Besseli kimp

Besseli kimp on elektromagnet-, heli- või gravitatsioonilaine, mille amplituudi kirjeldab esimest tüüpi Besseli funktsioon (inglise Bessel function of the first kind). Besseli kimbu ruumiline profiil levimisteljega ristuvas tasandis koosneb eredast tsentraalsest maksimumist ja seda ümbritsevatest nõrga intensiivsusega rõngastest. Levikul Besseli kimp (justkui) ei difrageeru ehk kimbu profiil on levimisteljega ristuvas läbilõikes muutumatu (ei haju laiali). Asetades kimbu teele väikese tõkke, taastub tõkkest eemaldudes levimisteljel kiire esialgne profiil ehk Besseli kimp on "iseparanev".^[1]

Esimesena kirjeldas kimpu Jim Durnin 1987. aastal^[2]. Juba enne 1987. aastat oli leitud teoreetilisi lahendeid, mis kirjeldasid nn mittedifrageeruvaid lainevälju või n-ö kuulilaadselt levivaid impulsse^[3]^[4]^[5].

Ideaalne Besseli kimp on lõpmatu laiusega (tõkestamata) ning seetõttu kulub selle loomiseks lõpmatu kogus energiat. Lähendused, mis käituvad piiratud ruumipiirkonnas Besseli kimbuna, annavad kasulikke rakendusi näiteks optikas ja akustikas. Optikas on kõige lihtsam Besseli kimpu luua Gaussi kimbu fokuseerimisel aksikoni ehk koonilise läätsega (inglise axicon lens), kasutades (kontsentriliste võrejoontega) silindersümmeetrilist difraktsioonivõret või paigutades pisikese ringikujulise ava (rõngaspilu) kaugvälja (inglise far field).^[1]

Matemaatiline esitlus

Besseli kimp on kirjeldatav funktsiooniga $E(r,\varphi ,z)=A_{0}\exp(ik_{z}z)J_{n}(k_{r}r)\exp(\pm in\phi )$

$A_{0}$ on algamplituud,
$J_{n}(k_{r}r)$ on n-dat järku Besseli funktsioon,
$k_{z}$ ja $k_{r}$ on vastavalt lainevektori ${\vec {k}}$ levikusuunaline ja radiaalkomponent $k={\sqrt {k_{z}^{2}+k_{r}^{2}}}={\frac {2\pi }{\lambda }}$ , kus λ on lainepikkus,
$r,\varphi ,z$ on vastavalt raadius, polaarnurk ja kaugus levimisteljel.^[1]

Tekitamine

Tekitamiseks on mitmeid võimalusi. Esimest varianti vaatleme mitmes etapis. Alustuseks vaatleme olukorda, kus monokromaatne (ehk kindla lainepikkusega) tasalaine langeb maskile. Maskis on teljest kaugusel r lainepikkuse suurusjärgus kitsas ava. Mask asub omakorda läätsest kaugusel f, mis on läätse fookuskauguseks. Ava läbides levib valgus Huygensi-Fresneli printsiibi tõttu kogu läätse ulatuses. Lääts muudab pealelangenud valguse tasaparalleelseks. Tasaparalleelne kiirtekimp levib telje suhtes nurga θ all. Seejärel lisatakse ekraanile teine ava samuti kaugusele r, kuid vastassuunas. Teisest avast levib samuti läätse läbides tasaparalleelne kiirtekimp nurga θ all, kuid kiirtekimp on peegeldatud optilise telje suhtes. Kohas, kus tasaparalleelsed lained lõikuvad, tekib interferentspilt. Kui integreerida neid kahte pilu üle polaarnurga φ ehk kahe pilu asemel on maskis rõngaspilu, saadakse interferentspildiks Besseli kimp.^[1]

Maskilt difrageerunud ja läätsega kollimeeritud laine nurga tangens on $\tan \theta ={\frac {r}{f}}$ , kus $r$ on rõnga raadius ja $f$ on läätse fookuskaugus.

Besseli kimp levib kaugusele $r_{max}={\frac {R}{\tan \theta }}$ , kus $R$ on läätse raadius.

Praktikas see kasutust ei leia, sest selle meetodi korral on suurem osa valgusest maskiga blokeeritud^[1].

