Everand Logo

¡Te damos la bienvenida a Everand!

  • Descubre millones de libros electrónicos, audiolibros y mucho más con una prueba gratuita

    Desde $11.99 al mes después de la prueba. Puedes cancelar en cualquier momento.

    Teorema de proyección de Hilbert: Desbloqueo de dimensiones en visión por computadora
    Teorema de proyección de Hilbert: Desbloqueo de dimensiones en visión por computadora
    Teorema de proyección de Hilbert: Desbloqueo de dimensiones en visión por computadora
    Libro electrónico211 páginas1 hora

    Teorema de proyección de Hilbert: Desbloqueo de dimensiones en visión por computadora

    Por Fouad Sabry

    ()

    Leer vista previa

    Información de este libro electrónico

    ¿Qué es el teorema de proyección de Hilbert?


    En matemáticas, el teorema de proyección de Hilbert es un famoso resultado del análisis convexo que dice que para cada vector en un espacio de Hilbert y cada convexo cerrado no vacío existe un vector único para el cual se minimiza sobre los vectores; es decir, tal que por cada


    ¿Cómo te beneficiarás?


    (I) Insights y validaciones sobre los siguientes temas:


    Capítulo 1: Teorema de proyección de Hilbert


    Capítulo 2: Espacio Banach


    Capítulo 3: Espacio interior del producto


    Capítulo 4: Teorema de representación de Riesz


    Capítulo 5: Operador autoadjunto


    Capítulo 6: Clase de seguimiento


    Capítulo 7: Operador (física)


    Capítulo 8: Espacio de Hilbert


    Capítulo 9: Norma (matemáticas)


    Capítulo 10: Análisis convexo


    (II) Responder a las principales preguntas del público sobre el teorema de proyección de Hilbert.


    (III) Ejemplos del mundo real para el uso del teorema de proyección de Hilbert en muchos campos.


    para quien es este libro


    Profesionales, estudiantes de pregrado y posgrado, entusiastas, aficionados y aquellos que quieran ir más allá del conocimiento o la información básica para cualquier tipo de Teorema de Proyección de Hilbert.

    IdiomaEspañol
    EditorialMil Millones De Conocimientos [Spanish]
    Fecha de lanzamiento5 may 2024
    Teorema de proyección de Hilbert: Desbloqueo de dimensiones en visión por computadora

    Lee más de Fouad Sabry

    Autores relacionados

    Relacionado con Teorema de proyección de Hilbert

    Títulos en esta serie (100)

    Ver más
    Ver más

    Libros electrónicos relacionados

    Inteligencia (IA) y semántica para usted

    Ver más
    Ver más

    Episodios de podcast relacionados

    Artículos relacionados

    • SIN LÍMITES

      Termoacústica

      17 sept 2021

      Termoacústica
      3 min de lectura

    • SIN LÍMITES

      Mayor Precisión Para Predecir Huracanes

      30 ago 2024

      Mayor Precisión Para Predecir Huracanes
      2 min de lectura

    • SIN LÍMITES

      Siete Retos Matemáticos... ¡ Superados!

      22 may 2020

      Siete Retos Matemáticos... ¡ Superados!
      9 min de lectura

    • SIN LÍMITES

      7 Retos Matemáticos... ¡superados!

      20 jul 2020

      7 Retos Matemáticos... ¡superados!
      9 min de lectura

    • SIN LÍMITES

      El Clima Y Las Misiones Espaciales

      30 oct 2020

      El Clima Y Las Misiones Espaciales
      5 min de lectura

    • SIN LÍMITES

      Computación cuantica

      2 sept 2022

      Computación cuantica
      1 min de lectura

    • SIN LÍMITES

      Errores O Engaños

      15 ago 2019

      Errores O Engaños
      2 min de lectura

    • SIN LÍMITES

      La Computación Cuántica Comercial Llega A Europa

      22 jun 2021

      UN IBM QUANTUM SYSTEM ONE, el primer computador cuántico de uso comercial –en la imagen–, ha sido instalado en un centro cercano a la ciudad de Stuttgart, donde lo gestionará la organización alemana de investigación Fraunhofer-Gesellschaft. Tanto emp

