Lankide:Pgallarreta/Proba orria

Triangelua, hiru alde eta hiru erpin dituen poligonoa da, geometriako funtsezko irudietako bat. A, B eta C erpinak dituen triangelua ABC bezala adierazten da. Hirukia ere erabiltzen da triangelua izendatzeko,  poligonoaren barrutia osatzen duten hiru angeluak direla eta.

Notazioa eta elementuak

Erpinak

$ABC$ triangelua, $a$ , $b$ eta $c$ ertzak eta $\alpha ,\beta ,\gamma$ barne angeluak

Triangeluaren punta bakoitza definitzen duen puntua erpina deitzen da. Beste irudi geometrikoetan bezala, erpinak letra larriz izendatu ohi dira: $A,B$ eta $C$ (edo bestelako letrak erabiliz). $AB+BC=AC$ bada, ez da existitzen A, B eta C erpinek definitutako triangelua.

Triangeluak izendatzeko, haien erpinak aipatu behar dira ondoz ondo, adibidez, ABC. Gainera, erpinak edozein ordenatan eman daitezke, konbinazioak 6 izanik guztira $(ABC,ACB,BAC,BCA,CAB,CBA).$

Ertzak

Erpin bikote bakoitzak segmentu bat zehazten du, triangeluaren ertz izenez ezagutzen dena. Ertzak izendatzeko, haien erpinak aipatu behar dira ondoz ondo, eta ez du garrantzirik erpinen ordena, hau da, AB eta BA notazioek ertz berdina adierazten dute.

Ertz baten luzera adierazteko, letra xehea erabiltzen da, adibidez, A erpinaren aurkako ertza adierazteko, a.

Triangelu baten hiru ertzen baturari perimetro deritzo, eta p notazioz adierazten da: $p=a+b+c.$

Angeluak

Erpin berdina duten bi ertzek mugatutako espazio zatiari angelu deritzogu. OP eta OQ ertzak mugatutako angelua ${\widehat {POQ}}$ bezala adierazten da. Normalean letra grekoz idazten dira angeluak.

Triangelu motak

Triangeluak kategorizatzeko terminologiak bi mila urte baino gehiago ditu, Euklides-en Elementuak liburuko lehenbiziko orrialdean definituta egonik.  Gaur egungo banaketan erabiltzen diren izenak, liburu horretan agertzen diren hitz grekoen itzulpen zuzenak, edo haien latineko itzulpenaren itzulpen berriak dira.

Aldeen neurriaren araberako sailkapena:

Euklides matematikari grekoak (3000 K.a.) hiru triangelu mota desberdin definitu zituen aldeen neurriari erreparatuz:

Grekoz: “τῶν δὲ τριπλεύρων σχημάτων ἰσόπλευρον μὲν τρίγωνόν ἐστι τὸ τὰς τρεῖς ἴσας ἔχον πλευράς, ἰσοσκελὲς δὲ τὸ τὰς δύο μόνας ἴσας ἔχον πλευράς, σκαληνὸν δὲ τὸ τὰς τρεῖς ἀνίσους ἔχον πλευράς”, literalki “Hiru aldeko irudien gainean, isopleuron[aldekide] triangelu bat hiru aldeak neurri berekoak dituen triangelua da, isosceles[isoszelea] hiru aldeetariko bik neurri bera duten triangelua, eta scalene[eskalenoa] hiru aldeen neurriak desberdinak dituen triangelua.”

