Konbinaketazko optimizazioa

Konbinaketazko optimizazioa optimizazio matematikoko azpieremu bat da, objektu multzo finitu batetik abiatuta objektu optimo bat aurkitzean datzana, non emaitza egingarrien multzoa diskretua den edo multzo diskretu batera murriztu daitekeen.^[1] Optimizazio konbinatorioko ohiko arazoetako batzuk dira saltzaile ibiltariaren problema ("TSP"), gutxieneko hedadura zuhaitzaren problema ("MST") eta Bizkar-zorroaren buruketa. Arazo horietako askotan, lehen aipatutakoetan adibidez, bilaketa sakona ezinezkoa litzateke, eta, beraz, algoritmo espezializatuetara jotzea beharrezkoa dugu, bilaketa-espazioaren zati handiak baztertuz edo hurbiltze-algoritmoak erabiliz.

Konbinaketazko optimizazioak zerikusia du ikerkuntza eragilearekin, algoritmoen teoriarekin eta konplexutasun konputazionalaren teoriarekin. Hainbat arlotarako aplikazio garrantzitsuak ditu, besteak beste, adimen artifizialean, ikasketa automatikoan, enkanteen teorian, software ingeniaritzan, VLSIn, matematika aplikatuan eta konputazio zientzia teorikoetan.

Erabilerak

Konbinaketazko optimizazioaren oinarrizko aplikazioetako batzuk hauek dira:

Logistika^[2]
Hornidura-kateen optimizazioa^[3]
Irrati eta helmugen arteko sare optimoa garatzea
Tarifak jasotzeko taxi flota bateko ibilgailuen aukeraketa eta ibilbidea egitea
Paketeak entregatzeko modu optimoa zehaztea
Langileei lanpostuen esleipen optimoa egitea
Ur banaketa sareen diseinua
Lurraren zientziaren arazoak (adib. urtegien emariak)^[4]

Metodoak

Denbora polinomialeko algoritmoen inguruko literatura asko dago optimizazio diskretuko mota berezi batzuetarako. Horren atal handi bat programazio linealaren teoriak batzen du. Esparru horrek estaltzen dituen konbinaketazko optimizazio-arazoen adibide batzuk dira bide laburrenak eta ibilbide laburreneko zuhaitzak, fluxu-sareak, hedapen-zuhaitzak, parekatzea eta arazo matroideoak barne hartzen dituztenak.

denbora polinomialean esku artean dugun arazoaren kasu berezi zehatz eta konpongarriak (adibidez fixed-parameter tractable problems).
"Ausazko" kasuetan ondo dabiltzan algoritmoak (adib. saltzaile ibiltariaren problemarako)
hurbiltze-algoritmoak, denbora plinomialean exekutatzen direnak eta optimotik hurbil dagoen emaitza bat lortzen dutenak
hurbilketa parametrizatuko algoritmoak, FPT denboran exekutatzen direnak eta optimotik hurbil dagoen emaitza bat lortzen dutenak
Praktikan sortzen diren eta NP-osoko arazoetan portaera okerrenak erakusten ez dituzten mundu errealeko kasuak ebaztea(adib. mundu errealeko TSP instantziak, dozenaka mila nodo dituztenak^[5]).

Optimizazio konbinatorioko problemak elementu diskretu multzo baten elementurik onenaren bilatzailetzat har daitezke; beraz, printzipioz, edozein bilaketa-algoritmo edo algoritmo metaheuristiko erabil daiteke horiek ebazteko.Aplikagarriak diren planteamenduak honako hauek dira: adarkatu eta bornatu (algoritmo zehatza, edozein unetan geldi daitekeena heuristiko gisa erabiltzeko), adarkatu eta moztu (optimizazio lineala erabiltzen du mugak sortzeko), programazio dinamikoa (soluzio errekurtsiboaren eraikuntza, bilaketa-leiho mugatuarekin) eta tabu bilaketa (algoritmo trukatzaile grisa).Hala ere, bilaketa-algoritmo generikoek ez dute bermatzen soluzio optimo bat aurkitzea, ezta ere exekuzio azkar bat izatea (denbora polinomikoan). Optimizazio-problema diskretu batzuk NP-osoak izanik, hala nola saltzaile ibiltariaren problema, hori espero da P=NP frogatzen ez den bitartean.^[6]