      1 min de lectura

    • SIN LÍMITES

      Caballo De Troya De Las Eléctricas A Amazon

      1 jun 2022

      A efectos digitales, el espacio único de datos que impulsa la Unión Europea, la gran federación de nubes llamada Gaia-X, podría presentarse como la Via Augusta de los bits del siglo XXI. Se trata de que un vehículo conectado pueda circular desde Lisb

      2 min de lectura

    • SIN LÍMITES

      Análisis Climático

      21 ago 2020

      Análisis Climático
      3 min de lectura

    • SIN LÍMITES

      Rigoberto Moreno Vázquez

      28 jun 2024

      Rigoberto Moreno Vázquez
      5 min de lectura

    • SIN LÍMITES

      Lo Último En Noticias Pro

      1 sept 2023

      Lo Último En Noticias Pro
      1 min de lectura

    • SIN LÍMITES

      Fractales los Colores Del Infinito

      5 dic 2021

      Fractales los Colores Del Infinito
      9 min de lectura

    • SIN LÍMITES

      Una Breve Historia De Las Redes Neuronales

      22 nov 2022

      Una Breve Historia De Las Redes Neuronales
      7 min de lectura

    • SIN LÍMITES

      Las 5 Mejores Fórmulas En Excel

      4 ago 2023

      Las 5 Mejores Fórmulas En Excel
      3 min de lectura

    • SIN LÍMITES

      Las 5 Mejores Fórmulas en Excel

      10 may 2024

      Las 5 Mejores Fórmulas en Excel
      3 min de lectura

    • SIN LÍMITES

      Bienvenidos A La Estación Hyperloop

      21 may 2021

      Bienvenidos A La Estación Hyperloop
      1 min de lectura

    • SIN LÍMITES

      Adiós A Los Cables Enredados

      20 abr 2020

      Adiós A Los Cables Enredados
      4 min de lectura

    • SIN LÍMITES

      Micro Computadoras Más Pequeño Todavía

      22 mar 2022

      Micro Computadoras Más Pequeño Todavía
      6 min de lectura

    • SIN LÍMITES

      Listos Para Cortar El Último Cable

      25 feb 2020

      Listos Para Cortar El Último Cable
      4 min de lectura

    • SIN LÍMITES

      Lo Último En Noticias Pro

      2 feb 2024

      Lo Último En Noticias Pro
      1 min de lectura

    Comentarios para Teorema de proyección de Hilbert

    0 calificaciones

    0 clasificaciones0 comentarios

    ¿Qué te pareció?

    Toca para calificar

    Los comentarios deben tener al menos 10 palabras

      Vista previa del libro

      Teorema de proyección de Hilbert - Fouad Sabry

      Capítulo 1: Teorema de proyección de Hilbert

      En matemáticas, el teorema de la proyección de Hilbert es un famoso resultado del análisis convexo que dice que para cada vector x en un espacio de Hilbert H y cada convexo cerrado no vacío {\displaystyle C\subseteq H,} existe un vector único {\displaystyle m\in C} para {\displaystyle \|c-x\|} el cual se minimiza sobre los vectores c\in C ; es decir, tal que {\displaystyle \|m-x\|\leq \|c-x\|} para cada {\displaystyle c\in C.}

      Al considerar la condición de primer orden del problema de optimización, se puede obtener una idea del teorema.

      Consideremos un espacio de Hilbert real de dimensión finita H con un subespacio C y un punto x. Si {\displaystyle m\in C} es un minimizador o punto mínimo de la función {\displaystyle N:C\to \mathbb {R} } definida por {\displaystyle N(c):=\|c-x\|} (que es lo mismo que el punto mínimo de {\displaystyle c\mapsto \|c-x\|^{2}} ), entonces la derivada debe ser cero en m.

