Täielik järjestus

Täielik järjestus hulgal H on selline lineaarne järjestus hulgal H, mille puhul iga hulga H mittetühi alamhulk omab vähimat elementi selle järjestuse suhtes (elementi a, mille puhul a ≤ x mis tahes elemendi x korral sellest alamhulgast).

Hulka H koos täieliku järjestusega nimetatakse täielikult järjestatud hulgaks.

Näited

• Lõplik lineaarselt järjestatud hulk on täielikult järjestatud hulk, sest lineaarselt järjestatud hulga lõplikus alamhulgas leidub vähim element.
• Naturaalarvude tavaline järjestus (väiksem või võrdne) on täielik.
• Täisarvude tavaline järjestus (väiksem või võrdne) ei ole täielik, sest näiteks kõigi negatiivsete täisarvude hulgal ei ole vähimat elementi.
• Ratsionaalarvude tavaline järjestus (väiksem või võrdne) ei ole täielik, sest näiteks hulgal {1/2, 1/3, 1/4, 1/5, ...} ei ole vähimat elementi (siin pole oluline, et tal on alamraja 0).
• Reaalarvude tavaline järjestus (väiksem või võrdne) ei ole täielik, sest näiteks vahemikul (0, 1) ei leidu vähimat elementi. Näiteks sobib ka sama alamhulk mis ratsionaalarvude korral.
• Positiivsete reaalarvude tavaline järjestus (väiksem või võrdne) ei ole täielik samal põhjusel.
• Tavaline järjestus (väiksem või võrdne) reaalarvude lõigul [0, 1]] ei ole täielik samal põhjusel.
• Kuigi täisarvude tavaline järjestus ei ole täielik, võib täisarvude hulgal määratleda täieliku järjestuse. Näiteks järgmine järjestusseos on täielik:

x <_z y siis ja ainult siis, kui |x| < |y| või (|x| = |y| ja x ≤ y). See järjestus näeb välja nii:

0  -1  1  -2  2  -3  3  -4  4  ...

• Ei ole teada ühtki täieliku järjestusseost reaalarvude hulgal.

Piisavad ja tarvilikud tingimused

Lineaarselt järjestatud hulk on täielikult järjestatud siis ja ainult siis, kui ta ei sisalda alamhulka, mis on antiisomorfne naturaalarvude järjestatud hulgaga tavalise järjestuse järgi.

Ei eksisteeri lõpmatult pikka kahanevat ahelat

Kui hulgal H on antud täielik järjestus, siis ei eksisteeri lõpmatult pikka kahanevat ahelat, st lõpmatut jada$(a_{i})$ hulgas H, mille korral iga $i$ korral $a_{i+1}<a_{i}$.

Elementide eellased ja järglased ning vähim ja suurim element

Kui hulgal H on antud täielik järjestus, siis leidub hulgas H ilma eellaseta element, nimelt hulga H enda vähim element (seda nimetatakse nulliks ja tähistatakse 0). Eellaseta elemente võib olla rohkem, isegi lõpmata palju. Eellaseta elemente nimetatakse piirelementideks.

Elemendi järglane on üheselt määratletud või puudub. Kui element ei ole suurim element, siis tema järglane on määratletud kui temast suuremate elementide hulga vähim element. Suurim element võib leiduda või mitte; kui ta leidub, siis ta on ainus. Suurimal elemendil järglast ei ole.

Näited

• Naturaalarvude tavalise järjestuse puhul on vähim naturaalarv eellaseta element. Suurimat elementi ei ole.
• Olgu naturaalarvude hulgal defineeritud niisugune järjestus, et mistahes paarisarv on suurem kui mistahes paaritu arv. Omavahel olgu nii paarisarvud kui ka paarisarvud järjestatud tavalisel moel, seega

$1<3<5<\cdots <2<4<6<\cdots$

Ilmselt on tegu täieliku järjestusega. Tõepoolest, kui alamhulka kuulub mingeid paarituid arve, siis on vähim nende seas ka alamhulga "vähim" arv (kõik paarisarvud on "suuremad"); kui aga temasse kuuluvad ainult paarisarvud, siis on vähim nende seas ka "vähim" selle täieliku järjestuse suhtes, sest paarituid arve, mis oleksid "väiksemad", lihtsalt pole. Selle täieliku järjestuse ordinaalarvu tähistatakse tavaliselt $\omega +\omega$. Siin ei ole suurimat elementi, küll aga kaks ilma eellaseta elementi: 1 ja 2.

Transfiniitne induktsion

Kui hulk on täielikult järjestatud, siis saab kasutada transfiniitse induktsiooni tehnikat, et näidata, et antud väide kehtib selle hulga iga elemendi kohta. Matemaatiline induktsioon on transfiniitse induktsiooni erijuht.

Zermelo teoreem

Valikuaksioomist järelduv Zermelo teoreem väidab, et mistahes mittetühja hulka on võimalik täielikult järjestada.

Kui eeldada ülejäänud aksioome Zermelo-Fraenkeli aksiomaatikas, siis see väide on valikuaksioomiga samaväärne.

Selle teoreemi järgi saab reaalarvude hulka täielikult järjestada, kuid pole teada, kuidas seda teha.

Täieliku järjestuse pärandumine

Täielikult järjestatud hulga alamhulk on sama järjestuse järgi täielikult järjestatud.

Täielikult järjestatud hulkade otsekorrutis on leksikograafilise järjestuse järgi täielikult järjestatud.

Alglõik ja võrdlusteoreem

Täielikult järjestatud hulga mingist elemendist väiksemate elementide hulka nimetatakse selle täielikult järjestatud hulga alglõiguks.

Võrdlusteoreem ütleb, et iga kahe täielikult järjestatud hulga T₁ ja T₂ korral kehtib täpselt üks kolmest: 1) T₁ on isomorfne T₂-ga; 2) T₁ on isomorfne T₂ mõne alglõiguga; 3) T₂ on isomorfne T₁ mõne alglõiguga.

Ordinaalarvud

Täielikult järjestatud hulkade järjestustüüpe nimetatakse ordinaalarvudeks.

Ajalugu

Täieliku järjestuse ja täielikult järjestatud hulga mõiste võttis kasutusele Georg Cantor.

Vaata ka

• järjestatud paar
• fundeeritud hulk
• ordinaalarv
• Zermelo teoreem

Kirjandus

• Oliver Deiser: Einführung in die Mengenlehre, Springer, 2004, ISBN 978-3-540-20401-5, lk 222–230 Google'i raamat