Astmereaks nimetatakse funktsionaalrida kujul[ 1]
∑
n
=
0
∞
a
n
(
x
−
c
)
n
=
a
0
+
a
1
(
x
−
c
)
1
+
a
2
(
x
−
c
)
2
+
a
3
(
x
−
c
)
3
+
⋯
{\displaystyle \sum _{n=0}^{\infty }a_{n}\left(x-c\right)^{n}=a_{0}+a_{1}(x-c)^{1}+a_{2}(x-c)^{2}+a_{3}(x-c)^{3}+\cdots }
kus c on konstant, a n on n -nda liikme kordaja ning x muutuja.
Astmeread ilmuvad loomulikul moel kui funktsioonide Taylori read . Tihti valitakse c = 0 , näiteks Maclaurini ridade juhul. Sel juhul võtavad astmered mõnevõrra lihtsama kuju
∑
n
=
0
∞
a
n
x
n
=
a
0
+
a
1
x
+
a
2
x
2
+
a
3
x
3
+
⋯
.
{\displaystyle \sum _{n=0}^{\infty }a_{n}x^{n}=a_{0}+a_{1}x+a_{2}x^{2}+a_{3}x^{3}+\cdots .}
Geomeetriline rida on astmerida kujul
1
1
−
x
=
∑
n
=
0
∞
x
n
=
1
+
x
+
x
2
+
x
3
+
⋯
,
{\displaystyle {\frac {1}{1-x}}=\sum _{n=0}^{\infty }x^{n}=1+x+x^{2}+x^{3}+\cdots ,}
See rida koondub , kui |x |<1.
Eksponentrida on eksponentfunktsiooni Taylori rida
e
x
=
∑
n
=
0
∞
x
n
n
!
=
1
+
x
+
x
2
2
!
+
x
3
3
!
+
⋯
,
{\displaystyle e^{x}=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {x^{n}}{n!}}=1+x+{\frac {x^{2}}{2!}}+{\frac {x^{3}}{3!}}+\cdots ,}
See rida koondub tervel komplekstasandil.
Siinuse Taylori rida on
sin
(
x
)
=
∑
n
=
0
∞
(
−
1
)
n
x
2
n
+
1
(
2
n
+
1
)
!
=
x
−
x
3
3
!
+
x
5
5
!
−
x
7
7
!
+
⋯
,
{\displaystyle \sin(x)=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{n}x^{2n+1}}{(2n+1)!}}=x-{\frac {x^{3}}{3!}}+{\frac {x^{5}}{5!}}-{\frac {x^{7}}{7!}}+\cdots ,}
See rida koondub tervel komplekstasandil.
Kõik ülaltoodud näited on ühtlasi näited Maclaurini ridadest .
↑ Kaasik, Ü. (2002). Matemaatikaleksikon . Tartu.