Teine võimalus Besseli kimpu luua on kasutada aksikonläätse. Valgus langeb aksikonile ning viimane murrab telje suhtes sümmeetriliselt valguslainet tsentri suunas. Tasalainetest moodustunud interferentspilt ongi Besseli kimp. Nurk, mille all tasalained lõikuvad teljega, on leitav valemiga $\theta =(n-1)\gamma$ , kus $n$ on aksikoni murdumisnäitaja ja $\gamma$ on aksikoni nurk. Besseli kimbu maksimaalne levimiskaugus on leitav valemiga $z_{max}={\frac {k}{k_{r}}}w_{0}\approx {\frac {w_{0}}{\theta }}$ , kus $w_{0}$ on ava laius (lõpmatu laiusega tasalaine korral on $w_{0}$ koonilise läätse laius, lõpliku laiusega tasalaine korral kiire laius). Eksperimentaalselt kasutatakse tasalaine asemel Gaussi kimpu (nt laserivalgust).^[1]

See meetod on palju efektiivsem ning sellega saadakse siledam graafik (puudub teljelähedane võnkumine). Katseelementide optilisele teljele paigutamine on kriitilise tähtsusega. Aksikonile kaldu langev valguskiir tekitab teljele kontsentriliste ringide asemel malelaualaadse mustri.^[1]

Samuti on võimalik Besseli kimp luua holograafilise elemendi abil, kus pealelangeva kimbu faasi moduleeritakse sobivalt. Selleks võib kasutada sisse söövitatud staatilisi (muutumatuid) või arvutijuhitatavate ruumiliste valgusmodulaatoritega loodud hologramme.^[1]

Alternatiiv rõngaspilu ja läätse süsteemile oleks Fabry-Pérot’ interferomeeteri ja rõngasava süsteemi kasutamine, mis annab levimisteljel sujuvamalt muutuva intensiivsusprofiili^[1].

"Iseparanemine"

Kui asetada Besseli kimbu teele tõke, tekib tõkke taha vari. Besseli kimbu intensiivsusjaotus levimisteljega ristuvas tasandis taastab oma algse kujul – seda nimetatakse "iseparanemiseks". Kimbu algne kuju on taastunud kaugusel $z_{min}\approx {\frac {ak}{2k_{z}}}$ , kus $a$ on takistuse laius mõõdetuna optiliselt teljelt.^[1]

Rakendused

Besseli kimpu saab kasutada suure intensiivsuse ja kitsa peamaksimumi tõttu optiliste näpitsatena. Optilisi näpitsaid kasutatakse mikromanipuleerimiseks. Selleks kasutatakse optilist gradientjõudu, et lõksustada mikroskoopilisi osakesi laseri fookusse. Kahedimensionaalselt on võimalik lõksustamine, millele lisaks on võimalik osakest proovi katteklaasi vastu suruda. Lisaks lubab pikk ja peenike peamaksimum lõksustada vardakujulisi esemeid nt induktiivpoole. Besseli kimbuga on võimalik kinni püüda nii väikese kui ka suure murdumisnäitajaga osakesed. Besseli kimbu rõngasstruktuuris olevatesse tumedatesse aladesse püütakse väikese murdumisnäitajaga osakesed ning eredatesse rõngastesse suure murdumisnäitajaga osakesed.^[1]

Tavapärane lõksustamine toimub kasutades fokuseeritud Gaussi kimpe. Selle puuduseks on lühike distants, kus on võimalik osakest lõksustada. Vaid mõni mikromeeter fookusest kaugemal ei suuda optilised jõud osakest enam kinni hoida. Teiseks puuduseks on osakeste eraldamine. Tavapärane optiline näpits suudab osakest kinni hoida vaid fookuse lähedal ning kui mitu osakest satuvad sinna osasse, siis nad kuhjuvad üksteise otsa. Fokuseeritud Gaussi kimpe kasutades pole võimalik ruumiliselt osakesi lahutada (umbes millimeetriste vahedega). Seda probleemi ei esine Besseli kimbu "iseparanemisel". Lõksustades ühe osakese, taastab Besseli kimp oma kuju, ning seejärel on võimalik sama kiirega uus osake lõksustada. Seeläbi on võimalik saada sentimeetri suurusjärgus osakeste omavaheline ruumiline lahutus. Kui palju osakesi on võimalik ühe kimbuga lõksustada, on piiratud kimbu levimiskaugusega. Osakesed võivad olla erinevates katsekambrites, kuid endiselt üheaegselt manipuleeritavad. Kaugus, mille jooksul kimp taastab oma kuju, sõltub mingis ulatuses peale osakese suuruse veel tema murdumisnäitajast. See võib olla abiks osakeste määramisel, näiteks vähktõve rakkude eristamisel tervetest rakkudest. Besseli kimbu kasutamise puuduseks on kindla fookuse puudumine, mistõttu pole võimalik kolmemõõtmelist lõksu luua.^[1]

