Los escritos matemáticos de George Berkeley y la polémica sobre El analista

PARTE I. LOS ESCRITOS MATEMÁTICOS DE GEORGE BERKELEY

I

DE INFINITOS

Conferencia leída ante la Sociedad (filosófica) de Dublín el 19 de noviembre de 1707

[235] Aun cuando algunos matemáticos de esta última época han hecho avances prodigiosos y han abierto diversos métodos admirables de investigación, desconocidos para los antiguos, algo hay en sus principios que ocasiona muchas controversias y disputas, para gran escándalo de la tan celebrada evidencia de la geometría. A estas disputas y escrúpulos, que surgen del uso que se hace de cantidades infinitamente pequeñas en los métodos antes mencionados, tengo la audacia de pensar que fácilmente se les podría poner fin tan sólo mediante la consideración de un pasaje en el incomparable tratado del señor Locke sobre el Entendimiento humano l.2, cap. 17, sec. 7, donde ese autor, manejando el tema de la infinitud con el juicio y la claridad que le son tan característicos, tiene estas palabras notables:

supongo que causamos gran confusión en nuestros pensamientos cuando unimos la infinitud a cualquier supuesta idea de cantidad que se piense que tiene la mente y discurrimos o razonamos, de esta manera, sobre una cantidad infinita, a saber, un espacio infinito o una duración infinita pues como, según creo, nuestra idea de infinitud es una idea en crecimiento sin fin, en tanto que la idea de cualquier cantidad que la mente tiene está en ese momento terminada en esa idea, unirle la infinitud es adaptar una medida fija a una magnitud creciente y, por tanto, creo que no es una sutileza sin sentido si digo que hay que distinguir cuidadosamente entre la idea de la infinitud del espacio y la idea del espacio infinito.

Ahora bien, si lo que dice el señor Locke se aplicase, mutatis mutandis, a cantidades infinitamente pequeñas, sin duda que nos sacaría de esas oscuridad y confusión que de otra manera entorpecen muy grandes mejoras en el análisis moderno, pues quien, con el señor Locke, le dé el peso debido a la distinción que hay entre la infinitud del espacio y el espacio infinitamente grande o pequeño, y considere que tenemos una idea del primero pero ninguna en absoluto del último, difícilmente rebasará sus nociones para hablar de partes infinitamente pequeñas o partes infinitesimæ de cantidades finitas y, mucho menos, de infinitesimæ infinitesimarum, y así sucesivamente. Esto, sin embargo, es muy común en los escritores de fluxiones o del cálculo diferencial, etc.¹ Ellos representan, en papel, infinitesimales de varios órdenes como si tuviesen en sus mentes ideas que correspondiesen a esas palabras o signos o como si no incluyese una contradicción que hubiese una línea infinitamente pequeña y aún otra infinitamente menor que ésa. A mí me [236] es claro que no debemos usar ningún signo sin una idea que le corresponda, y es muy claro que no tenemos ninguna idea de una línea infinitamente pequeña, y no sólo eso, sino que evidentemente es imposible que pueda haber alguna cosa así, pues toda línea, por pequeña que sea, es aún divisible en partes menores que ella misma. Por tanto, no puede haber ninguna cosa tal como una línea quavis data minor o infinitamente pequeña.²

Además, claramente se sigue que un infinitesimal, incluso del primer grado, es meramente nada, por lo que escribe el Dr. Wallis, un matemático reconocido, en la proposición 95 de su Arithmetic of Infinites,³ donde hace que el espacio asintótico incluido entre las dos asíntotas y la curva de una hipérbola sea, conforme a su estilo, una series reciproca primanorum, de tal manera que el primer término de la serie, a saber, la asíntota, surge de la división de 1 entre 0. Puesto que, por tanto, la unidad, esto es, cualquier línea finita dividida entre 0 da la asíntota de una hipérbola, esto es, una línea infinitamente larga, se sigue necesariamente que una línea finita dividida entre una infinita da 0 como cociente, esto es, que la pars infinitesima de una línea finita es tan sólo nada, pues, por la naturaleza de la división, el dividendo dividido entre el cociente da el divisor. Ahora bien, difícilmente se supondrá que un hombre que hable de líneas infinitamente pequeñas quiera decir algo con esto y, si entiende las cantidades finitas reales, caerá en dificultades inextricables.⁴

Detengámonos un poco en la controversia entre el señor Nieuentiit y el señor Leibniz.⁵ El señor Nieuentiit acepta que los infinitesimales del primer orden son cantidades reales, pero elimina las differentiæ differentiarum o infinitesimales de los siguientes órdenes, como otras tantas nadas. Esto es lo mismo que decir que es igual a nada el cuadrado, cubo u otra potencia de una cantidad real positiva, lo que es manifiestamente absurdo.