• Triangelu aldekideak (Grekoz: ἰσόπλευρον, erromanizatua: isopleureon, lit. “alde berdinak”) hiru aldeak neurri berekoak ditu. Gainera, triangelu aldekide bat angelu guztiak 60 gradukoak dituen poligono erregularra da.
• Triangelu isoszeleak (Grekoz: ἰσοσκελὲς, erromanizatua: isoskelés, lit. “hanka berdinak”) bi alde neurri berekoak ditu. Honez gain, triangelu isoszele baten bi angeluk ere neurri bera dute, neurri bera duten aldeen aurkako angeluak, hain zuzen ere. Egia hau triangelu isoszelearen teoremaren mamia da, zein Euklidesentzat ezaguna zen. Matematiko batzuen definizioaren arabera, triangelu isoszelea neurri bereko zehazki bi alde dituen triangelua da; aldiz, beste batzuen definizioan, bederen bi alde berdin dituen triangelua da isoszelea. Bigarren definizio honek triangelu aldekideak isoszeleak ere badirela inplikatzen du. Adibide gisa 45-45-90 triangelu zuzena dugu, zein tetrakis triangeluaketan (link) agertzen den.
• Triangelu eskalenoak (Grekoz: σκαληνὸν, erromanizatuta: skalinón, lit.  “desberdina”) bere hiru aldeak neurri desberdinekoak ditu. Era berean, angelu guztiak desberdinak ditu.

• 
  Triangelu aldekidea
• 
  Triangelu isoszelea
• 
  Triangelu eskalenoa

Hatch markak, Hash markak ere deiturikoak, triangeluen eta beste irudi geometrikoen diagrametan erabiltzen dira neurri bereko aldeak identifikatzeko. Alde bat markatuta egoten ahal da “tick”-en patroi batekin (tally markez osaturiko segmentu zuzen laburrak) (link). Bi alde neurri berekoak dira, patroi berdinaren bidez markatuta badaude.

Triangeluen kasuan, gehienetan patroia ez da hiru marka baino gehiagoz osatuta egoten. Triangelu aldekide batek patroi bera du alde guztietan, isoszele batek bi aldetan bakarrik eta eskaleno batek patroi ezberdina du bere alde guztietan.

Modu antzekoan, angeluen barnean marrazturik, bat, bi edo hiru arku zentrokidez osaturiko patroiak erabiltzen dira angelu berdinak adierazteko: triangelu aldekide batek patroi bera du hiru angeluetan; triangelu isoszele batek patroi bera du bi angelutan bakarrik; eta triangelu eskaleno batek patroi desberdina du hiru angeluetan.

Barne-angeluen neurriaren araberako sailkapena:

Triangeluak ere, haien barne-angeluen neurriagatik sailka daitezke (angeluak gradutan neurtzen dira).

• Triangelu zuzena (edo triangelu angeluzuzena), barruko angelu bat 90°-koa duen triangelua da; hau da, angelu zuzen bat daukan triangelua. Angelu horren aurkako aldeari hipotenusa deritzogu, hau triangeluaren alderik luzeena da. Beste bi aldeak triangeluaren katetoak dira. Triangelu mota hauetan aplikatzen da Pitagorasen teorema: bi katetoen berreketen batura hipotenusaren berreketaren berdina da. Hau da, hipotenusaren neurriari a deituz, eta katetoenei b eta c;  $b^{2}+c^{2}=a^{2}$. Triangelu zuzen berezi bat 45-45-90 triangelua da, zein triangelu zuzen isoszelea den. Honen bi angeluek 45 gradu dituzte, eta hirugarrenak 90.

Zuzenak ez diren triangeluei triangelu zeiharren izena ematen zaie, barne-angelu zuzenik ez duten triangeluei, hain zuzen ere.

• Triangelu baten barruko angelu guztiek 90 gradu baino gutxiago neurtzen badute, triangelu hori zorrotza dela esaten da. Kasu honetan, a alde luzeenaren neurria bada, hurrengoa betetzen da: $b^{2}+c^{2}>a^{2}$; b eta c beste bi aldeen neurriak izanik.
• 90 gradu baino gehiago neurtzen duen barne-angelu bat duten triangeluei, triangelu kamutsak deritze. Hauen kasuan, aldeak aurreko moduan izendatuz, hurrengoa betetzen da: $b^{2}+c^{2}<a^{2}$.

• Geometria ez-euklidearrean, triangelu baten angelu batek 180 gradu baina gehiago neurtzen badu, triangelu hau endekatua dela esaten da.