Kõrgemat järku Besseli kimbu korral (inglise high-order Bessel beam) on ereda peamaksimumi keskel miinimum (peamaksimum ei ole täpp vaid rõngas). See võimaldab uurida valguskimbu ringsagedust. Seda kasutati orbitaalse impulsimomendi ülekandmiseks madalaindeksilisele osakesele. Esmatähelepanek üheaegsest spinni ja impulsimomendi üleminekust osakesele, mis ei ole kimbu teljel, vaadeldi Besseli kimbu abil. Ringikujuline struktuur lubas spinni mõõta raadiuse funktsioonina. Selles eksperimendis oli kõrgemat järku Besseli kimp ringpolariseeritud ja polarisatsiooni sai muuta lastes valgust läbi kaksikmurdva osakese, mis pöörles, otsekui oleks valguse spinni impulsimoment osakesele üle kantud. Kõrgemat järku Besseli kimbu kaldu olevad lainefrondid põhjustavad orbitaalse impulsimomendi levimist hajumisena.^[1]

"Valguskuul"

Monokromaatsete Besseli kimpude summeerimine spetsiifiliste eeskirjade järgi, võimaldab luua "valguskuule", mis levivad muutumatult vaakumis ja lineaarses keskkonnas. "Valguskuul" saadakse ülilühikeste valgusimpulssidega (10 fs suurusjärgus), millel on lai spekter (valge valgus). "Valguskuule" kasutatakse näiteks plasma loomiseks, osakeste mikromanipulatsioonis, geenitehnoloogias jne. "Valguskuuli" intensiivsus moodustab x-z ja x-t tasandi läbilõikes tähe "X", mille järgi on see nime saanud. Näiteks Besseli X-laine (inglise Bessel X-wave) on "valguskuul", mille elektriväli levib võrdse rühma- ja faasikiirusega, mis on suuremad valguse kiirusest vaakumis c. Kuna energia levimiskiirus on väiksem või võrdne c-ga, siis ühtegi fundamentaalset füüsikaseadust ei rikuta.^[6]

Viited

↑ ^1,00 ^1,01 ^1,02 ^1,03 ^1,04 ^1,05 ^1,06 ^1,07 ^1,08 ^1,09 ^1,10 ^1,11 ^1,12 McGloin, D., and K. Dholakia. "Bessel beams: diffraction in a new light." Contemporary Physics 46.1 (2005): 15–28.
↑ Durnin, J1, J. J. Miceli Jr, and J. H. Eberly. "Diffraction-free beams." Physical Review Letters 58.15 (1987): 1499.
↑ Bateman, Harry. The Mathematical Analysis of Electrical and Optical Wave-motion on the Basis of Maxwell's Equations: By H. Bateman... University press, 1915.
↑ Courant, R., and D. Hilbert. "Methods of Mathematical Physics, vol. II, Interscience, 1953." Translated and revised from the German 33 (1937).
↑ Stratton, Julius Adams. "Electromagnetic theory. International series in pure and applied physics." (1941).
↑ Saari, P. "Valgusest kiiremad lained" Horisont (1/1998)

[:0-1] 1,00 ^1,01 ^1,02 ^1,03 ^1,04 ^1,05 ^1,06 ^1,07 ^1,08 ^1,09 ^1,10 ^1,11 ^1,12 McGloin, D., and K. Dholakia. "Bessel beams: diffraction in a new light." Contemporary Physics 46.1 (2005): 15–28.

[P5mCw-2] Durnin, J1, J. J. Miceli Jr, and J. H. Eberly. "Diffraction-free beams." Physical Review Letters 58.15 (1987): 1499.

[U9JZ2-3] Bateman, Harry. The Mathematical Analysis of Electrical and Optical Wave-motion on the Basis of Maxwell's Equations: By H. Bateman... University press, 1915.

[5bpP4-4] Courant, R., and D. Hilbert. "Methods of Mathematical Physics, vol. II, Interscience, 1953." Translated and revised from the German 33 (1937).

[7BFQR-5] Stratton, Julius Adams. "Electromagnetic theory. International series in pure and applied physics." (1941).

[oRUbn-6] Saari, P. "Valgusest kiiremad lained" Horisont (1/1998)

[1]

[2]

[3]

[4]

[5]

[6]