El Libro de Matemática: Volumen 3

"El Libro de las Matemáticas: Volumen 3

SIMONE MALACRIDA

La mayor parte de las matemáticas se presenta en este libro, desde los conceptos básicos y elementales hasta las áreas más complejas y avanzadas.

Las matemáticas se abordan tanto desde un punto de vista teórico, exponiendo teoremas y definiciones de cada tipo particular, como a nivel práctico, llegando a resolver más de 1.000 ejercicios.

El acercamiento a las matemáticas está dado por el conocimiento progresivo, exponiendo los distintos capítulos en un orden lógico para que el lector pueda construir un camino continuo en el estudio de esa ciencia.

Todo el libro se divide en tres secciones bien diferenciadas: las matemáticas elementales, las matemáticas avanzadas dadas por el análisis y la geometría, y finalmente la parte relativa a la estadística, el álgebra y la lógica.

La escritura se erige como un trabajo que incluye todo lo relacionado con las matemáticas, sin dejar de lado ningún aspecto de las muchas facetas que puede asumir.

Simone Malacrida (1977)

Ingeniero y escritor, ha trabajado en investigación, finanzas, política energética y plantas industriales.

ÍNDICE ANALÍTICO

37 – ECUACIONES INTEGRAL E INTEGRAL-DIFERENCIAL

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38 – TEORÍA ESPECTRAL

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39 – MATEMÁTICAS Y GEOMETRÍA DISCRETA

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40 – GEOMETRÍA FRACTAL

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41 – CÁLCULO NUMÉRICO

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42 – ANÁLISIS NUMÉRICO

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TERCERA PARTE : ESTADÍSTICA , ÁLGEBRA AVANZADA Y LÓGICA AVANZADA

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43 – CÁLCULO C OMBINATORIO

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44 – ESTADÍSTICA ELEMENTAL

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45 – VARIABLES ALEATORIAS Y DISTRIBUCIONES DE PROBABILIDAD

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46 – INFERENCIA ESTADÍSTICA

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47 – PROCESOS ESTOCÁSTICOS I

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48 – ÁLGEBRA AVANZADA

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49 – ESTRUCTURAS ALGEBRAICAS

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50 – TEORÍA DE GALOIS

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51 – G EOMETRÍA COMBINATORIA

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52 – TEORÍA DE LOS NÚMEROS

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53 – LÓGICA MATEMÁTICA AVANZADA

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37

ECUACIONES INTEGRAL E INTEGRAL-DIFERENCIAL

Introducción y definiciones

Una ecuación integral es una ecuación que presenta la incógnita bajo el signo de integral.

En realidad, cada vez que resuelves una ecuación diferencial, la fórmula de solución es una ecuación integral, por lo que ya hemos hablado mucho sobre tales ecuaciones en capítulos anteriores. Una ecuación integral lineal tiene una forma como esta:

Donde K(x,z) es el núcleo de la ecuación (que puede ser real o compleja, simétrica o antisimétrica) y f(x) es el término conocido.

Si f(x) es diferente de cero hablamos de ecuaciones del segundo tipo, si es igual a cero hablamos de ecuaciones del primer tipo.

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Ecuaciones integrales de Fredholm y Volterra

En ecuaciones integrales, la integral se define por lo que tenemos extremos de integración.

Si estos extremos son fijos hablamos de ecuación integral de Fredholm, si en cambio uno de los extremos es variable en x la ecuación se llama de Volterra.

El operador de Fredholm se define como un operador lineal acotado entre espacios de Banach que tienen un núcleo y un núcleo de dimensión finita.

Además, al decir T un operador de Fredholm (de un espacio X a un Y) y S un operador lineal y acotado (del espacio Y a ese X) tenemos que

son operadores compactos en X e Y.

El índice de un operador de Fredholm se define de la siguiente manera:

El conjunto de operadores de Fredholm forma un conjunto abierto en el espacio de Banach de operadores lineales acotados y continuos.

El índice de la composición de dos operadores de Fredholm es igual a la suma de los índices de los operadores individuales, además el operador de Fredholm agregado tiene el índice opuesto con respecto al inicial.

Finalmente, dado un operador de Fredholm y uno compacto, su convolución devuelve nuevamente un operador de Fredholm que tiene el mismo índice que el de partida.

El producto tensorial entre un espacio de Banach y su dual es un espacio completo dotado de la siguiente norma:

El espacio definido por la terminación con esta norma se denota de esta manera (llamado B el espacio genérico de Banach) .

Un núcleo de Fredholm es un elemento de este espacio topológico proyectivo.

A cada núcleo se le puede asociar una traza y un operador lineal de forma canónica:

Además, todo núcleo se llama p-sumable si se cumple la siguiente relación:

La teoría de Fredholm asume que el núcleo de Fredholm es comparable a una función de Green, solución de la ecuación diferencial:

Donde L es un operador diferencial lineal.