Bi angelu berdin dituen triangeluak bi alde neurri berekoak edukiko ditu halaber, triangelu isoszele bat izanik. Era berean, angelu guztiak berdinak dituen triangeluak alde guztiak neurri berekoak edukiko ditu, triangelu aldekide bat izanik.

• 
  Triangelu zuzena
• 
  Triangelu kamutsa
• 
  Triangelu zorrotza

ARGAZKIAK SARTU

Aldeen eta angeluen kalkulua

Triangelu baten aldeen luzerak edota angeluen neurriak kalkulatzeko hainbat metodo daude. Metodo batzuk triangelu angeluzuzenetarako erabilgarriak diren bitartean, egoera konplexuagoetan beste metodo batzuk erabiliko dira.

Orokorrean ,triangeluak ebazteko, sinu eta kosinuaren teoremak erabiltzen dira. Hala ere, triangelu angeluzuzenen kasuan Pitagorasen teorema erabili ohi da.

Arrazoi trigonometrikoak triangelu angeluzuzenetan

Triangelu angeluzuzenetan sinu, kosinu eta tangentearen arrazoi trigonometrikoak erabil daitezke angeluen neurria edota alde ezezagunen luzera

Triangelu angeluzuzenak 90º-ko angelu bat dauka beti.

kalkulatzeko. Arestian aipatu bezala, hauen aldeak ondoko eran izendatzen dira:

• Angelu zuzenaren aurkako aldeari hipotenusa deritzo. Triangelu angeluzuzen baten alderik luzeena izan ohi da.
• Beste bi aldeak katetoak dira.

Eta angelu zorrotz baten arabera hurrengoa daukagu:

• Angelu zorrotz horren aurkako aldeari aurkako kateto deritzo.  
• Angelu zorrotz hori osatzen duen aldeari alboko kateto deritzo.

Sinu, kosinu eta tangente

Angelu baten sinua aurkako katetoaren eta hipotenusaren luzeren arteko zatidura da.

$sin(\alpha )={\frac {aurkakoa}{hipotenusa}}={\frac {a}{c}}$.

Angelu baten kosinua alboko katetoaren eta hipotenusaren luzeren arteko zatidura da.

$cos(\alpha )={\frac {albokoa}{hipotenusa}}={\frac {b}{c}}$.

Angelu baten tangentea aurkako eta alboko katetoen luzeren arteko zatidura da.

$tan(\alpha )={\frac {aurkakoa}{albokoa}}={\frac {a}{b}}$.

Oharra: Erlazio hauetako zatidurak ez dira triangelu angeluzuzenaren tamainaren menpekoak.

Alderantzizko funtzioak

Alderantzizko funtzio trigonometrikoak triangelu angeluzuzen baten barneko angeluen neurria kalkulatzeko erabil daitezke, betiere edozein bi alderen neurria jakinda.

Aurkako katetoaren eta hipotenusaren luzerak jakinda, arcsin (arkosinu) funtzioa erabil daiteke angelu baten neurria kalkulatzeko.

$\theta =\arcsin({\frac {aurkakoa}{hipotenusa}})$

Alboko katetoaren eta hipotenusaren luzerak jakinda, arccos (arkokosinu) funtzioa erabil daiteke.

$\theta =\arccos({\frac {ondokoa}{hipotenusa}})$

Aurkako eta alboko katetoen luzerak jakinda, arctan (arkotangente) funtzioa erabil daiteke.

$\theta =\arctan({\frac {aurkakoa}{ondokoa}})$

Trigonometria eta geometriari buruzko sarrera kurtsoetan ${\ce {\sin ^{-1},\cos ^{-1},\tan ^{-1}}}$ notazioa erabiltzen dira maiz arcsin, arccos eta arctan erabili beharrean. Hala ere, maila altuagoko matematiketan arcsin, arccos, etab. da ohiko notazioa.  