      Notación para derivadas matriciales

      {\displaystyle {\begin{aligned}\partial \lVert x-c\rVert ^{2}&=\partial \langle c-x,c-x\rangle \\&=2\langle c-x,\partial c\rangle \end{aligned}}}

      Dado  que {\displaystyle \partial c} es un vector en C el que representa una dirección tangente arbitraria, se deduce que {\displaystyle m-x} debe ser ortogonal a cada vector en {\displaystyle C.}

      Teorema de proyección de Hilbert — Para cada vector x en un espacio de Hilbert H y cada convexo cerrado no vacío {\displaystyle C\subseteq H,} existe un vector único {\displaystyle m\in C} para el cual {\displaystyle \lVert x-m\rVert } es igual a {\displaystyle \delta :=\inf _{c\in C}\|x-c\|.}

      Si el subconjunto cerrado C es también un subespacio vectorial de H , entonces este minimizador m es el único elemento en C tal que {\displaystyle m-x} es ortogonal a {\displaystyle C.}

      Prueba de que existe un punto mínimo y

      Sea {\displaystyle \delta :=\inf _{c\in C}\|x-c\|} la distancia entre x y {\displaystyle C,} {\displaystyle \left(c_{n}\right)_{n=1}^{\infty }} una sucesión tal C que la distancia al cuadrado entre x y c_{n} es menor o igual que {\displaystyle \delta ^{2}+1/n.} Sea n y m sean dos números enteros, entonces la igualdad subsiguiente se cumple:

      {\displaystyle \left\|c_{n}-c_{m}\right\|^{2}=\left\|c_{n}-x\right\|^{2}+\left\|c_{m}-x\right\|^{2}-2\left\langle c_{n}-x\,,\,c_{m}-x\right\rangle }

      y

      {\displaystyle 4\left\|{\frac {c_{n}+c_{m}}{2}}-x\right\|^{2}=\left\|c_{n}-x\right\|^{2}+\left\|c_{m}-x\right\|^{2}+2\left\langle c_{n}-x\,,\,c_{m}-x\right\rangle }

      Por lo tanto

      {\displaystyle \left\|c_{n}-c_{m}\right\|^{2}=2\left\|c_{n}-x\right\|^{2}+2\left\|c_{m}-x\right\|^{2}-4\left\|{\frac {c_{n}+c_{m}}{2}}-x\right\|^{2}}

      (Esta ecuación es la misma que la fórmula {\displaystyle a^{2}=2b^{2}+2c^{2}-4M_{a}^{2}} para la longitud M_a de una mediana en un triángulo con lados de longitud a, b, y c, donde, específicamente, los vértices del triángulo son {\displaystyle x,c_{m},c_{n}} ).

      Al dar un límite superior a los dos primeros términos de la igualdad y al notar que el centro de c_{n} y c_{m} pertenece a C y tiene, por lo tanto, una distancia mayor o igual que de \delta x, él, se deduce que:

      {\displaystyle \|c_{n}-c_{m}\|^{2}\;\leq \;2\left(\delta ^{2}+{\frac {1}{n}}\right)+2\left(\delta ^{2}+{\frac {1}{m}}\right)-4\delta ^{2}=2\left({\frac {1}{n}}+{\frac {1}{m}}\right)}

      La última desigualdad demuestra que {\displaystyle \left(c_{n}\right)_{n=1}^{\infty }} se trata de una secuencia de Cauchy.

      Dado que C está completa, la secuencia es, por lo tanto, convergente a un punto {\displaystyle m\in C,} cuya distancia desde x es mínima.

      \blacksquare

      Prueba de que m es único

      Sean m_{1} y m_{2} sean dos puntos mínimos.

      Entonces:

      {\displaystyle \|m_{2}-m_{1}\|^{2}=2\|m_{1}-x\|^{2}+2\|m_{2}-x\|^{2}-4\left\|{\frac {m_{1}+m_{2}}{2}}-x\right\|^{2}}

      Dado que {\displaystyle {\frac {m_{1}+m_{2}}{2}}} pertenece a {\displaystyle C,} tenemos {\displaystyle \left\|{\frac {m_{1}+m_{2}}{2}}-x\right\|^{2}\geq \delta ^{2}} y, por lo tanto,

      {\displaystyle \|m_{2}-m_{1}\|^{2}\leq 2\delta ^{2}+2\delta ^{2}-4\delta ^{2}=0.}

      De ahí {\displaystyle m_{1}=m_{2},} lo que demuestra la singularidad.