Konbinaketazko optimizazio problema bakoitzak erabaki problema bat du lotuta non $m_{0}$ tamainako emaitza bideragarri bat existitzen den. Adibidez, $G$ grafoa eta $u$ eta $v$ erpinak izanik, " $u$ -tik $v$ -rako bide bat topatzea erabilitako ertzak ahalik eta txikienak izanik" optimizazio arazo bat izango litzateke. Demagun problema honen erantzuna 4 dela. Dagokion erabaki problema ondokoa izango litzateke "ba al dago biderik $u$ erpinetik $v$ erpinera doana eta 10 ertz edo gutxiago erabiltzen dituena?". Problema honen emaitza 'bai' ala 'ez' soilik izan daiteke.

Hurbiltze-algoritmoen eremua arazo zailetarako soluzio ia optimoak lortzen dituzten algoritmoetaz arduratzen da. Ohiko erabaki-bertsioa, orduan, arazoaren definizio desegokia da, irtenbide onargarriak baino ez baititu zehazten. Nahiz eta erabaki-problema egokiak sar ditzakegun, problema optimizazio-problema gisa definitzea litzateke egokiena.^[7]

NP optimizazio-problema

NP optimizazio-problema (NPO) bat konbinaketazko optimizazioko problema bat da, ondorengo baldintza gehigarriak dituena.^[8] Kontuan izan ondoren aipatzen diren polinomioak funtzioen ekarpenen tamainako funtzioak direla, ez sarrerako adibide multzo inplizitu batzuen tamainakoak.

soluzio bideragarri guztien tamaina $y\in f(x)$ emandako $x$ instantziaren tamainari mugatuta dago,
$\{\,x\,\mid \,x\in I\,\}$ eta $\{\,(x,y)\,\mid \,y\in f(x)\,\}$ lengoaiak denbora polinomikoan ezagutu daitezke eta
$m$ denbora polinomikoan konputagarria da

Honen ondorioz problema honi loturiko erabaki problema NP da. Informatikan, optimizazio arazo interesgarriek aurreko propietateak dituzte eta, beraz, NPO arazoak dira. Problema bati, gainera, P-optimizazio (PO) problema deritzo, denbora polinomioan soluzio optimoak aurkitzen dituen algoritmo bat existitzen bada. Erabaki bertsioak NP-osoak diren algoritmoak oso interesgarriak dira NPO arazo bati aurre egiterakoan. Kontuan izan gogortasun-erlazioak beti murrizketaren batekiko direla. Hurbilketa algoritmoen eta optimizazio konputazionaleko arazoen arteko loturaren ondorioz, gai honetarako nahiago dira hurbilketa nolabait mantentzen duten murrizketak Turing eta Karpen ohiko murrizketak baino.Murrizketa horren adibide bat L-ren murrizketa litzateke. Hori dela eta, erabaki bertsioa NP-complete izateak ez du behartzen optimizazio problema NPO-complete izatera.^[9]

Hurbilketaren arabera, NPO honako azpimota hauetan banatu daiteke:^[8]

NPO(I): FPTAS (guztiz denbora polinomikoko hurbilketa eskema) multzoaren baliokidea da. Bizkar-zorroaren buruketa multzo honen barnean dago.
NPO(II): PTAS (denbora polinomikoko hurbilketa eskema) multzoaren baliokidea da. Makespan programazio problema multzo honen barnean dago.
NPO(III): minimizazio problemetarako gehienez kostu optimoa baino c aldiz kostu handiagoan emaitza lortzen duten eta maximizazio problemetarako gutxienez $1/c$ kostuan emaitza lortzen duten denbora polinomikoko algoritmoak dituzten NPO problemen azpimultzoa. MAX-SAT eta Saltzaile ibiltariaren problema multzo honen barnean daude.
NPO(IV): sarreraren tamainaren logaritmoarekiko polinomiala den ratio batean soluzio optimora hurbiltzen den denbora polinomialeko algoritmoak dituzten NPO problemen azpimultzoa. NPO(III)-problemak klase honetatik kanpo daude P=NP egia ez bada. Set estaldura problema multzo honen barnean dago.
NPO(V): n inguruko funtzioren batek mugatutako ratio batean soluzio optimora hurbiltzen den denbora polinomialeko algoritmoak dituzten NPO problemen azpimultzoa. NPO(IV)-problemak klase honetatik kanpo daude P=NP egia ez bada. Saltzaile ibiltariaren problema eta clique problema multzo honen barnean daude.