4. Triangelu baten azalera.

Triangelu baten azalera kalkulatzeko, hainbat metodo daude:

Altueraren bitartez

Formularik sinpleena eta ezagunena hurrengoa da: $A=b*h/2$, non b triangeluaren  oinarriaren luzera eta h triangeluaren altuera den. Oinarri bezala edozein alde har daiteke, eta altuera alde horretatik aurkako erpinerainoko elkarzuta da.

Hala ere, formula hau bakarrik da erabilgarria altuera arazorik gabe lor daitekeenean.  

$T={\frac {h}{2}}b$ -ren deribatu grafikoa

Trigonometriaren bitartez

Trigonometriaren bitartez, altuera lor dezakegu, aurreko formulan erabiltzeko. Irudiaren notazioa erabiliz:

$T=b*a*sin(C)/2$

$h=b*c*sin(A)/2$

$h=a*c*sin(B)/2$

Aldeen luzeraren bitartez (Heronen formula)

Soilik aldeen luzerak jakinda kalkula daiteke triangelu baten azalera, Heronen formula erabiliz:

$A={\dfrac {1}{4}}{\sqrt {(a+b+c)(-a+b+c)(a-b+c)(a+b-c)}}$

Non a, b eta c triangeluaren aldeak diren. Erdiparametroa erabiliz (s):

$A={\sqrt {p(p-a)(p-b)(p-c)}}$ p triangeluaren erdiparametroa izanik: $p={\dfrac {a+b+c}{2}}.$

Perimetro berdineko triangeluen artean, triangelu aldekideek dute azalerarik handiena.

Bektoreen bitartez

Izan bitez AB eta AC A eta B erpinak eta A eta C erpinak lotzen dituzten bektoreak, hurrenez hurren. Orduan, triangeluaren azalera era honetan lor daiteke:

AZALERA= ${\frac {1}{2}}\left\vert AB\times AC\right\vert$

Erpinen koordenatuen bitartez

Erpinak bi dimentsioko plano batean badaude, A, B eta C erpinen koordenatuak $A(x_{A},y_{A})$, $B(x_{B},y_{B})$ eta $C(x_{C},y_{C})$ izanik, determinantea erabiliz, hau izango da hirukiaren azalera:

$S={\dfrac {1}{2}}\left|\det {\begin{pmatrix}x_{A}&x_{B}&x_{C}\\y_{A}&y_{B}&y_{C}\\1&1&1\end{pmatrix}}\right|={\dfrac {1}{2}}{\big |}x_{A}y_{C}-x_{A}y_{B}+x_{B}y_{A}-x_{B}y_{C}+x_{C}y_{B}-x_{C}y_{A}{\big |}.$

Hiru dimentsiotan, ABC hirukiaren erpinen koordenatuak $A=(x_{A},y_{A},z_{A})$, $B=(x_{B},y_{B},z_{B})$ eta $C=(x_{C},y_{C},z_{C})$ izanik, honela kalkulatzen da hirukiaren azalera:

$S={\frac {1}{2}}{\sqrt {\left(\det {\begin{pmatrix}x_{A}&x_{B}&x_{C}\\y_{A}&y_{B}&y_{C}\\1&1&1\end{pmatrix}}\right)^{2}+\left(\det {\begin{pmatrix}y_{A}&y_{B}&y_{C}\\z_{A}&z_{B}&z_{C}\\1&1&1\end{pmatrix}}\right)^{2}+\left(\det {\begin{pmatrix}z_{A}&z_{B}&z_{C}\\x_{A}&x_{B}&x_{C}\\1&1&1\end{pmatrix}}\right)^{2}}}.$

Triangeluaren existentzia

Aldeen baldintza

Desberdintza triangeluarrak dio triangelu baten edozein bi alderen luzeraren gehiketa hirugarren aldearen luzera baino handiagoa izan behar dela. Beraz, hiru aldeen luzera emanik, luzera horiek dituzten aldeez osaturiko triangelu bat existituko da baldin eta soilik baldin aldeek desberdintza triangeluarra betetzen badute.

