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Semicontinuidad

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En análisis matemático, la semi-continuidad es una propiedad de la funciones reales más débil que el concepto de continuidad. Coloquialmente, una función real se dice semi-continua superiormente en un punto x0 si los valores de la función en puntos cercanos a x0 son próximos a f(x0) o menores que f(x0). Similarmente, si los valores de la función en dicho entorno son "mayores que" en vez de "menores que", se dice que la función es semi-continua inferiormente en x0.[1]

Ejemplos

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Función semi-continua superiormente. El punto azul se refiere a f(x0).

Consideremos la siguiente función definida por tramos, f(x) = –1 si x < 0 y f(x) = 1 si x ≥ 0. Esta función es semi-continua superiormente pero no inferiormente.

Función semi-continua inferiormente. El punto azul se refiere a f(x0).

La función de parte entera, , que asigna a cada número real el entero menor o igual a dicho número es semi-continua superiormente en todo su dominio, similarmente , que asigna a cada número real el entero mayor o igual a dicho número, es semi-continua inferiormente en todo su dominio.

Una función puede ser semi-continua inferiormente o superiormente sin necesariamente ser continuas por la derecha o por la izquierda como podemos ver con el siguiente ejemplo:

una función que es semi-continua superiormente en x = 1 pero que no es continua por la derecha o por la izquierda. El límite por la derecha es 1 mientras que el límite por la izquierda es 1/2. Similarmente:

es semi-continua superormente en x = 0 pero sus límites por la derecha o por la izquierda no existen para dicho punto.

Véase también

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Referencias

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Bibliografía

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  • Espinosa de los Monteros, Julián (2001). Diccionario de matemática. ISBN 84-8055-355-3. 
  • Spivak, Michael (1970). Calculus. Cálculo Infinitesimal. Barcelona: Reverté.