Asimismo, el señor Nieuentiit presenta esto como un axioma evidente de suyo, a saber, que entre dos cantidades iguales no puede haber ninguna diferencia, o, lo que es lo mismo, que su diferencia es igual a nada. Esta verdad, por clara que sea, el señor Leibniz se apega a negarla, aseverando que son iguales no sólo esas cantidades que no tienen diferencia alguna, sino que también lo son aquellas cuya diferencia [237] es incomparablemente pequeña.⁶ Quemadmodum (nos dice) si lineæ punctum alterius lineæ addas quantitatem non auges.⁷ Pero si las líneas son infinitamente divisibles, pregunto, ¿cómo puede haber cosa tal como un punto? O, concediendo que haya puntos, ¿cómo puede pensarse que es la misma cosa añadir un punto indivisible que añadir, por ejemplo, la differentia de una ordenada, en una parábola, que tan lejos está de ser un punto que ella misma es divisible en un número infinito de cantidades reales, de las que cada una puede subdividirse in infinitum y así sucesivamente, conforme al señor Leibniz? Éstas son dificultades en las que han caído esos grandes hombres por aplicar la idea de infinitud a partículas de extensión excesivamente pequeña, pero reales y aún divisibles.⁸

Algo más de esta disputa puede verse en las Acta Eruditorum del mes de julio, A.D. 1695, en las que, si podemos creerle al autor francés del Analyse des infiniment petits,⁹ el señor Leibniz ha establecido y justificado suficientemente sus principios. Aun cuando es claro que no le preocupa que se les ponga en duda y parece temer que nimia scrupulositate arti inveniendi obex ponatur,¹⁰ como si un hombre pudiese ser demasiado escrupuloso en matemáticas o como si los principios de la geometría no debiesen ser tan indiscutibles como las consecuencias que se extraen de ellos.

Hay un argumento del Dr. Cheyne en el capítulo 4 de sus Philosophical Principles of Natural Religion¹¹ que parece apoyar las cantidades infinitamente pequeñas. Sus palabras son las siguientes: Toda la geometría abstracta depende de la posibilidad de cantidades infinitamente grandes y pequeñas, y las verdades descubiertas por métodos que dependen de estas suposiciones se confirman por otros métodos que tienen otros fundamentos. A lo que respondo que la suposición de cantidades infinitamente pequeñas no le es esencial a los grandes avances del análisis moderno, pues el señor Leibniz reconoce que su Calculus differentialis podría demostrarse por reductione ad absurdum a la manera de los antiguos y sir Isaac Newton, en un último tratado, nos informa que su método de las fluxiones puede obtenerse a priori sin suponer cantidades infinitamente pequeñas.¹²

No puedo dejar de señalar un pasaje del tratado del señor Raphson,¹³ [238] De Spatio Reali seu Ente Infinito, cap. 3, p. 50, en el cual él tomaría una partícula infinitamente pequeña como si fuese quasi extensa. Pero no puedo comprender lo que el señor Raphson podría imaginarse que quiere decir con pars continui quasi extensa. También deseo que se me permita observar que algunos notables escritores modernos no tienen escrúpulos para hablar de una esfera de radio infinito o de un triángulo equilátero de un lado infinito, que son nociones que, si se las examina con cuidado, se hallará, quizá, que no están del todo libres de inconsistencias.¹⁴

Ahora bien, yo soy de la opinión de que cesarían todas las disputas acerca de los infinitos y ya no confundiría a los matemáticos la consideración de las cantidades infinitamente pequeñas, si ellos tan sólo uniesen la metafísica a su matemática y condescendiesen a aprender del señor Locke la distinción que hay entre infinitud e infinito.

