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Espacio vectorial ordenado

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Un punto en y el conjunto de todos los tales que (en rojo). El orden aquí es si y solo si y

En matemáticas, un espacio vectorial ordenado o espacio vectorial parcialmente ordenado es un espacio vectorial equipado con un orden parcial que es compatible con las operaciones del espacio vectorial.

Definición

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Dado un espacio vectorial sobre los números reales y un preorden sobre el conjunto el par se llama espacio vectorial preordenado y se dice que el preorden es compatible con la estructura del espacio vectorial de . Por otro lado, se denomina a un preorden vectorial en si para todos los y con se cumplen los dos axiomas siguientes:

  1. implica que
  2. implica que

Si es un preorden compatible con la estructura del espacio vectorial de , entonces se denomina espacio vectorial ordenado y se denomina orden parcial vectorial en Los dos axiomas implican que las traslaciones y las homotecias positivas son automorfismos de la estructura de orden, y que la asignación es un isomorfismo sobre una estructura de orden dual. Los espacios vectoriales ordenados son grupos ordenados con respecto a la operación suma. Téngase en cuenta que si y solo si

Conos positivos y su equivalencia con los ordenamientos

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Un subconjunto de un espacio vectorial se llama cono si para todo real Un cono se llama puntiagudo si contiene el origen. Un cono es convexo si y solo si La intersección de cualquier familia de conos no vacía (respectivamente, conos convexos) es nuevamente un cono (respectivamente, cono convexo). Lo mismo ocurre con la unión de una familia de conos creciente (bajo la inclusión de conjuntos) (respectivamente, conos convexos). Se dice que un cono en un espacio vectorial es generador si [1]

Dado un espacio vectorial preordenado el subconjunto de todos los elementos en que satisfacen es un cono convexo puntiagudo con vértice en (es decir, contiene ) llamado cono positivo de y denotado por Los elementos del cono positivo se llaman positivos. Si e son elementos de un espacio vectorial preordenado entonces si y solo si El cono positivo se genera si y solo si es un conjunto dirigido bajo Dado cualquier cono convexo puntiagudo con vértice en se puede definir un preorden en que sea compatible con la estructura del espacio vectorial de declarando para todo que si y solo si El cono positivo de este espacio vectorial preordenado resultante es Por lo tanto, existe una correspondencia uno a uno entre los conos convexos puntiagudos con vértice y los preórdenes de vectores en [1]​. Si está reservado, entonces se puede formar una relación de equivalencia en definiendo que es equivalente a si y solo si e ; si es la clase de equivalencia que contiene el origen, entonces es un subespacio vectorial de y es un espacio vectorial ordenado bajo la relación: si y solo existen y tales que [1]

Un subconjunto de de un espacio vectorial se denomina cono convexo si es un cono convexo de vértice que satisface Explícitamente, es un cono propio si (1) (2) para todos los y (3) [2]​ La intersección de cualquier familia no vacía de conos propios es nuevamente un cono propio. Cada cono propio en un espacio vectorial real induce un orden en el espacio vectorial definiendo si y solo si y además, el cono positivo de este espacio vectorial ordenado será Por lo tanto, existe una correspondencia uno a uno entre los conos convexos propios de y los órdenes parciales del vector en

Por ordenamiento total de vectores en se entiende un orden total en que es compatible con la estructura del espacio vectorial de La familia de ordenamientos vectoriales totales en un espacio vectorial está en correspondencia uno a uno con la familia de todos los conos propios que son máximos bajo la inclusión de conjuntos.[1]​ Un orden vectorial total no puede ser arquimediano si su dimensión, cuando se considera un espacio vectorial sobre los números reales, es mayor que 1.[1]

Si y son dos ordenamientos de un espacio vectorial con conos positivos y respectivamente, entonces se dice que es más fino que si [2]

Ejemplos

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Los números reales con el orden habitual forman un espacio vectorial totalmente ordenado. Para todos los números enteros, el espacio euclídeo, considerado como un espacio vectorial sobre los reales con el orden lexicográfico, forma un espacio vectorial preordenado cuyo orden es arquimediano si y solo si .[3]

Orden puntual

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Si es cualquier conjunto y si es un espacio vectorial (sobre los números reales) de funciones con valor real en entonces el orden puntual en viene dado por, para todo si y solo si para todos [3]

Los espacios a los que normalmente se les asigna este orden incluyen:

  • El espacio de aplicaciones de valor real acotado en
  • El espacio de sucesiones de valor real que convergen a
  • El espacio de funciones de valor real continuas en un espacio topológico
  • Para cualquier entero no negativo el espacio euclídeo cuando se considera como el espacio donde a viene dado por una topología discreta.