      \blacksquare

      Prueba de caracterización del punto mínimo cuando C es un subespacio vectorial cerrado

      Supongamos que C es un subespacio vectorial cerrado de H. Se debe mostrar que el minimizador m es el elemento único en C tal que {\displaystyle \langle m-x,c\rangle =0} para cada {\displaystyle c\in C.}

      Prueba de que la condición es suficiente: Sea {\displaystyle z\in C} tal que {\displaystyle \langle z-x,c\rangle =0} para todos Si {\displaystyle c\in C.} c\in C entonces {\displaystyle c-z\in C} y así

      {\displaystyle \|c-x\|^{2}=\|(z-x)+(c-z)\|^{2}=\|z-x\|^{2}+\|c-z\|^{2}+2\langle z-x,c-z\rangle =\|z-x\|^{2}+\|c-z\|^{2}}

      lo que implica que {\displaystyle \|z-x\|^{2}\leq \|c-x\|^{2}.} Debido a c\in C que fue arbitrario, esto prueba que {\displaystyle \|z-x\|=\inf _{c\in C}\|c-x\|} y por lo tanto z es un punto mínimo.

      Prueba de que la condición es necesaria: Sea {\displaystyle m\in C} el punto mínimo.

      Que c\in C y {\displaystyle t\in \mathbb {R} .} Porque {\displaystyle m+tc\in C,} la minimalidad de m garantiza que

      {\displaystyle \|m-x\|\leq \|(m+tc)-x\|.}

      Así

      {\displaystyle \|(m+tc)-x\|^{2}-\|m-x\|^{2}=2t\langle m-x,c\rangle +t^{2}\|c\|^{2}}

      es siempre no negativo y {\displaystyle \langle m-x,c\rangle } debe ser un número real.

      Si {\displaystyle \langle m-x,c\rangle \neq 0} entonces el mapa

      {\displaystyle f(t):=2t\langle m-x,c\rangle +t^{2}\|c\|^{2}}

      tiene un mínimo en {\displaystyle t_{0}:=-{\frac {\langle m-x,c\rangle }{\|c\|^{2}}}} y además, {\displaystyle f\left(t_{0}\right)<0,} lo cual es una contradicción.

      Así {\displaystyle \langle m-x,c\rangle =0.} \blacksquare

      Basta con demostrar el teorema en el caso de x=0 porque el caso general se deduce del siguiente enunciado reemplazando C por {\displaystyle C-x.}

      Teorema de proyección de Hilbert (caso x=0 ): para cada subconjunto convexo cerrado no vacío {\displaystyle C\subseteq H} de un espacio de Hilbert H, existe un vector único {\displaystyle m\in C} tal que {\displaystyle \inf _{c\in C}\|c\|=\|m\|.}

      Además, dejando {\displaystyle d:=\inf _{c\in C}\|c\|,} si {\displaystyle \left(c_{n}\right)_{n=1}^{\infty }} es cualquier secuencia en C tal que {\displaystyle \lim _{n\to \infty }\left\|c_{n}\right\|=d} en \mathbb {R} entonces {\displaystyle \lim _{n\to \infty }c_{n}=m} en H.

      Prueba

      Sea C como se describe en este teorema y sea

      {\displaystyle d:=\inf _{c\in C}\|c\|.}

      Este teorema se deriva de los lemas posteriores.

      Lema 1 — Si {\displaystyle c_{\bullet }:=\left(c_{n}\right)_{n=1}^{\infty }} hay alguna secuencia en C tal que {\displaystyle \lim _{n\to \infty }\left\|c_{n}\right\|=d} en \mathbb {R} entonces existe alguna c\in C tal que {\displaystyle \lim _{n\to \infty }c_{n}=c} en H. Además, {\displaystyle \|c\|=d.}

      Lema 2 — Existe una secuencia {\displaystyle \left(c_{n}\right)_{n=1}^{\infty }} que satisface las hipótesis del lema 1.

      El lema 2 y el lema 1 juntos prueban que existe algo tal c\in C que {\displaystyle \|c\|=d.} el lema 1 se puede usar para probar la unicidad de la siguiente manera.

