Ecuación diferencial de Bernoulli

La ecuación diferencial de Bernoulli es una ecuación diferencial ordinaria de primer orden, formulada por Jacob Bernoulli. Esta ecuación fue transformada, por Gottfried Leibniz en 1693 y por Johann Bernoulli en 1697, en una ecuación diferencial lineal de primer orden mediante el cambio de variable $y^{1-\alpha }=v$ , esta ecuación es de la forma

${\frac {dy}{dx}}+P(x)y=Q(x)y^{\alpha }$

donde $P(x)$ y $Q(x)$ son funciones continuas en un intervalo abierto $(a,b)\subseteq \mathbb {R}$ con $\alpha \in \mathbb {R}$ .

Solución

Caso general ( $\alpha \neq 0,1$ )

Dividimos la ecuación diferencial entre $y^{\alpha }$ y obtenemos

{\frac {1}{y^{\alpha }}}{\frac {dy}{dx}}+P(x)\;{\frac {y}{y^{\alpha }}}=Q(x)

o, equivalentemente

{\frac {1}{y^{\alpha }}}{\frac {dy}{dx}}+P(x)y^{1-\alpha }=Q(x)

Definiendo $z=y^{1-\alpha }$ obtenemos las igualdades

{\begin{aligned}{\frac {dz}{dx}}&=(1-\alpha )y^{-\alpha }{\frac {dy}{dx}}={\frac {1-\alpha }{y^{\alpha }}}{\frac {dy}{dx}}\end{aligned}}

o

{\frac {1}{1-\alpha }}{\frac {dz}{dx}}={\frac {1}{y^{\alpha }}}{\frac {dy}{dx}}

Reemplazando en la ecuación diferencial

{\frac {1}{1-\alpha }}{\frac {dz}{dx}}+P(x)z=Q(x)

{\frac {dz}{dx}}+(1-\alpha )P(x)z=(1-\alpha )Q(x)

Ecuación que resulta ser una ecuación diferencial lineal cuya solución está dada por

z=e^{-(1-\alpha )\int P(x)dx}\left(\int e^{(1-\alpha )\int P(x)dx}(1-\alpha )Q(x)dx+C\right)

donde $C\in \mathbb {R}$ es una constante arbitraria, como $z=y^{1-\alpha }$ entonces

y^{1-\alpha }=e^{-(1-\alpha )\int P(x)dx}\left((1-\alpha )\int e^{(1-\alpha )\int P(x)dx}Q(x)dx+C\right)

Finalmente

y={\sqrt[{1-\alpha }]{e^{-(1-\alpha )\int P(x)dx}\left((1-\alpha )\int e^{(1-\alpha )\int P(x)dx}Q(x)dx+C\right)}}

y=e^{-\int P(x)dx}\left[{\sqrt[{1-\alpha }]{(1-\alpha )\int e^{(1-\alpha )\int P(x)dx}Q(x)dx+C}}\right]

Casos particulares

Cuando $\alpha =0$ entonces la ecuación

{\frac {dy}{dx}}+P(x)y=Q(x)y^{\alpha }

se reduce a la ecuación

{\frac {dy}{dx}}+P(x)y=Q(x)

cuya solución está dada por

y=e^{-\int P(x)dx}\left(\int Q(x)e^{\int P(x)dx}dx+C\right)

Cuando $\alpha =1$ entonces la ecuación

{\frac {dy}{dx}}+P(x)y=Q(x)y^{\alpha }

se reduce a

{\frac {dy}{dx}}+P(x)y=Q(x)y

que puede resolverse mediante variables separables, dicha solución está dada por

\ln y=\int (Q(x)-P(x))dx+C

Ejemplo

Para resolver la ecuación:

(*) $\qquad xy'+y=x^{4}y^{3}$

Se hace el cambio de variable $z=y^{-2}\;$ , que introducido en (*) da simplemente:

(**) $y^{2}={\frac {1}{z}}\Rightarrow 2yy'=-{\frac {1}{z^{2}}}z'$

Multiplicando la ecuación anterior por el factor: ${\frac {2y}{x}};$ se llega a:

$\qquad 2yy'+{\frac {2}{x}}y^{2}=2x^{3}y^{4}$

Si se sustituye (**) en la última expresión y operando:

$-{\frac {z'}{z^{2}}}+{\frac {2}{x}}{\frac {1}{z}}={\frac {2x^{3}}{z^{2}}}\quad \Rightarrow \quad z'-{\frac {2z}{x}}=-2x^{3}$

Que es una ecuación diferencial lineal que puede resolverse fácilmente. Primeramente se calcula el factor integrante típico de la ecuación de Bernouilli:

$e^{\int P(x)dx}=e^{\int -{\frac {2}{x}}dx}=e^{-2\ln(x)}={\frac {1}{x^{2}}}$

Y se resuelve ahora la ecuación:

$\left({\frac {z}{x^{2}}}\right)'=-2x^{3}{\frac {1}{x^{2}}}=-2x\qquad {\frac {z}{x^{2}}}=\int {-2xdx}=-2\int {xdx}=-2{\frac {x^{2}}{2}}+C_{1}=-x^{2}+C_{1}$