Matematikan, seriea batura moduan adierazten den segida matematiko bat da:

Aurreko segidari, n elementu batzen dituen segidari, seriearen n-garren batura partziala deituko diogu.

Serieen azterketaren helburu nagusia batura kalkulatzea da, bereziki n infiniturantz doan kasuan. Serieak (batura partzialen limiteak zehazkiago), balio jakina hartzen badu, serie konbergentea dela esaten da; bestela, esaterako batura infinitua denean, serie dibergentea dela esaten da.

Serieen izaera

aldatu

Serieen izaera haren oinarrian dagoen segidaren gaien baturaren nolakotasunak zehazten du. Hiru motako serieak atzeman daitezke: konbergenteak, dibergenteak eta oszilatzaileak.

  • Serie bat konbergentea izango da   batura partzialen segidaren limitea zenbaki bat bada, hau da, baturaren limitea zenbaki bat bada. Orduan,   izango da.

Adibideak

  1.   seriea konbergentea da, eta bere emaitza   da.
  2.   seriea konbergentea da eta bere emaitza   zenbakia da.
  • Serie bat dibergentea izango da   batura partzialen segidaren limitea ez bada zenbaki jakin bat eta   bada. Orduan,   izango da.

Adibideak

  1.   seriea dibergentea da. Izan ere, segida honen  -garren batura partziala   izango da. Gainera, kasu konkretu honetan,   kasuan batura   izango da eta   kasuan  .
  2. Beste adibide bat   edo serie armonikoa da, non nahiz eta segidaren limitea 0 izan seriearen batura   da.
  • Serie bat oszilakorra bada bere batura ez da existituko.

Adibidea

  1.   seriea oszilakorra da, eta bere emaitza   izango da   bikoitia bada, eta     bakoitia bada.

Serieen propietate batzuk

aldatu
  • Serie konbergenteen kasuan,   serie konbergente ororentzat,   izango da, baina alderantzizkoak ez du zertan bete, honen adibide izanik lehen ikusitako serie harmonikoa.
  •   serie baten izaera ez da aldatuko elementu kopuru finitu bat gehitzen bazaio.
  •   eta   bi serie konbergente izanik, non haien baturak   eta   diren hurrenez hurren:
  1.  
  2.   izanik,  

Gai positiboko serieetan, batzuetan, serie minorante eta maioranteak erabiltzen dira seriearen izaera zehazteko.   eta   serieak ditugularik, lehenaren serie minorantea izango da bigarrena baldin bigarrenaren gai guztiak lehenarenak baino txikiagoak badira. Alderantziz, lehen seriearen serie maiorantea izango da bigarrena, baldin bigarrenaren gai guztiak lehenarenak baino handiagoak badira. Hori jakinda, gai positiboko serieen kasuan ondorioztatu daiteke serie konbergente batek serie maiorante konbergente bat badu, serie hori ere konbergentea izango dela. Era berean, gai positiboko serie dibergente batek serie minorante dibergentea badu, serie hori ere dibergentea izango da.

Serieen adibideak

aldatu
  • Serie geometriko bat serie bat da non batugai bakoitza aurrekoa den konstante batengatik biderkatuta. Adibidez:

 

  seriea konbergentea izango da   baldin bada

  • Serie harmonikoa   seriea da. Dibergentea da.
    • Honen adibide konkretu bat   seriea da. Hau Basileako problema bezala ezagutzen da. Leonhard Euler matematikariak aurkitu zuen bere balioa:  
  • Serieen bidez konstante garrantzitsu batzuen balioak aproximatu daitezke, adibideak izanik lehengo basileako problema edo  , bere emaitza   izanik.

Kanpo estekak

aldatu