Aplicando esta ecuación a los espacios de Sobolev y escribiendo la ecuación anterior como una ecuación de valores propios:

Se puede derivar una expresión del núcleo de Fredholm:

Para la ecuación no homogénea de Fredholm podemos reescribir el término conocido de esta forma:

Y la solución viene dada por:

Usando la teoría espectral, el operador de resolución es el siguiente:

Y la solución viene dada por:

El teorema de Fredholm proporciona una condición suficiente para la existencia de soluciones de las ecuaciones de Fredholm: el núcleo debe ser un cuadrado sumable en un conjunto adecuado.

La alternativa de Fredholm proporciona una condición necesaria y suficiente para la existencia de las soluciones: la solución debe ser ortogonal al conjunto completo de soluciones de la ecuación de suma correspondiente, es decir, de la ecuación de Fredholm obtenida reemplazando el núcleo de Fredholm con su suma y cada escalar con su complejo conjugado.

En estos casos el solvente puede desarrollarse en una serie de potencias a través de la serie de Liouville-Neumann:

Si el núcleo es continuo, cada ecuación integral de Fredholm tiene una solución única para cualquier término conocido y la solución, representada por la serie de Liouville-Neumann, es uniformemente convergente.

El determinante de Fredholm es el siguiente:

Mientras que el determinante del resolvente es la llamada función zeta de Riemann:

Una ecuación de Fredholm no homogénea del primer tipo que tiene extremos de integración ilimitados y núcleo definido así K(x,z)=K(xz) puede verse como la convolución de K(x,z) y y(z), por lo que la solución puede ser escrito en términos de transformada de Fourier o transformada anti-Fourier:

Hay otras ecuaciones integrales e integro-diferenciales con las que se dispersa la física, en particular podemos recordar las ecuaciones de Maxwell para el electromagnetismo, la ecuación de compresibilidad para la mecánica estadística y la termodinámica y la ecuación de Boltzmann para la física estadística.

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Cálculo de variaciones

Un campo fundamental de aplicación de las ecuaciones integrales se refiere al cálculo de variaciones, es decir, la búsqueda de los puntos extremos de las funcionales.

El lema fundamental del cálculo de variaciones establece que dada una función continua en un conjunto abierto y una función continua y continuamente diferenciable en el mismo conjunto abierto, si se cumple la siguiente condición:

Y la función continua y continuamente diferenciable es cero en ambos extremos, entonces la otra función es cero en todo el conjunto.

Gracias a este lema es posible pasar de una versión integral del cálculo de variaciones, como el principio variacional de Hamilton, a la resolución de ecuaciones diferenciales, como las de Euler-Lagrange.

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Ejercicios

Ejercicio 1

Resuelva la siguiente ecuación integral:

Recordando la regla de convolución de la transformada de Laplace:

Aplicamos la transformada de Laplace a ambos lados y explotamos la linealidad:

Conociendo la transformada de la función seno y la regla de convolución:

A partir del cual:

Aislando la transformación:

Que se puede reescribir como:

En este punto, aplicamos la transformada inversa de Laplace y tenemos la solución:

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Ejercicio 2

Resuelva la siguiente ecuación integro-diferencial:

Aplicamos la transformada de Laplace y recordamos su linealidad:

Recordando la transformada de la derivada, de la unidad, del seno y la regla de convolución tenemos:

Aislamos la transformada:

Descomponiendo el denominador:

Factorización de fracciones simples:

Los coeficientes vendrán dados por:

Por lo tanto:

En este punto todo lo que queda es antitransformar según Laplace.

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Ejercicio 3

Encuentre la solución de la ecuación de Fredholm, integral, no homogénea, lineal y del tipo II:

Donde lambda es un parámetro arbitrario, mientras que:

Son funciones dadas y continuas en [a,b]. K(x,y) se llama núcleo de la ecuación y es:

En el espacio C[a,b] considere:

La definición de distancia implica que:

Si sucede:

La función A es una contracción en el espacio C[a,b]. Este espacio está completo. Por el teorema de la contracción, la ecuación presenta, para una lambda suficientemente pequeña, una y sólo una solución dada por:

Ejercicio 4

Resolver, en el sentido de distribuciones, la siguiente ecuación de Abel:

Recordando la función gamma de Euler, la ecuación de Abel se puede escribir como:

Dónde está:

Y el producto dado arriba es la convolución en el sentido de las distribuciones.

Por las propiedades de la convolución distribucional tenemos:

Usando la relación explícita, obtenemos la solución:

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Ejercicio 5

Usando el método solver, encuentre la solución de:

El primer núcleo iterado es nulo, de hecho:

Por tanto el núcleo es ortogonal a sí mismo y la solución se obtiene simplemente sustituyendo g(x) bajo el signo integral:

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Ejercicio 6

Usando el método de contracción, resuelve:

Notamos eso:

Tomando el máximo, tenemos:

El operador B es una contracción. Lugar:

Es encontrado:

Entonces esta función es un punto fijo y es la solución.