      Supongamos {\displaystyle b\in C} que es tal que {\displaystyle \|b\|=d} y denota la secuencia

      {\displaystyle b,c,b,c,b,c,\ldots }

      de {\displaystyle \left(c_{n}\right)_{n=1}^{\infty }} modo que la subsecuencia {\displaystyle \left(c_{2n}\right)_{n=1}^{\infty }} de los índices pares es la secuencia constante, {\displaystyle c,c,c,\ldots } mientras que la subsecuencia {\displaystyle \left(c_{2n-1}\right)_{n=1}^{\infty }} de los índices impares es la secuencia constante {\displaystyle b,b,b,\ldots .} Porque {\displaystyle \left\|c_{n}\right\|=d} para cada {\displaystyle n\in \mathbb {N} ,} {\displaystyle \lim _{n\to \infty }\left\|c_{n}\right\|=\lim _{n\to \infty }d=d} en {\displaystyle \mathbb {R} ,} el que muestra que la sucesión {\displaystyle \left(c_{n}\right)_{n=1}^{\infty }} satisface las hipótesis del lema 1.

      El lema 1 garantiza la existencia de algunos x \in C tales que {\displaystyle \lim _{n\to \infty }c_{n}=x} en H. Porque {\displaystyle \left(c_{n}\right)_{n=1}^{\infty }} converge para x, que lo hagan todas sus subsecuencias.

      En particular, la subsecuencia {\displaystyle c,c,c,\ldots } converge a x, lo que implica que x=c (porque los límites en H son únicos y esta subsecuencia constante también converge a c ).

      Del mismo modo, x=b debido a que la subsecuencia {\displaystyle b,b,b,\ldots } converge a ambos x y {\displaystyle b.} Por lo tanto {\displaystyle b=c,} , lo que demuestra el teorema.

      \blacksquare

      Proposición — Si C es un subespacio vectorial cerrado de un espacio de Hilbert H , entonces

      {\displaystyle H=C\oplus C^{\bot }.}

      La expresión como un global mínimo

      El enunciado y la conclusión del teorema de la proyección de Hilbert se pueden escribir en términos de los mínimos globales de las funciones que se enumeran a continuación. Además, su notación se empleará para simplificar oraciones particulares.

      Dado un subconjunto no vacío {\displaystyle C\subseteq H} y algunos {\displaystyle x\in H,} definen una función

      {\displaystyle d_{C,x}:C\to [0,\infty )\quad {\text{ by }}c\mapsto \|x-c\|.}

      Un punto mínimo global de {\displaystyle d_{C,x},} si existe, es cualquier punto m en {\displaystyle \,\operatorname {domain} d_{C,x}=C\,} tal que

      {\displaystyle d_{C,x}(m)\,\leq \,d_{C,x}(c)\quad {\text{ for all }}c\in C,}

      en cuyo caso {\displaystyle d_{C,x}(m)=\|m-x\|} es igual al valor mínimo global de la función {\displaystyle d_{C,x},} , que es:

      {\displaystyle \inf _{c\in C}d_{C,x}(c)=\inf _{c\in C}\|x-c\|.}

      Efectos de traslación y escalado

      Cuando este punto mínimo global m existe y es único, denotarlo {\displaystyle \min(C,x);} explícitamente, las propiedades definitorias de {\displaystyle \min(C,x)} (si existe) son:

      {\displaystyle \min(C,x)\in C\quad {\text{ and }}\quad \left\|x-\min(C,x)\right\|\leq \|x-c\|\quad {\text{ for all }}c\in C.}

      El teorema de la proyección de Hilbert garantiza que este punto mínimo único existe siempre que C sea un subconjunto cerrado y convexo no vacío de un espacio de Hilbert.