NOTAS A DE INFINITOS

1. Newton hablaba de fluxiones y los autores continentales hablaban de diferencias, en sus correspondientes versiones del cálculo, por lo que aquí Berkeley alude a ambos, al hablar de escritores de fluxiones o del cálculo diferencial.

2. Aquí, Berkeley hace dos propuestas: la primera es la de aceptar la tesis lockeana de que no puede haber expresiones significativas (palabras) si no hay ideas a las que aquéllas aludan, tesis que modifica radicalmente en la introducción a los Principios del conocimiento humano (1710), donde propone una tesis de significado emotivo en el uso del lenguaje: hay ocasiones en que la gente usa el lenguaje para despertar emociones, ordenar, hacer que la gente tenga imágenes determinadas o cosas similares, etc., y no para comunicar ideas; con esta nueva propuesta, Berkeley podrá dar una interpretación instrumentalista, ya no ideísta a la manera lockeana, del significado de diversas expresiones matemáticas, así como de otras de filosofía natural (para ver un ejemplo de esto, cfr. De motu, §§ 17–18, donde Berkeley, a expresiones como fuerza, gravedad, atracción, les niega un carácter descriptivo, pero que no por esto carecen de significado). Por otra parte, Berkeley, en el pasaje que aquí comento, también alude a una tesis aceptada por muchos matemáticos de la época: una magnitud puede dividirse indefinidamente sin llegar nunca a alcanzar un tamaño más allá del cual no se pueda seguir dividiendo, esto es, atribuye la tesis de la divisibilidad ad infinitum a las magnitudes, por pequeñas que éstas sean. Véase infra, n. 8, y II, n. 33.

3. John Wallis (1616–1703) fue uno de los notables matemáticos de la época que más hicieron por separar el análisis de la intuición geométrica, que aún era la norma que había que seguir. Sus tratados, en los que precisamente se pretendía evitar el apoyo geométrico y desarrollar el aspecto analítico o algebraico, dieron pie para que Hobbes lo atacara con gran vehemencia.

El libro de Wallis al que aquí alude Berkeley es su Arithmetica Infinitorum de 1655. Quien desee ver el detalle técnico de la propuesta de Wallis puede consultar con provecho las notas (esp. la n. 6) de la excelente traducción al francés de Of Infinites de Berlioz-Letellier, en C1.

4. Cfr. infra, n. 6, sobre infinitesimales.

5. Berkeley se refiere a Bernard Nieuwentijdt (también Nieuwentijt) (1654– 1718), médico burgomaestre de la ciudad de Parmerend, cerca de Ámsterdam. Por los años de 1694–1696 hace una serie de publicaciones en las que pone en entredicho los métodos usados por Newton y por Leibniz; métodos que, aun cuando en general conducían a resultados correctos, podían llevar a los mayores absurdos. Como lo señala Berkeley en este escrito, Nieuwentijdt se niega a aceptar los infinitesimales de órdenes superiores y tampoco puede entender la diferencia que pueda haber entre un infinitesimal y cero (cfr. F28, p. 385.)

6. Aquí me parece que el siguiente símil ayuda a comprender la situación a la que pretende aludir Leibniz: pensemos en una balanza que tiene una precisión de al menos 5 g; si se le pone un objeto que pese, digamos, 54 g, esta balanza marcará sólo 50 g, y si se le pone algo que pese 6 g, la balanza marcará sólo 5 g; pero si se le ponen los dos objetos a la vez, uno de 54 g y el otro de 6 g, la balanza marcará 60 g, por lo que, conforme a la aritmética discreta de la balanza, 54g + 6g = 55g; en cambio, si pesamos los objetos conjuntamente: (54g + 6) = 60g. Así, si tenemos un número real r y un infinitesimal, α, entonces tendremos, dentro de los reales, que r + α = r, pues α es algo que no tiene cabida en el dominio de los reales, ya que es infinitamente menor que cualquier número real, r, por pequeño que éste sea. Así pues, para que una suma de infinitesimales tenga alguna posibilidad de figurar como un número real, se requiere que esta suma contenga un número infinito de tales infinitesimales. Ciertamente, estos números infinitamente pequeños caen fuera del ámbito de los números reales que manejaban los matemáticos de la época y no será sino hasta la década de los años sesenta del siglo XX cuando se tendrá un sistema, ideado por Abraham Robinson, el de los números hiperreales, en el que se pueda establecer una clara relación entre reales e infinitésimos.