Angeluen baldintza

Hiru angelu izanik, triangelu bat existituko da baldin eta soilik baldin hurrengo bi baldintzak betetzen badira:

1. Angelu guztiak positiboak izan behar dira.
2. Angeluen batura 180° izan behar da.

Baldintza trigonometrikoak

Hiru angelu positibok (alpha, beta eta gamma), bakoitza 180° baino gutxiagokoa, triangelu bat sor dezakete baldin eta soilik baldin hurrengo baldintzetako bat betetzen bada:

$\tan {\frac {\alpha }{2}}\tan {\frac {\beta }{2}}+\tan {\frac {\beta }{2}}\tan {\frac {\gamma }{2}}+\tan {\frac {\gamma }{2}}\tan {\frac {\alpha }{2}}=1,$

$\sin ^{2}{\frac {\alpha }{2}}+\sin ^{2}{\frac {\beta }{2}}+\sin ^{2}{\frac {\gamma }{2}}+2\sin {\frac {\alpha }{2}}\sin {\frac {\beta }{2}}\sin {\frac {\gamma }{2}}=1,$

$\sin({2\alpha })+\sin({2\beta })+\sin({2\gamma })=4\sin({\alpha })\sin({\beta })\sin({\gamma }),$

$\cos ^{2}{\alpha }+\cos ^{2}{\beta }+\cos ^{2}{\gamma }+2\cos({\alpha })\cos({\beta })\cos({\gamma })=1,$

$\tan({\alpha })+\tan({\beta })+\tan({\gamma })=\tan({\alpha })\tan({\beta })\tan({\gamma }),$

Azkeneko berdintzarako beharrezkoa da angelu guztiak 90°–ren desberdin izatea.

Triangeluen propietateak

Triangelua hiru erpinetako poligono zein hiru aldetako poligono bezala defini daiteke. Triangelua poligonorik sinpleena eta diagonalik gabeko poligono bakarra da. Lerrokatuta ez dauden hiru puntuk beti definitzen dute triangelu bat, bai espazioan, bai planoan.

Edozein poligono zatitu daiteke triangelu kopuru finitu batean, ondokoak ez diren erpinak lotuz. Zatiketa hau egiteko triangelu kopuru minimoa n-2 da, n triangeluaren alde kopurua izanik (adibidez, karratua (n=4) bi triangelutan zatitzen da, karratuan diagonal bat marraztuz). Triangeluen ikasketa funtsezkoa da beste poligonoen ikasketa aurrera eramateko, adibidez, Pick-en Teorema frogatzeko.

Geometria euklidearrean, triangelu baten barneko angeluen batuketa 180º-koa da, π radian-ekiko baliokidea dena:

$\alpha +\beta +\gamma =180^{\circ }=\pi$

Propietate hau geometria euklidearraren emaitza da. Orokorrean, geometria ez-euklidearrean ez da betetzen.

Bestelako propietateak

• Triangelu baten bi alderen luzeren batura beti izango da beste aldearen luzera baino handiagoa.

$a<b+c$ $b<a+c$ $c<a+b.$

• Triangeluak poligono ganbilak dira beti, alegia, 180º baino gutxiago neurtzen duten barne-angeluak dituzten poligonoak. Propietate hau beti betetzen duten poligono bakarrak dira.
• Triangeluak ezin daitezke poligono ahurrak izan, alegia, ezin dute 180º baino handiagoko barne-angelu bat eduki. Izan ere, bere barne angeluen batura 180º da.
• Sinuaren teorema: “Triangelu baten aldeak aurkako angeluen sinuekiko proportzionalak dira”.