      Sin embargo, este punto mínimo también puede ocurrir en subconjuntos no convexos o abiertos; por ejemplo, siempre y cuando no esté C vacío, si x \in C entonces {\displaystyle \min(C,x)=x.}

      Si {\displaystyle C\subseteq H} es un subconjunto no vacío, s es cualquier escalar y {\displaystyle x,x_{0}\in H} son vectores, entonces

      {\displaystyle \,\min \left(sC+x_{0},sx+x_{0}\right)=s\min(C,x)+x_{0}}

      lo que implica:

      {\displaystyle {\begin{alignedat}{6}\min &(sC,sx)&&=s&&\min(C,x)\\\min &(-C,-x)&&=-&&\min(C,x)\\\end{alignedat}}}{\displaystyle {\begin{alignedat}{6}\min \left(C+x_{0},x+x_{0}\right)&=\min(C,x)+x_{0}\\\min \left(C-x_{0},x-x_{0}\right)&=\min(C,x)-x_{0}\\\end{alignedat}}}{\displaystyle {\begin{alignedat}{6}\min &(C,-x){}&&=\min(C+x,0)-x\\\min &(C,0)\;+\;x\;\;\;\;&&=\min(C+x,x)\\\min &(C-x,0){}&&=\min(C,x)-x\\\end{alignedat}}}

      Ejemplos

      El siguiente contraejemplo demuestra un isomorfismo lineal continuo {\displaystyle A:H\to H} para el cual

      {\displaystyle \,\min(A(C),A(x))\neq A(\min(C,x)).}

      Dotar {\displaystyle H:=\mathbb {R} ^{2}} con el producto escalar, sea {\displaystyle x_{0}:=(0,1),} y para cada real {\displaystyle s\in \mathbb {R} ,} sea {\displaystyle L_{s}:=\{(x,sx):x\in \mathbb {R} \}} la línea de pendiente s a través del origen, donde se verifica fácilmente que

      {\displaystyle \min \left(L_{s},x_{0}\right)={\frac {s}{1+s^{2}}}(1,s).}

      Pick un número real r\neq 0 y define {\displaystyle A:\mathbb {R} ^{2}\to \mathbb {R} ^{2}} por {\displaystyle A(x,y):=(rx,y)} (por lo que este mapa escala la {\displaystyle x-} coordenada por r mientras deja la {\displaystyle y-} coordenada sin cambios).

      Entonces {\displaystyle A:\mathbb {R} ^{2}\to \mathbb {R} ^{2}} es un operador lineal continuo invertible que satisface {\displaystyle A\left(L_{s}\right)=L_{s/r}} {\displaystyle A\left(x_{0}\right)=x_{0},} y por lo que

      {\displaystyle \,\min \left(A\left(L_{s}\right),A\left(x_{0}\right)\right)={\frac {s}{r^{2}+s^{2}}}(1,s)}

      y

      {\displaystyle A\left(\min \left(L_{s},x_{0}\right)\right)={\frac {s}{1+s^{2}}}\left(r,s\right).}

      En consecuencia, si {\displaystyle C:=L_{s}} con s\neq 0 y si {\displaystyle (r,s)\neq (\pm 1,1)} entonces

      {\displaystyle \,\min(A(C),A\left(x_{0}\right))\neq A\left(\min \left(C,x_{0}\right)\right).}

