Konbinazio (konbinatoria)

Konbinatorian, konbinazioak n elementuko multzo batetik k elementu aukeratzeko erak dira, era bakoitzean elementuen ordena kontuan hartu gabe. Konbinazio arruntak eta errepikatuzko konbinazioak bereizten dira, aukeratutako elementuak errepika daitezkeen.

Konbinazio arruntak

Konbinazio arrunta n elementu ezberdineko multzo batetik k elementu aukeratzeko era bakoitza da, ordena kontuan hartu gabe eta elementurik errepikatu gabe. n eta k zenbakiak osoak eta ez negatiboak izan behar dira. Gainera $n\geq k$ betetzen da, ezin baitira aukeratu daude n elementuak baino gehiago.

Adibidez {A,B,C,D,E,F} multzoa harturik, 6 elementu dituena, 2 elementu aukeratu behar dira. Konbinazio arrunten kopurua 15 da:

A,B	A,C	A,D	A,E	A,F
	B,C	B,D	B,E	B,F
		C,D	C,E	C,F
			D,E	D,F
				E,F

Konbinazio arrunten kopurua adierazteko $C(n,k)\,$ , $n\,C\,k\,$ , $C_{k}^{n}\,$ notazioak erabil daitezke. Honela kalkulatzen da horien kopurua (ikus koefiziente binomiala eta faktoriala):

C(n,k)={n \choose k}={\frac {n!}{k!(n-k)!}}

.

Honela bada, aurreko adibidea harturik C(6,2)=6!/(2!4!)=6*5/2=15 eta beraz, zerrendan ikus daitekeen bezala, 15 dira 2 elementu 6 elementuko multzo batetik aukeratzeko erak.

Frogapena

n elementuko multzo batetik k elementu, modu ordenatuan eta elementurik errepikatu gabe, osatzeko era kopurua (ikus aldakuntza (konbinatoria)) honela kalkulatzen da:

lehen elementua n eratara aukera daiteke;
bigarren elementua n-1 eratara aukera daiteke, aurreko elementua ezin baita aukeratu;

...

azken elementua n-(k-1) eratara aukera daiteke
beraz, k elementuak (n)r=n×(n-1)×(n-2)×...×(n-(k-1)) eratara aukera daitezke.

(n)_r kopuruan aukeratutako elementuen ordena hartzen da kontuan (adibidez, 123 eta 321 ez dira bat bera balira bezala kontatzen). k elementuko aukeraketa bakoitzak, beraz, n! permutazio izango ditu n_(r) kopuruan . Beraz, ordena kontuan hartu gabe k elementuen aukeraketa, konbinazio arrunten kopurua alegia, hau izango da: n_(r)/k!. Hots,

{\begin{aligned}C(n,k)=&{\frac {(n)_{k}}{k!}}={\frac {n\times (n-1)\times \ldots \times (n-(k-1))}{k!}}\\=&{\frac {n\times (n-1)\times \ldots \times (n-(k-1))\times (n-k)\times (n-(k+1))\times \ldots 1}{k!\times (n-k)\times (n-(k+1))\times \ldots 1}}\\=&{\frac {n!}{k!(n-k)!}}\end{aligned}}

Errepikatuzko konbinazioak

Errepikatuzko konbinazioa, multikonbinazioa ere deitua, n elementu ezberdineko multzo batetik k elementu aukeratzeko era bakoitza da, ordena kontuan hartu gabe eta elementuak errepika daitezkeela. Adibidez, 1-2-3 elementuen binakako errepikatuzko konbinazioak hauek dira, 6 guztira: 11-12-13-22-23-33

n elementuko multzo batetik k-nakako errepikatuzko konbinazioen kopurua honela izendatu eta kalkulatzen da, koefiziente binomial baten bitartez:

Cr(n,k)=C(n+k-1,k)={n+k-1 \choose k}={\frac {(n+k-1)!}{k!\cdot (n-1)!}}

.