${\frac {a}{sin(\alpha )}}={\frac {b}{sin(\beta )}}={\frac {c}{sin(\gamma )}}$

• Kosinuaren teorema: “Triangeluaren alde baten karratua beste bi aldeen karratuen batura ken hauen arteko biderketaren bikoitzaren bider hauek osatzen duten angeluaren kosinuaren berdina da”

$a^{2}=b^{2}+c^{2}-2bc\cos {\alpha }$

$b^{2}=a^{2}+c^{2}-2ac\cos {\alpha }$

$c^{2}=a^{2}+b^{2}-2ab\cos {\alpha }$

• Pitagorasen teorema: a eta b neurtzen duten katetoak eta c neurtzen duen hipotenusa dituen triangelu angeluzuzen batean, ondokoa betetzen da:

$c^{2}=a^{2}+b^{2}$

• 
  Pitagorasen teorema grafikoki

Triangeluarekin erlazionatutako zuzenak, zirkuluak eta puntu nabariak.

Barrualdea

Izan bedi plano euklidearreko puntu bat. Puntu hori triangeluaren barrualdekoa dela esaten da, triangeluaren “barnean” badago. Matematikoki esanda, puntu bat barrualdekoa dela esango dugu, puntutik pasatzen den zuzen bat marratzean, puntua zuzenak triangeluarekin ebakitzen duen puntuen artean badago.

Muga eta kanpoaldea

Triangelu baten hiru aldeak bere muga osatzen dute. Aldiz, triangeluaren barrualdean edo mugan ez dauden puntuak triangeluaren kanpoaldean daudela esaten da.  

Mediana

Triangelu baten medianak.

Erpin batetik kontrako aldeko erdiko puntura doan zuzen segmentuari mediana esaten zaio. Medianaren propietate batzuk hurrengo hauek dira:

-Triangelu baten hiru medianak ebakitzen diren puntuari triangeluaren barizentroa esaten zaio.

-Mediana bakoitzak azalera berdineko bi triangelutan banatzen du triangelua. Barizentroaren eta erpin baten arteko distantzia medianaren 2/3 da.

-Hiru medianek azalera berdineko sei triangelutan banatzen dute triangelua.

Apolonioren teorematik hurrengo taulan agertzen diren formula praktikoak deduzitzen dira:

Erdibitzailea eta zirkunskribatutako zirkunferentzia

Triangelu baten erdibitzaileak eta zirkunskribatutako zirkunferentzia.

Triangelu baten alde bateko erdibitzailea alde horrekiko perpendikularra den eta aldearen erdiko puntutik pasatzen den zuzenari deritzo. Triangeluek hiru erdibitzaile dituzte: alde bakoitzeko bat. Hiru erdibitzaileak puntu berean ebakitzen dira. Puntu horri zirkunzentro deritzo.

• Triangelu zorrotzetan, zirkunzentroa triangeluaren barrualdean dago.
• Triangelu kamutsetan, zirkunzentroa triangeluaren kanpoaldean dago.

• Triangelu zuzenetan, zirkunzentroa triangeluaren hipotenusaren erdiko puntuan dago.

Erdikariak, inskribatutako zirkunferentzia eta exinskribatutako zirkunferentzia

Triangelu baten erdikariak eta inskribatutako zirkunferentzia.

Triangelu baten erdikariak bere angeluen erdikariak dira. Barruko eta kanpoko erdikariak existitzen dira.

Triangelu baten barruko hiru erdikariak ebakitzen diren puntuari inzentrua esaten zaio. Triangelu baten inskribatutako zirkunferentzia, hiru aldeei ukitzaile den zirkunferentzia bakarra da, zentrotzat inzentrua duena.

Bi angeluren kanpoko erdikariak eta hirugarren angeluaren barruko erdikaria ebakitzen diren puntuari exinzentro deritzo. Hiru exinzentro existitzen dira triangelu bakoitzean eta, horrekin batera, exinskribautako hiru zirkunferentzia, triangeluaren alde bakoitzari ukitzaile direnak.

Altuerak eta ortozentroa

Triangelu baten erpina eta kontrako aldea (edo bere luzapena) elkartzen dituen zuzen segmentu perpendikularrari triangeluaren altuera esaten zaio. Kontrako aldeari triangeluaren oinarria deitzen zaio.

Triangeluaren hiru altuerak ebakitzen diren puntuari ortozentro deritzogu.