NPO problema bat polinomikoki mugatua izango da baldin eta edozein instantzia $x$ izanik eta edozein soluziorentzat $y\in f(x)$ , $m(x,y)$ neurketa $x$ tamainako funtzio polinomiko batengatik mugatuta badago. NPOPB klasea polinomikoki mugatuta dauden NPO problemekin osatuta dago.

Problema espezifikoak

Erreferentziak

↑ Schrijver, 2003, or. 1.
↑ Sbihi, Abdelkader; Eglese, Richard W.. (2007). «Combinatorial optimization and Green Logistics» 4OR 5 (2): 99–116. doi:10.1007/s10288-007-0047-3..
↑ Eskandarpour, Majid; Dejax, Pierre; Miemczyk, Joe; Péton, Olivier. (2015). «Sustainable supply chain network design: An optimization-oriented review» Omega 54: 11–32. doi:10.1016/j.omega.2015.01.006..
↑ Hobé, Alex; Vogler, Daniel; Seybold, Martin P.; Ebigbo, Anozie; Settgast, Randolph R.; Saar, Martin O.. (2018). «Estimating fluid flow rates through fracture networks using combinatorial optimization» Advances in Water Resources 122: 85–97. doi:10.1016/j.advwatres.2018.10.002. Bibcode: 2018AdWR..122...85H..
↑ Cook, 2016.
↑ Approximation-TSP. .
↑ Ausiello, Giorgio. (2003). Complexity and Approximation. (Corrected. argitaraldia) Springer ISBN 978-3-540-65431-5..
↑ ^a ^b Hromkovic, Juraj. (2002). Algorithmics for Hard Problems. in: Texts in Theoretical Computer Science. (2nd. argitaraldia) Springer ISBN 978-3-540-44134-2..
↑ Kann, Viggo. (1992). On the Approximability of NP-complete Optimization Problems. Royal Institute of Technology, Sweden ISBN 91-7170-082-X..
↑ Hiri bat hartu, eta oraindik hartu ez diren beste edozein hirira joan gaiteke. Zati bi egin ez duelako azola ibilbidearen norabidea: 14!/2 = 43,589,145,600.

[[Kategoria:Informatika teorikoa]] [[Kategoria:Konbinaziozko optimizazioa]] [[Kategoria:Konputazioaren konplexutasun teoria]]

[1] Schrijver, 2003, or. 1.

[2] Sbihi, Abdelkader; Eglese, Richard W.. (2007). «Combinatorial optimization and Green Logistics» 4OR 5 (2): 99–116. doi:10.1007/s10288-007-0047-3..

[3] Eskandarpour, Majid; Dejax, Pierre; Miemczyk, Joe; Péton, Olivier. (2015). «Sustainable supply chain network design: An optimization-oriented review» Omega 54: 11–32. doi:10.1016/j.omega.2015.01.006..

[4] Hobé, Alex; Vogler, Daniel; Seybold, Martin P.; Ebigbo, Anozie; Settgast, Randolph R.; Saar, Martin O.. (2018). «Estimating fluid flow rates through fracture networks using combinatorial optimization» Advances in Water Resources 122: 85–97. doi:10.1016/j.advwatres.2018.10.002. Bibcode: 2018AdWR..122...85H..

[5] Cook, 2016.

[6] Approximation-TSP. .

[Ausiello03-7] Ausiello, Giorgio. (2003). Complexity and Approximation. (Corrected. argitaraldia) Springer ISBN 978-3-540-65431-5..

[Hromkovic02-8] Hromkovic, Juraj. (2002). Algorithmics for Hard Problems. in: Texts in Theoretical Computer Science. (2nd. argitaraldia) Springer ISBN 978-3-540-44134-2..

[Kann92-9] Kann, Viggo. (1992). On the Approximability of NP-complete Optimization Problems. Royal Institute of Technology, Sweden ISBN 91-7170-082-X..

[10] Hiri bat hartu, eta oraindik hartu ez diren beste edozein hirira joan gaiteke. Zati bi egin ez duelako azola ibilbidearen norabidea: 14!/2 = 43,589,145,600.

[1]

[2]

[3]

[4]

[5]

[6]

[7]

[8]

[9]

[10]