Venn diagrama

Venn-en diagramak, matematikan eta logikan, multzoen arteko erlazioak irudikatzeko erabiltzen diren diagramak dira.Diagrama horien elementuen bildumak(multzoak) erakusten dituzte lerro itxien bidez, ohikoena da bilduma edo multzo bakoitza zirkulu baten bidez irudikatzea. Gainera, kanpoko lerro itxiak elementu guztiak hartzen ditu, eta U multzo unibertsala esaten zaio.

Beraz, Venn-en diagramak multzo teorian erabiltzen dira gehien bat, multzoen arteko bilketak, ebaketak, aurkakotasun edo bateragarritasun erlazioak azaltzeko. Multzo ezberdinak gainjartzeko era zein den, halako erlazioa izango da multzoen artean.

Venn diagramak John Venn filosofo eta matematikari ingelesak asmatu zituen 1880. urtearen inguruan.

Sarrera

Venn-en diagrmekin multzoen arteko bilketak, ebaketak eta disjuntzio erlazioak adieraz daitezke, multzoen posizio erlatiboa aldatu gabe.

Ezkerraldean multzoak hedaduraz eta ezaupidez definituta daude.

Ebakidura

Multzoek elementu komunak izan ditzaketenez, muga-lerroen bidez itxitako eskualdeak gainjarri egiten dira, eta multzo bietan aldi berean dauden elementuak, ebaketa multzoa izenaren bidez ezagunak dira. Adibidez, alboko argazkian ikus daitekenez bi multzo ditugu A eta B multzoak, U multzoaren barnean.

U = {1; 2; 3; 4; 5; 6; 7; 8; 9; 10; 11; 12; 13; 14; 15; 16} = {x|x zenbaki naturala 16 zenbakiaren berdina edo txikiagoa.}

A = {1; 2; 3; 4; 6; 12} = {x|x 12 zenbakiaren zatitzailea da.}

B = {1; 3; 5; 15} = {x|x 15 zenbakiaren zatitzailea da.}

Irudian agertzen den moduan A eta B multzoen eskualdeak gainjarri egiten dira, eta tarte horretan bi zenbaki ageri dira, 1 zenbakia eta 3 zenbakia. Zenbaki bi horiek dira aldi berean A eta B multzoan daudenak Ebakidura multzoa osatzen dute, honela adierazten dena $A\cap B=\{1,3\}$

Bildura

Bildura multzoa, A multzoan, B multzoan edo bietan aldi berean dauden elementuak osatzen dute. Aurreko adibidearekin jarraituz, honelakoa izango litzateke bildura multzoa. $A\cup B=\{1,2,3,4,5,6,12,15\}$

Disjuntzioa

Multzoek elementu komunik ez dutenean, gainjartze-eremua hutsik geratzen da. Beraz, kasu honetan gainjartze-eremua hutsik geratzen denez, beste kolore batekoa hondoa erabiliz adieraziko da, horrela irudikatzen baitira hutsik geratzen diren eskualdeak (eskualde hutsak).

Bestalde, multzo bateko elementu guztiek beste multzoko elementuak badira, lehenengo multzoa bigarrenaren azpimultzo bat dela esaten da. Orduan, Venn-en diagraman lehenengo multzoko elementu guztiak bi multzoen gainjartze-eremuan irudikatu behar dira, izan ere, gainjartze-eremu guztiak irudikatu behar dira.

Disjuntzioa

Eskualde hutsak

Azpimultzoa

Jatorria eta historia

Venn-en diagramek bere sortzailearen izena dute, John Venn, matematikari eta filosofo britaniarrarena. Cambridge Unibertsitateko Caius College-ko ikaslea eta geroago irakaslea izan zen, eta bere ekoizpen intelektual guztia esparru horretan garatu zuen.

Gaur egun ezagutzen ditugun diagramak 1880ko uztailean aurkeztu ziren "La representación mecánica y diagramática de proposiciones y razonamientos" izenburua duen lanan, logika formalaren munduan oihartzun handia izan zuena.

Hala ere, Venn-en diagramek hainbat aurrekari dituzte. Dedukzio logikoen lehen irudikapen grafikoa Gottfried Leibniz-i egozten zaio. Horren aldaerak erabil zituzte geroago George Boolek eta Augustus De Morganek, baina Leonhard Euler matematikari suitzarra errepresentatu zuen lehenik notazio argi eta soila. Alboko diagramak erakusten du aurretik emandako adibidea.

Venn-en diagramek eta Eulerrenak bi desberdintasun nagusi dituzte, hala nola, Eulerren diagrametan ez direla irudikatzen multso unibertsala, ezta eskualde hutsak ere.

Alabaina, multzo unibertsalaren ideia ez zaio Vennekin erlazionatzen, normalean Charles Dogsoni esleitzen zaio, ezagunagoa dena Lewis Carrol bezala. Hala ere, definizo hori berreskuratu egin zen, eta Venn-en diagramen oraingo hedapen batean justifikatu ere egin zen, zeinak multzo unibertsala eta guztia bereizten ditu. Beraz, aipatutako bi arrazoiengandik Venn-en diagramak eragiketa logikoak formalizatzeko estandar berri bihurtu ziren, aurreko irudikapen-sistema guztiak baztertuz.

