Permutatsioon
![]() | See artikkel vajab toimetamist. (Veebruar 2008) |
![](http://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/4/4c/Permutations_RGB.svg/120px-Permutations_RGB.svg.png)
Permutatsioon on kombinatoorikas lõpliku hulga elementidest moodustatud jada, milles iga element esineb täpselt üks kord.
Hulk erineb jadast, kuna erinevalt viimasest pole hulgas elementide järjestus oluline. Näiteks {1,2,3} ja {1,3,2} tähistavad samu hulki, kuid erinevaid permutatsioone.
Üldistused
[muuda | muuda lähteteksti]Permutatsiooni mõistet kasutatakse järgnevates kontekstides.
Kombinatoorikas
[muuda | muuda lähteteksti]Kui on antud mingi n elemendist koosnev hulk ning me valime sellest hulgast r elementi (kus 0 ≤ r ≤ n), siis on neid elemente võimalik järjestada
erineval moel. Sümbol ! tähistab faktoriaali. Erijuhul, kui r = n
Seega n elemendilisi permutatsioone n elemendisest hulgast on täpselt n!.
Rühmateoorias
[muuda | muuda lähteteksti]Rühmateoorias käsitletakse suvaliste (isegi lõpmatute) hulkade permutatsioone. Hulga S permutatsiooniks on bijektsioon hulgast S hulka S, mis annabki võimaluse permutatsioonide koostamiseks ja see omakorda võimaldab defineerida permutatsioonide rühma. Kui hulk S on lõplik, sisaldades n elementi, siis hulgal S on n! permutatsiooni.
Permutatsioonide omadused ja erilised permutatsioonid
[muuda | muuda lähteteksti]Inversiooni moodustavad elemendid i ja j parajasti siis, kui i on eespool j-st kuid i > j.
Permutatsiooni paarsus on seotud inversioonide arvuga permutatsioonis. Kui permutatsioonis leidub paaris või paaritu arv ineverisoone, siis nimetatakse permutatsiooni vastavalt paarispermutatsiooniks või paarituks permutatsiooniks.[1]
Transpositsioon on kahe elemendi ümbervahetamine, kusjuures kõik ülejäänud elemendid jäävad samaks. Transpositsioonide jaoks kehtib:
- Iga permutatsioon on esitatav transpositsioonide järjestikuse rakendamise teel.
- Transpositsioon muudab permutatsiooni paarsust.
- Viimast arvesse võttes võib permutatsiooni paarsuse defineerida ka järjestikku rakendavate transpositsioonide arvu kaudu, mis on antud transpositsiooni moodustamiseks tarvis.
Substitutsioonide rühm
[muuda | muuda lähteteksti]Bijektiivseid teisendusi hulgal nimetatakse substitutsioonideks. Saab näidata, et hulga substitutsioonid moodustavad rühma. Kui tegu on n elemendist koosneva lõpliku hulgaga, siis nimetatakse selle substitutsioonidest moodustunud rühma substitutsioonide rühmaks ja tähistatakse Sn. Substitutsioone on võimalik väljendada permutatsioonide abil.
Cayley-Hamiltoni teoreem ütleb, et iga lõplik rühm G on isomorfne mõne substitutsioonide rühma Sn alamrühmaga.
Vaata ka
[muuda | muuda lähteteksti]Viited
[muuda | muuda lähteteksti]- ↑ M Kilp, Algebra I (1998)