El espacio de todos las aplicaciones medibles casi en todas partes asigna valores reales acotados en donde el preorden se define para todos los por si y solo si casi en cualquier parte.[3]

Intervalos y el orden vinculado dual

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Un intervalo de orden en un espacio vectorial preordenado tiene la forma

De los axiomas 1 y 2 anteriores se deduce que y implican que pertenece a y por tanto, estos intervalos de orden son convexos. Se dice que un subconjunto está ordenado si está contenido en algún intervalo de orden.[2]​ En un espacio vectorial real preordenado, si es para , entonces el intervalo de la forma es equilibrado.[2]​ Una unidad de orden de un espacio vectorial preordenado es cualquier elemento tal que el conjunto sea absorbente.[2]

El conjunto de todas las funciones lineales en un espacio vectorial preordenado que asigna cada intervalo de orden a un conjunto acotado se denomina dual de orden acotado de y se denota por [2]​ Si un espacio es ordenado, entonces su dual de orden acotado es un subespacio vectorial de su espacio dual.

Un subconjunto de un espacio vectorial ordenado se llama de orden completo si para cada subconjunto no vacío tal que está orden acotado en tanto como existen y son elementos de Se dice que un vector ordenado el espacio posee orden completo si es un subconjunto de orden completo de [4]

Ejemplos

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Si es un espacio vectorial preordenado sobre los números reales con unidad de orden entonces la aplicación es un funcional sublineal.[3]

Propiedades

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Si es un espacio vectorial preordenado, entonces para todos los

  • e implican que [3]
  • si y solo si [3]
  • y implican que [3]
  • si y solo si si y solo si [3]
  • existe si y solo si existe, en cuyo caso [3]
  • existe si y solo si existe, en cuyo caso para todos los [3]
    • y
  • es un espacio de Riesz si y solo si existe para todos los [3]

Espacios de aplicaciones lineales

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Se dice que un cono es generador si es igual a todo el espacio vectorial.[2]​ Si y son dos espacios vectoriales ordenados no triviales con respectivos conos positivos y entonces se genera en si y solo si el conjunto es un cono propio en que es el espacio de todas las aplicaciones lineales desde hasta En este caso, el orden definido por se denomina ordenamiento canónico de [2]​. De manera más general, si es cualquier subespacio vectorial de tal que sea un cono propio, el orden definido por se denomina 'ordenamiento canónico de [2]​.

Funcionales positivos y el orden dual

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Una función lineal en un espacio vectorial preordenado se denomina positiva si satisface cualquiera de las siguientes condiciones equivalentes:

  1. implica
  2. si entonces [3]

El conjunto de todas las formas lineales positivas en un espacio vectorial con cono positivo llamado cono dual y denotado por es un cono igual al polar de El preorden inducido por el cono dual en el espacio de funcionales lineales en se llama preorden dual.[3]

El dual de orden de un espacio vectorial ordenado es el conjunto, denotado por definido por Aunque existen espacios vectoriales ordenados para los cuales la igualdad de conjuntos no se cumple.[2]

Tipos especiales de espacios vectoriales ordenados

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Sea un espacio vectorial ordenado. Se dice que un espacio vectorial ordenado está ordenado arquimedianamente y que el orden de es de Arquímedes si siempre que en es tal que es mayorizado (es decir, si existe algún tal que para todos los ), y entonces [2]​ Un espacio vectorial topológico (EVT) que es un espacio vectorial ordenado es necesariamente de Arquímedes si su cono positivo está cerrado.[2]