Arestiko adibidea hartuz, errepikatuzko konbinazioen kopurua honela kalkulatzen da:

Cr(n=3,k=2)={3+2-1 \choose 2}={\frac {(3+2-1)!}{2!\cdot (3-1)!}}=6

.

Frogapen intuitibo moduan, (1,2,3,4) multzoa hartu eta 3 elementuren errepikatuzko konbinazioak osatuko dira eta errepikatuzko konbinazio bakoitzari, (n-1) "0" eta k "X" elementu berdinen errepikatuzko permutazio bat dagokio, modu honetan:

112 -----> XX0X00
233 -----> 0X0XX0
234 -----> 0X0X0X
.................

Bihurketa hau honela interpretatzen da: lehenengo 0 ikurraren ezkerrera dagoen X ikur kopurua permutazioan 1 elementuen kopurua da errepikatuzko konbinazioan, bigarren 0 ikurraren ezkerrera dagoen X ikur kopurua permutazioan 2 elementuen kopurua da errepikatuzko konbinazioan, ... Azken 0 ikurra jartzea ez da beharrezkoa: 4 elementuen kopurua konbinazioan hirugarren 0 ikurraren eskuinera dagoen X ikur kopurua izango da. Horrela 4 elementuen 3-nakako errepikatuzko konbinazioak 4-1 "0" eta 3 "X" elementuen errepikatuzko permutazioak izango dira:

Cr(n,k)={\frac {(n+k-1)!}{k!\cdot (n-1)!}}

.

Konbinazioei buruzko identitate jakingarriak

Identitatea	Azalpena
${n \choose 1}=n$	n elementuko multzo batetik elementu bat n eratara aukera daiteke, multzoan dauden elementuetako bakoitza aukeratuz hain zuzen.
${n \choose 0}=1$	n elementuko multzo batetik 0 elementu era bakar batean aukera daiteke, inongo elementurik aukeratu gabe hain zuzen.
${n \choose k}={n \choose n-k}$	n elementuko multzo batetik k elementu aukeratzen badira, n-k elementu aukeratu gabe geratzen dira. Beraz, k elementu aukeratzeko erak, n-k elementu ez aukeratzeko erak dira.
${n \choose k}={n-1 \choose k}+{n-1 \choose k-1}$	Pascalen identitatea: n elementuko multzo batetik k elementuren aukeraketa bi eratara egin daiteke, x elementu jakin bati buruz: x elementua aukeratuz nahiz x elementua aukeratu gabe. x elementua aukeratuz, beste k-1 elementuak beste n-1 elementuen artean aukera daitezke; x elementua aukeratu gabe, berriz, beste n-1 elementuetatik k aukeratu behar dira.
${m+n \choose k}=\sum _{i=0}^{k}{m \choose i}{n \choose k-i}$	Vandermonderen identitatea: m+n elementuko multzo batetik k elementuren aukeraketa k eratara egin daiteke: m elementutik 0 elementu eta n elementutik k elementu hartuz, m elementutik 1 elementu eta n elementutik k-1 elementu hartuz, m elementutik 2 elementu eta n elementutik k-2 elementu hartuz, ..., m elementutik k-1 elementu eta n elementutik 1 elementu hartuz eta azkenik m elementutik k elementu eta n elementutik 0 elementu hartuz.
$\sum _{k=0}^{n}{n \choose k}=2^{n}$	Adierazpenean agertzen den konbinazioen batura n elementuko multzo bateko azpimultzo guztien kopurua da. Hain zuzen, multzo bat bertatik k=0, 1, 2, ..., n elementu erauziz zatitu daiteke.
$n{n-1 \choose k-1}=k{n \choose k}$	Adibidez, n pertsona aukeran daudelarik, k kideko talde batean, burua ere aukeratu behar bada, talde kopurua bi era hauetako batean eman daiteke: lehenik burua (n aukera) eta gainerako k-1 kideak aukeratzeko n-1 pertsona daude aukeran edota lehenik talde osoa osaturik (n elementutik k kide), gero horietan burua aukeratzeko k taldekide daude aukeran.^[1]