Desigualdad de Bernoulli

Ilustración de la desigualdad de Bernoulli para n=3. Aquí, la gráfica roja corresponde a (1+x)³ y ésta nunca es menor que la gráfica azul, correspondiente a 1+3x.

La desigualdad de Bernoulli es aquella que se establece entre números reales.​

(Desigualdad de Bernoulli) Para cualquier número real $x\geq -1$ y cualquier número entero $n\geq 1$ se cumple:​ $(1+x)^{n}\geq 1+nx$ y la igualdad se obtiene si y sólo si x=0 o n=1.

La desigualdad de Bernoulli tiene generalizaciones y variantes:

• Si el exponente es par, entonces la desigualdad es válida para cualquier número real a.
• Si el exponente es un número real β entonces

$(1+y)^{\beta }\geq 1+\beta \cdot y$, si $y\geq -1$ y $\beta \leq 0$ o $\beta \geq 1$

mientras que

$(1+y)^{\beta }\leq 1+\beta \cdot y$, si $y\geq -1$ y $0\leq \beta \leq 1$.

La desigualdad de Bernoulli es de particular relevancia pues en numerosas ocasiones funciona como lema intermedio en la prueba de resultados de cálculo más complejos.

Prueba de la desigualdad

La demostración se efectúa únicamente para n, número natural.

Para n = 1,

$(1+x)^{1}\geq 1+1\cdot x\,$

lo cual es equivalente a 1+x ≥ 1+x

Ahora, supóngase que el enunciado es válido para n = k:

$(1+x)^{k}\geq 1+kx.\,$

Luego se probará para n = k+1:

${\begin{aligned}&{}\qquad (1+x)(1+x)^{k}\geq (1+x)(1+kx)\quad {\text{(por hipótesis, debido a que }}(1+x)\geq 0)\\&\iff (1+x)^{k+1}\geq 1+kx+x+kx^{2},\\&\iff (1+x)^{k+1}\geq 1+(k+1)x+kx^{2}.\end{aligned}}$

Sin embargo, como 1 + (k + 1)x + kx² ≥ 1 + (k + 1)x (porque kx² ≥ 0), se tiene que (1 + x)^k + 1 ≥ 1 + (k + 1)x, lo cual significa que el enunciado es cierto para n = k + 1.

Por inducción se concluye que el enunciado es cierto para todo  n ≥ 1.

Referencias

• Datos: Q728662
• Multimedia: Bernoulli inequality / Q728662