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Ejercicio 7

Usando el método de resolución, calcule:

Lugar:

Tenemos:

El método de resolución se puede utilizar si:

En ese caso:

La solución es por lo tanto:

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Ejercicio 8

Encuentre la solución de la ecuación de Volterra utilizando tanto el método de contracción como el método de resolución:

Para el método de contracción, tomamos:

Tenemos:

Para el método de resolución, consideramos el kernel de Fredholm truncado:

Los núcleos iterados vendrán dados por:

Y entonces el solucionador es:

La solución es por lo tanto:

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Ejercicio 9

Calcule los valores propios y las funciones propias de la ecuación integral:

Dónde está:

El núcleo está definido por una función acotada y es cuadrado sumable en [0,1] x [0,1]. También es simétrico. El núcleo se puede escribir como:

Los valores propios y las funciones propias vienen dados por:

Para:

No hay soluciones, mientras que para:

Hay infinitas soluciones dadas por:

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Ejercicio 10

Usando el método alternativo de Fredholm, resuelve:

Dónde está:

El núcleo está definido por una función cuadrática acotada y sumable, además es simétrico. Podemos reescribirlo como:

La ecuación de valores propios viene dada por:

Tiene soluciones solo para:

Estas soluciones son:

Observamos que, para cualquier n, tenemos:

Esto significa que hay una y sólo una solución sea cual sea g(x), de hecho:

Esta solución es:

Ejercicio 11

Usando la técnica de núcleos degenerados, resuelve:

Recuérdese que los núcleos degenerados son de la forma:

Dónde está:

Son vectores linealmente independientes.

La solución se puede escribir como:

En nuestro caso, tenemos:

Integrando obtenemos:

Esto conduce al siguiente sistema:

La solución es por lo tanto:

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Ejercicio 12

Encuentre las soluciones de:

Con:

Donde u satisface la ecuación de Euler-Lagrange.

La ecuación de Euler-Lagrange viene dada por:

La única solución que satisface las condiciones de los extremos es:

Sin embargo, esta solución no es un mínimo, de hecho dada la secuencia:

Tenemos:

Dado que:

Entonces m=0. Sin embargo, la funcional I admite mínimos en la clase de funciones continuas y regulares por partes, es decir, en todas aquellas funciones que admiten un número finito de discontinuidades de primera clase en la derivada.

De ello se deduce que es posible construir infinitas funciones de este tipo que satisfagan la ecuación y sean mínimos.

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Ejercicio 13

Encuentre las soluciones de la siguiente integral funcional que no tiene soluciones en la clase de funciones :

Con función integrando convexa e tal que u satisface la ecuación de Euler-Lagrange con:

Usted tendrá:

Con ced y constantes reales. No hay soluciones de clase . También considerando que:

Tampoco hay soluciones en la clase de funciones regulares por partes.

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Ejercicio 14

Encuentre el extremo de:

Donde u satisface la ecuación de Euler-Lagrange y tenemos:

Teniendo que satisfacer la ecuación de Euler-Lagrange, tenemos:

Y entonces:

Las funciones son una familia de hipérbolas.

Imponiendo las condiciones de contorno, tenemos:

El extremo es entonces:

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Ejercicio 15

Encuentre el extremo de:

Con:

Tenemos:

A partir del cual:

Es una familia de circunferencias con centro en el eje de abscisas.

La solución, si existe, es única.

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Ejercicio 16

Encuentre las soluciones del funcional:

Donde u satisface la ecuación de Euler-Lagrange y tenemos:

Tenemos eso:

Entonces una solución es:

La función debe ser continua en c entonces:

Es más:

Y entonces:

Se obtienen dos soluciones. Uno para:

Y es:

El otro para:

Y es:

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Ejercicio 17

Utilizando la técnica de núcleos degenerados calcular:

Tenemos:

De la definición obtenemos:

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Ejercicio 18

Utilizando la técnica de núcleos degenerados calcular:

Tenemos:

De la definición obtenemos:

Ejercicio 19

Calcule los valores propios y las funciones propias de la ecuación integral:

Con:

El núcleo es acotado, sumable y simétrico.

Se puede escribir como:

El operador inverso es un operador diferencial de primer orden tal que:

Cuya solución general es:

Las funciones propias normalizadas son:

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Ejercicio 20

Usando la alternativa de Fredholm, resuelve:

El núcleo es acotado, sumable y simétrico.

Se puede escribir como:

La ecuación que determina los valores propios es:

Que tiene solución solo para:

Por lo tanto tenemos:

Todos los autovalores son diferentes de 1 y por lo tanto la solución es única para cualquier g(x).

Como g(x)=0 la solución es:

38

TEORIA ESPECTRAL

Definiciones

Sea H un espacio de Hilbert. A continuación supondremos siempre que H es un espacio complejo.

Consideramos el producto escalar y el espacio de operadores lineales continuos en H .

Dado un operador A perteneciente a este espacio, diremos que un número complejo pertenece al conjunto resolutivo de A si existe otro operador B perteneciente al mismo espacio tal que:

Donde I denota el operador de identidad.

Esto es equivalente a exigir que:

Sea una función biyectiva de la misma H, siendo B su función inversa (lineal y continua).

El conjunto de números