B_{0}n^{m+1}-{\binom {m+1}{1}}B_{1}^{-{}}n^{m}+{\binom {m+1}{2}}B_{2}n^{m-1}-\cdots +(-1)^{m}{\binom {m+1}{m}}B_{m}n\right)$

برای همۀ مجموع توان‌ها، فالهابر هرگز این حقیقت به چشمش نیامد که تقریباً نیمی از ضرایب رابطۀ او صفر است.

یادداشت‌های برنولی

یادداشت‌های برنولی چنین است:

کتاب ژاکوب برنولی که پس از مرگش منتشر شد.

در کتاب هنر گمان بردن ژاکوب برنولی که در ۱۷۱۳ و پس از مرگش منتشر شد صفحهٔ ۹۷، متن بالا آمده‌است. فرمول اصلی در نیمهٔ دوم دیده می‌شود؛ ثابت‌هایی که اینجا برنولی با عنوان‌های A، B، C و D معرفی کرده در فرمول امروزی به صورت A = B₂، B = B₄، C = B₆، D = B₈ تعریف شده است. عبارت c·c−1·c−2·c−3 در اصل به معنی c·(c−1)·(c−2)·(c−3) – می‌باشد و این نقطه‌های کوچک در عبارت به معنی علامت ضرب گروهی است با نوشتار ریاضیاتی امروزی می‌توان گفت این عبارت یک فاکتوریل نزولی c^k است. علامت فاکتوریل برای خلاصه نویسی در ضرب 1 × 2 × … × k به صورت k! صد سال پس از برنولی معرفی شد. علامت انتگرال در سمت چپ عبارت‌های برنولی به گوتفرید لایبنیتس در 1675 باز می‌گردد که از حرف S برای خلاص‌نویسی summa به معنی جمع استفاده کرد (این نشان می‌دهد لایبنیتز راهنمای علمی برنولی بوده است. عبارت n در سمت چپ نیز یک اندیس برای مجموع‌یابی نیست بلکه حد بالایی یک بازه ی مجموع را نشان می‌دهد به صورت 1, 2, …, n. با در کنار هم گذاشتن اطلاعاتی که در این کتاب داده شد برای c های مثبت، با ریاضیات امروزی، فرمول برنولی به صورت زیر خواهد بود:

$\sum _{k=1}^{n}k^{c}={\frac {n^{c+1}}{c+1}}+{\frac {1}{2}}n^{c}+\sum _{k=2}^{c}{\frac {B_{k}}{k!}}c^{\underline {k-1}}n^{c-k+1}.$

کاربردهای عددهای برنولی

تحلیل مجانبی

یکی از مهم‌ترین کاربردهای اعداد برنولی در فرمول اویلر-مکلورن است. اگر فرض کنیم تابع f همواره به اندازۀ کافی مشتق‌پذیر باشد، فرمول اویلر-مکلورن را می‌توان به صورت زیر نوشت:

$\sum _{k=a}^{b-1}f(k)=\int _{a}^{b}f(x)\,dx+\sum _{k=1}^{m}{\frac {B_{k}^{-}}{k!}}(f^{(k-1)}(b)-f^{(k-1)}(a))+R_{-}(f,m).$

در این فرمول فرض می شود که B−
1 = −1/2. حال با استفاده از convention B+
1 = +1/2 فرمول خواهد شد:

$\sum _{k=a+1}^{b}f(k)=\int _{a}^{b}f(x)\,dx+\sum _{k=1}^{m}{\frac {B_{k}^{+}}{k!}}(f^{(k-1)}(b)-f^{(k-1)}(a))+R_{+}(f,m).$

در اینجا f⁽⁰⁾ = f و f⁽⁻¹⁾ پاد مشتق f است. برپایۀ قضیه اساسی حسابان خواهیم داشت:

$\int _{a}^{b}f(x)\,dx=f^{(-1)}(b)-f^{(-1)}(a).$

بنابراین فرمول به صورت ساده‌تر به شکل زیر درخواهد آمد:

$\sum _{k=a}^{b}f(k)=\sum _{k=0}^{m}{\frac {B_{k}}{k!}}(f^{(k-1)}(b)-f^{(k-1)}(a))+R(f,m).$

این فرم برای نمونه بسط اویلر-مکلورن تابع زتا است

${\begin{aligned}\zeta (s)&=\sum _{k=0}^{m}{\frac {B_{k}^{+}}{k!}}s^{\overline {k-1}}+R(s,m)\\&={\frac {B_{0}}{0!}}s^{\overline {-1}}+{\frac {B_{1}^{+}}{1!}}s^{\overline {0}}+{\frac {B_{2}}{2!}}s^{\overline {1}}+\cdots +R(s,m)\\&={\frac {1}{s-1}}+{\frac {1}{2}}+{\frac {1}{12}}s+\cdots +R(s,m).\end{aligned}}$

در اینجا s^k توان فاکتوریل صعودی است.

علاوه بر این، عدد برنولی در دیگر بسط‌های مجانبی نیز کاربرد دارد نمونۀ زیر بسط مجانبی نوع پوانکاره برای تابع دایگاما، ψ است:

$\psi (z)\sim \ln z-\sum _{k=1}^{\infty }{\frac {B_{k}^{+}}{kz^{k}}}$

سری‌های تیلور

عددهای برنولی در گسترش بسط تیلور بسیاری از توابع مثلثاتی و هذلولوی دیده می‌شود:

تانژانت

${\begin{aligned}\tan x&=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {(-1)^{n-1}2^{2n}(2^{2n}-1)B_{2n}}{(2n)!}}\;x^{2n-1},&\left|x\right|&<{\frac {\pi }{2}}\\\end{aligned}}$

کتانژانت

${\begin{aligned}\cot x&{}={\frac {1}{x}}\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{n}B_{2n}(2x)^{2n}}{(2n)!}},&\qquad 0<|x|<\pi .\end{aligned}}$

تانژانت هیپربولیک

${\begin{aligned}\tanh x&=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {2^{2n}(2^{2n}-1)B_{2n}}{(2n)!}}\;x^{2n-1},&|x|&<{\frac {\pi }{2}}.\end{aligned}}$

کتانژانت هیپربولیک

${\begin{aligned}\coth x&{}={\frac {1}{x}}\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {B_{2n}(2x)^{2n}}{(2n)!}},&\qquad \qquad 0<|x|<\pi .\end{aligned}}$

سری‌های لوران

عددهای برنولی در این سری لوران نیز دیده می‌شود:

تابع دایگاما:

$\psi (z)=\ln z-\sum _{k=1}^{\infty }{\frac {B_{k}^{+{}}}{kz^{k}}}$