7. De la misma manera que si se altera una línea añadiéndole un punto, la cantidad no aumenta.

8. Esta propuesta señala la posición de Berkeley en este escrito: cualquier extensión, por excesivamente pequeña que sea, es finita y, por tanto, conforme a los principios (oscuramente aceptados) de la época, susceptible de recibir nuevas divisiones. Lo que implícitamente se está aceptando en esta argumentación (tanto por parte de los matemáticos a los que alude Berkeley, como de él mismo), es la validez del principio de (Eudoxo-)Arquímedes, que señala que cualquier magnitud, por pequeña que ésta sea, alcanzará cualquier otra magnitud, por grande que sea esta última, si la primera se multiplica un número finito suficiente de veces para lograr eso mismo. Con lo anterior se presupone que ambas magnitudes son finitas; por otra parte, también se asume que la división de cualquier magnitud, un número indefinidamente grande de veces (en caso de que esto sea posible), sólo puede producir otra magnitud menor, pero aún divisible.

9. Berkeley alude aquí a Guillaume François Antoine, marqués de l’Hôpital (1661–1704), un discípulo de Johann Bernoulli, quien publica, en 1695, el primer tratado de cálculo diferencial, siguiendo los pasos de Leibniz y de su maestro: Analyse des infiniment petits pour l’intelligence des lignes courbes.

10. En años posteriores, Berkeley le opondrá a esta frase de Leibniz, que escrúpulos deleznables no entorpezcan el arte de inventar, la propuesta de Newton en su Tractatus de Quadratura Curvarum: errores quam minimi in rebus mathematicis non sunt contemnendi: en asuntos matemáticos no son permisibles los errores, por mínimos que éstos sean, que es el sentido que tienen las expresiones de Berkeley en contra de la propuesta leibniziana.

11. George Cheyne (1671–1743) fue un médico londinense, autor de Fluxionum Methodus Inversa (1703) y de Philosophical Principles of Natural Religion, compuesto de dos partes: la parte I fue publicada en 1705, la II apareció en 1716. Obviamente, aquí Berkeley se refiere a la I. Según lo señala Cajori (en E6, p. 289): "Como El analista de Berkeley, que fue escrito después, el libro de Cheyne, en sus dos partes, tenía como propósito principal la refutación del ateísmo"; pero, a diferencia de Berkeley, Cheyne aceptaba las cantidades infinitamente pequeñas.

12. El tratado de Newton al que aquí alude Berkeley es el ya citado Tractatus de Quadratura Curvarum, publicado en 1704.

13. Joseph Raphson (1648–1715), según nos dice Luce (en D1, en su comentario a la nota 298 de Berkeley), "virtualmente deificó el espacio, denominándolo actus purus, incorporeum, immutabile, æternum, omnicontinens, omnipenetrans, atributum (viz. immensitas) primæ causæ. Además de mencionarlo un par de veces en D1, Berkeley le señala a su corresponsal, Samuel Johnson, en una carta del 24 de marzo de 1730 (en D4, p. 292/248; para referirme a estos escritos remitiré a las páginas de B5 II y, después de la diagonal, a las de B6), que Raphson es un matemático que pretende encontrar, en el espacio, quince de los atributos incomunicables de Dios".

Algo más sobre un Dios extenso lo puede encontrar el lector interesado en infra, II, n. 72, y el texto correspondiente.

14. En F1, la segunda definición de Dios nos dice: Dios es la esfera infinita, cuyo centro está por doquier y la circunferencia en ninguna parte; el libro data del siglo XIII, aun cuando sus antecedentes se remontan más al pasado y su influencia se extendió en el Medievo hasta dar con Nicolás de Cusa (1401– 1464), quien, en F35 I, 13–14, usa el mismo símil de la circunferencia infinita y añade el del triángulo con lado infinito; lo que el cusano desea mostrar (geométricamente, y aquí no me ocuparé de su demostración metafísica) es que, al límite, un triángulo es igual a una recta y, para ello, tiene que apelar, además de a principios geométricos euclidianos, a supuestos sobre el infinito aceptados en su época (siglo XIV y principios del XV): (a) la longitud de dos lados de un triángulo nunca es menor que la longitud del lado restante; así, si un lado es infinito, los otros dos, conjuntamente, no pueden ser menores; (b) puesto que todas las partes de algo infinito son infinitas, estos dos lados serán infinitos, y (c) puesto que no puede haber sino una cosa infinita:

se entiende, trascendentalmente, que un triángulo infinito no puede estar compuesto de una pluralidad de líneas, aunque sea el mayor y más verdadero triángulo, no compuesto y de simplicidad máxima, y debido a que es el triángulo más cierto —algo que no puede ser sin tres líneas—, será necesario que una línea infinita sea tres líneas y que las tres líneas sean la línea única más simple. Y algo similar con respecto a los ángulos. . .

En el siglo XVII, Newton cayó en una tentación parecida, y en D9, pp. 133– 134, propone un experimento mental, mediante el cual desea dar un ejemplo de algo infinito, en los siguientes términos:

Newton formula su propuesta por medio de un triángulo de lados fijos (a, c) y sugiere que el lado c se extiende indefinidamente hacia la izquierda, manteniendo siempre el mismo ángulo con el lado a; por otra parte, el lado b se inclina hacia la izquierda, abriendo cada vez más el ángulo que tiene con el lado a hasta llegar a ser paralelo al lado c. El punto de contacto de los lados b y c se hará cada vez más alejado del lado a hasta que se encuentre a una distancia (casi) infinita del mismo (cuando las rectas a y b sean casi paralelas). La longitud de la línea que parte de la base a hasta llegar al punto de contacto de las líneas b y c se puede calcular (trigonométricamente) con facilidad; a medida que crece el ángulo interior de las líneas a y b, la distancia se hará enorme (casi infinita) en el momento en el que el ángulo interior de las líneas a y c sea casi igual al ángulo exterior de las líneas a y b (esto es, cuando la suma de los ángulos recíprocos —interior/exterior de a con c y de b con a— sea ≈ 180°) o, lo que es lo mismo, cuando las líneas b y c sean casi paralelas. . . Newton termina su presentación con las siguientes palabras:

Pregunto ahora: ¿cuál fue la distancia del último punto en el que los lados se tocaban? Ciertamente fue mayor que cualquier distancia asignable [esto es, finita] o, más bien, ninguno de los puntos fue el último [pues, dada cualquier distancia finita, por grande que ésta sea, siempre podemos pensar en una mayor] y, así, la línea recta en la cual se encuentran todos esos puntos de contacto es, de hecho, más que finita. . .

Argumentos similares a éste se formulaban durante la época, aun cuando esta propuesta newtoniana no la haya conocido Berkeley, pues el escrito se publicó siglos después de la muerte de Newton. Sin embargo, es muy probable que lo que más le molestaba a Berkeley era la aparente alusión a la infinitud espacial de Dios (que sí era propuesta newtoniana), ya que él sostenía la tesis cartesiana de la no espacialidad de los espíritus.

II

EL ANALISTA

O discurso dirigido a un matemático infiel, en el que se examina si el objeto, los principios y las inferencias del análisis moderno se conciben de manera más distinta o se deducen de manera más evidente que los misterios de la religión y las propuestas de la fe.

Por el autor de El filósofo minucioso

Los contenidos

 1. Se supone que los matemáticos son los grandes maestros [amos] de la razón; de esto se sigue una desmesurada deferencia a sus decisiones donde no tienen ningún derecho a decidir. Ésta es una causa de infidelidad.

 2. Sus principios y métodos han de examinarse con la misma libertad que ellos se toman con respecto a los principios y misterios de la religión. En qué sentido y hasta dónde ha de concederse que la geometría mejora el entendimiento.

 3. Las fluxiones, el gran objeto y preocupación de los geómetras profundos de la época actual. Qué son estas fluxiones.

 4. Los momentos o los incrementos nacientes de cantidades fluyentes son difíciles de concebir. Fluxiones de órdenes diferentes. Las fluxiones de órdenes segundo y tercero son un oscuro misterio.

 5. Los matemáticos extranjeros, en lugar de las fluxiones o velocidades de incrementos nacientes o evanescentes, usan las diferencias, esto es, incrementos o decrementos infinitamente