Se dice que un espacio vectorial preordenado está regularmente ordenado y que su orden es regular si está ordenado arquimedianamente y distingue puntos en [2]​ Esta propiedad garantiza que haya suficientes formas lineales positivas para poder utilizar con éxito las herramientas de la dualidad para estudiar espacios vectoriales ordenados.[2]

Un espacio vectorial ordenado se llama espacio de Riesz si para todos los elementos e existen el supremo y el ínfimo .[2]

Subespacios, cocientes y productos

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Sea un espacio vectorial preordenado con cono positivo

Subespacios

Si es un subespacio vectorial de , entonces el orden canónico en inducido por el cono positivo de es el orden parcial inducido por el cono convexo puntiagudo donde este cono es propio si es propio.[2]

Espacio de cociente

Sea un subespacio vectorial de un espacio vectorial ordenado sea la proyección canónica, y sea Entonces, es un cono en que induce un preorden canónico en el espacio cociente Si es un cono adecuado en , entonces convierte a en un espacio vectorial ordenado.[2]​ Si es saturado, entonces define el orden canónico de [1]​ Téngase en cuenta que proporciona un ejemplo de un espacio vectorial ordenado en el que no es un cono propio.

Si también es un espacio vectorial topológico (EVT), y si por cada entorno del origen en existe una vecindad del origen tal que , entonces es un cono normal para la topología cociente.[1]

Si es un retículo vectorial topológico y es un subretículo sólido cerrado de , entonces también es un retículo vectorial topológico.[1]

Producto

Si es un conjunto cualquiera, entonces el espacio de todas las funciones desde hasta está ordenado canónicamente por el cono propio [2]​.

Supóngase que es una familia de espacios vectoriales preordenados, y que el cono positivo de es Entonces, es un cono convexo puntiagudo en que determina un orden canónico en es un cono propio si todos los son conos propios.[2]

Suma directa algebraica

La suma directa algebraica de es un subespacio vectorial de al que se le da el ordenamiento del subespacio canónico heredado de [2]​ Si son subespacios vectoriales ordenados de un espacio vectorial ordenado , entonces es la suma directa ordenada de estos subespacios si el isomorfismo algebraico canónico de sobre (con el orden canónico del producto) es un isomorfismo de órdenes.[2]

Ejemplos

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  • Los números reales con el orden habitual es un espacio vectorial ordenado.
  • es un espacio vectorial ordenado con la relación definida de cualquiera de las siguientes maneras (en orden de fuerza creciente, es decir, conjuntos de pares decrecientes):
    • Orden lexicográfico: si y solo si o Este es un orden total. El cono positivo viene dado por o es decir, en Coordenadas polares, el conjunto de puntos cuya coordenada angular satisface que junto con el origen.
    • si y solo si y (el orden del producto de dos copias de con ). Este es un orden parcial. El cono positivo viene dado por e es decir, en coordenadas polares junto con el origen.
    • si y solo si o (la clausura reflexiva del Producto directo de dos copias de con "<"). Esto también es un orden parcial. El cono positivo está dado por o es decir, en coordenadas polares, junto con el origen.
Solo el segundo orden está cerrado, como subconjunto de ; véase órdenes parciales en espacios topológicos.
Para el tercer orden, los intervalos bidimensionales "" son conjuntos abiertos que generan la topología.
  • es un espacio vectorial ordenado con la relación definida de manera similar. Por ejemplo, para el segundo orden mencionado anteriormente:
    • si y solo si para
  • Un espacio de Riesz es un espacio vectorial ordenado, donde el orden da lugar a un retículo.
  • El espacio de funciones continuas en , donde si y solo si para todos los en

Véase también

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Referencias

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  1. a b c d e f g h Schaefer y Wolff, 1999, pp. 250-257.
  2. a b c d e f g h i j k l m n ñ o p q r s t Schaefer y Wolff, 1999, pp. 205–209.
  3. a b c d e f g h i j k l m Narici y Beckenstein, 2011, pp. 139-153.
  4. Schaefer y Wolff, 1999, pp. 204-214.

Bibliografía

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