Lehen artikulua agertu eta denbora batera, Vennek bere sistema berria garatu zuen "Lógica simbólica" liburuan, 1881ean argitaratua, zeinaren helburua Boolek logika fornalaren arloan egindako lanak interpretatzea eta berrikustea baitzen. Liburu honek diagramen erabileraren adibideak aurkezteko balio izan zuen. Venn-en beste liburu bat, errepresentazio-sistema berria zabaltzen lagundu zuen, 1889an argitaratu zen "Los principios de la lógica empírica o inductiva" izenekoa.

Hala ere, "Venn-en diagrama" izenaren lehen idazkera oso berantiarra (1918) eta Clarence Irving Lewis-en "A Survey of Symbolic Logic" liburuan agertzen da.

Enuntziatuen Venn-en diagramak

Venn-en diagramak bere elementuak zerrendatuz defini daitezke, edo elementu horiek identifikatzen dituen ezaugarri komun baten adierazpenez. Horrela, Venn-en bi diagrama mota daude: elementuak lerro itxien budez bilduta erakusten dituztenak eta enuntziatuak edo kontzeptuak erakusten dituztenak. Azken horiek interesgarriagoak dira, modu abstraktuan jarduteko eta ondorio orokorragoetara iristeko aukera ematen dutelako.

Bigarren motako diagrama hauek oinarrizko lau eragiketaren emaitzak erakusten dituzte, bi koloretako semaforoaren kodea erabiliz.

¬A

A ∧ B

A ∨ B = ¬((¬A) ∧ (¬B))

A – B = A ∧ (¬B)

Diferentzietatik ondorioztatzen denez, lehenengo bi eragiketekin (ukapena eta konjuntzioa), beste biak egin daitezke.

Bi koloreko kodea zenbaki-sistema bitarrean interpreta daiteke: gorria = 0; berdea = 1. Eragiketen emaitzak digitalizatu egin daitezke. Eta eragiketetan parte hartzen duten terminoei ere bai. Horrela, multzoekiko eragiketak zenbakidun eragiketa bihurtzen dira.

Venn-en diagramak eta definizio kopurua

Hurrengo diagramek multzo unibertsala definizio batekin, birekin eta hirurekin zenbat eskualdetan banatzen den erakusten dute.

Multzo 1 (kolore 1)

2 multzo (3 kolore)

3 multzo (7 kolore)

Grisa kolorea, irudi guztietan definizio bakar batean erortzen ez dieren elementuak irudikatzen ditu.

Multzo baten diagrama

Bi eskualde baino ez ditu: A definizioari erantzuten dioten elementuak eta horren aurka daudenak.

Bi multzoren diagrama

4 eskualde ditu. Hona hemen adibide bat: A multzoa bi hankako animaliena da, eta B multzoa hegan egin dezaketen animaliena. Bi eskualdeak gainjartzen diren eremuak, beraz, aldi berean hankabikoak diren eta hegan egin dezaketen animalia guztiak hartzen ditu. Laburbilduz:

A (eskualde horia eta berdea): bi hanka dituzten animaliak,
B (eskualde urdina eta berdea): hegan egin dezaketen animaliak,
A eta B (eskualde berdea): hegan egin dezaketen bi hanka dituzten animaliak,
A eta ez B (eskualde horia): hegan egin ezin duten bi hankako animaliak,
Ez A eta B (alde urdina): bi hankakoak ez diren animaliak (bi hanka ez dituztenak), hegan egin dezaketenak,
Ez A eta ez B (eskualde grisa): hegan egin ezin duten hankabikoak ez diren animaliak,
A edo B (alde horia, urdina eta berdea): hankabiko animaliak edo hegan egin dezaketenak.

Hiru multzoren diagrama

8 eskualde dituzre. Hiru multzoko diagramak izan ziren Vennek bere obra osoan gehien erabili zituenak. Aplikazioaren adibide bat honako hau izango litzateke: pertsona talde bat kontuan hartuta, A emakumezkoen multzoa da, B 18 urtetik gorakoen multzoa eta C lan egiten dutenen multzoa. Horrela, eskualde berdea lan egiten ez duten 18 urtetik gorako emakumeen eskualdea izango litzateke.

Hiru multzo baino gehiagoko diagramak

Argi dago Venn-en diagramen bidez hiru multzo baino gehiago irudikatzeko zailtasuna dagoela. Vennek bere bizitzan zehar hainbat irudikapen diseinatu zituen elipseak erabilz, eta eta zeinahi kurba kantitatearekin diagramak eraikitzeko jarraibideak utzi zituen, hiru zirkuluko diagramatik abiatuta.

Ikus gainera

Euler diagrama

Kanpo estekak

Datuak: Q190763
Multimedia: Venn diagrams / Q190763