      {Fin del capítulo 1}

      Capítulo 2: Véase también Convexidad en economía – Tema significativo en economía No convexidad (economía) – Violaciones de los supuestos de convexidad de la economía elemental Lista de temas de convexidad Werner Fenchel – Matemático alemán Notas ^ a b Rockafellar, R. Tyrrell (1997) [1970]. Análisis convexo. Princeton, NJ: Princeton University Press. ISBN 978-0-691-01586-6. ^ a b c Rockafellar & Wets 2009, págs. 1-28. ^ a b Zălinescu 2002, págs. 75-79. ^ Borwein, Jonathan; Lewis, Adrian (2006). Análisis Convexo y Optimización No Lineal: Teoría y Ejemplos (2 ed.). Salmer. págs. 76-77. ISBN 978-0-387-29570-1. ^ a b Boţ, Radu Ioan; Wanka, Gert; Graduado, Sorin-Mihai (2009). Dualidad en la optimización vectorial. Salmer. ISBN 978-3-642-02885-4. ^ Zălinescu 2002 , págs. 106-113. ^ Csetnek, Ernö Robert (2010). Superación del fracaso de las condiciones clásicas de regularidad generalizada de punto interior en la optimización convexa. Aplicaciones de la teoría de la dualidad a ampliaciones de operadores monótonos máximos. Logos Verlag Berlin GmbH. ISBN 978-3-8325-2503-3. ^ Borwein, Jonathan; Lewis, Adrian (2006). Análisis Convexo y Optimización No Lineal: Teoría y Ejemplos (2 ed.). Salmer. ISBN 978-0-387-29570-1. ^ Boyd, Esteban; Vandenberghe, Lieven (2004). Optimización convexa (PDF). Cambridge University Press. ISBN 978-0-521-83378-3. Consultado el 3 de octubre de 2011. ^ La conclusión es inmediata si {\displaystyle X=\{0\}} por lo que se supone lo contrario. Arreglar {\displaystyle x\in X.} Al reemplazar f con la norma, se obtiene {\displaystyle \partial f(x)=\left\{x^{*}\in X^{*}~:~\left\langle x^{*},x\right\rangle -\|x\|\geq \left\langle x^{*},z\right\rangle -\|z\|{ \text{ para todos }}z\in X\right\}.} Si {\displaystyle x^{*}\in \partial f(x)} y r \geq 0 es real, entonces usando {\displaystyle z:=rx} da {\displaystyle \left\langle x^{*},x\right\rangle -\|x\|\geq \left\langle x^{*},rx\right\rangle -\|rx\|=r\left[\left\langle x^{*},x\right\rangle -\|x\|\right],} donde en particular, tomando {\displaystyle r:=2} da {\displaystyle x^{*}(x)\geq \|x\|} mientras se toma {\displaystyle r:={\frac {1}{2}}} da {\displaystyle x^{*}(x)\leq \|x\|} y, por lo tanto, {\displaystyle x^{*}(x)=\|x\|} ; Además, si además x\neq 0 entonces porque {\displaystyle x^{*}\left({\frac {x}{\|x\|}} \right)=1,} De la definición de la norma dual se deduce que {\displaystyle \left\|x^{*}\right\|\geq 1.} Debido a que {\displaystyle \partial f(x)\subseteq \left\{x^{*}\in X^{*}~:~x^{*}(x)=\|x\|\right\},} que es equivalente a {\displaystyle \partial f(x)=\partial f(x)\cap \left\{x^{*}\in X^{*}~:~x^{*}(x)=\|x\|\right\},} se deduce que {\displaystyle \partial f(x)=\left\{x^{*}\in X^{*}~:~x^{*}(x)=\|x\|{ \text{ y }}\|z\|\geq \left\langle x^{*},z\right\rangle {\text{ for all }}z\in X\right\},} que implica {\displaystyle \left\|x^{*}\right\|\leq 1} para todos {\displaystyle x^{*}\in \partial f(x).} A partir de estos hechos, se puede llegar ahora a la conclusión. ∎ Referencias Bauschke, Heinz H.; ↑ Combettes, Patrick L. (28 de febrero de 2017). Análisis Convexo y Teoría de Operadores Monótonos en Espacios de Hilbert. CMS Libros en Matemáticas. Springer Science & Business Media. ISBN 978-3-319-48311-5. OCLC 1037059594. Boyd, Esteban; ↑ Vandenberghe, Lieven (8 de marzo de 2004). Optimización convexa. Serie Cambridge en Matemáticas Estadísticas y Probabilísticas. Cambridge, Reino Unido Nueva York: Cambridge University Press. ISBN 978-0-521-83378-3. OCLC 53331084. Hiriart-Urruty, J.-B.; Lemaréchal, C. (2001). Fundamentos del análisis convexo. Berlín: Springer-Verlag. ISBN 978-3-540-42205-1. Kusraev, A.G.; Kutateladze, Semen Samsonovich (1995). Subdiferenciales: Teoría y Aplicaciones. Dordrecht: Kluwer Academic Publishers. ISBN 978-94-011-0265-0. Rockafellar, R. Tyrrell; Mojados, Roger J.-B. (26 de junio de 2009). Análisis variacional. Grundlehren

      ¿Disfrutas la vista previa?
      Página 1 de 1