Caballeros, bribones y pájaros egocéntricos: Ejercicios de lógica combinatoria

Agradecimientos

Deseo expresar mi agradecimiento a Nancy Spencer por su mecanografiado experto y su asistencia como secretaria, y al Departamento de Filosofía de la Universidad de Indiana por proveerme de condiciones de trabajo ideales. Este agradecimiento alcanza al profesor George Boolos del M. I. T. por haber leído entero este manuscrito y por haber hecho muchas sugerencias útiles. Mi editora, Ann Close, ha estado maravillosa, como de costumbre, y ha sido una ayuda enorme para todo el proyecto.

Raymond Smullyan

Elka Park, Nueva York

Noviembre de 1984

Prefacio

Antes de decir de qué trata este libro, me gustaría relatar un delicioso episodio verídico.

Poco después de la publicación de mi primer libro de adivinanzas —¿Cómo se llama este libro?—¹ recibí una carta de una mujer desconocida que sugería una solución alternativa a uno de mis acertijos, que me pareció más elegante que la que yo había dado. La carta terminaba con «Cariños» y el nombre de ella. Yo no tenía la menor idea de quién podía ser, ni sabía si era casada o soltera.

Le respondí expresándole mi agrado por su solución y preguntándole si podía usarla en una edición posterior. También le sugerí que si aún no se había especializado en sus estudios universitarios, considerara la posibilidad de graduarse en matemática, ya que había mostrado un definido talento. Poco después, me contestó: «Gracias por su amable carta. Tiene mi permiso para usar la solución. Tengo nueve años y medio y estoy en quinto grado».

Le gustaban especialmente las adivinanzas sobre caballeros y bribones (veraces y mentirosos). De hecho, estas adivinanzas demostraron ser extremadamente populares tanto entre los jóvenes como entre los viejos y, por lo tanto, he dedicado los ocho primeros capítulos de este libro a nuevos acertijos de este tipo. Su dificultad varía desde lo extremadamente elemental a la muy sutil metaadivinanza del capítulo «En busca de la Fuente de la Juventud». (Cualquiera que resuelva esa adivinanza merece ser ordenado Caballero). El resto del libro se lanza en una dirección completamente distinta y se sumerge en aguas lógicas mucho más profundas que todos mis libros anteriores. El lector aprenderá de qué se trata la lógica combinatoria. Este tema notable está desempeñando un papel clave en ciencia de la computación y en inteligencia artificial, por lo que este libro es muy oportuno. (No lo planeé así; sólo tuve suerte). Pese a su profundidad, este tema no es más difícil que el álgebra o la geometría de la escuela secundaria. Así como la ciencia de la computación ha encontrado ahora su camino en el currículum del secundario, tengo la esperanza de que la lógica combinatoria siga pronto el mismo camino.

La lógica combinatoria es una ciencia abstracta que trata de objetos llamados combinadores. No es necesario decir qué son esos objetos; lo importante es que actúan entre sí. Se puede llamar «combinadores» a lo que uno quiera (por ejemplo, programas de computadora). Bien, he elegido pájaros como mis combinadores —motivado, sin duda, por la memoria del difunto profesor Haskell Curry, quien era a la vez un gran lógico combinatorio y un ávido observador de pájaros. La razón principal por la que elegí la lógica combinatoria como tema central de este libro no fue la existencia de múltiples aplicaciones prácticas, sino su gran valor como entretenimiento. He aquí un campo considerado altamente técnico, aunque es perfectamente accesible al público en general; está colmado de material del que se pueden extraer excelentes acertijos recreativos, y al mismo tiempo está ligado a los temas fundamentales de la lógica moderna. ¿Qué mejor para un libro de adivinanzas?

1. Madrid, Cátedra, 1978 [N. del T.].

Adivinanzas lógicas

El premio y otras

adivinanzas

Tres pequeñas adivinanzas

1. El jardín de flores

En cierto jardín toda flor es roja, amarilla o azul y los tres colores están representados. Un experto en estadística visitó una vez el jardín e hizo la observación de que cada vez que uno recogía tres flores, por lo menos una de ellas resultaba ser roja. Un segundo experto visitó el jardín y observó que cada vez que uno recogía tres flores, por lo menos una resultaba ser amarilla.

Dos estudiantes de lógica escucharon esto y se pusieron a discutir. El primer estudiante dijo: «De aquí se sigue que cada vez que uno recoge tres flores, una resulta ser azul, ¿no es cierto?». El segundo estudiante dijo: «¡Por supuesto que no!».

¿Cuál de los dos tenía razón, y por qué?

2. ¿Qué pregunta?

Hay una pregunta que tiene una respuesta correcta —sí o no— pero que es lógicamente imposible de responder correctamente por el interrogado. Este puede saber cuál es la respuesta correcta, pero no puede darla. Cualquier otra persona podría hacerlo, pero no el interrogado.

¿Qué pregunta es?

3. ¿Cómo apostar?

Esta es una vieja broma sobre probabilidades: elijamos nuestro equipo de fútbol favorito y pensemos los goles que convertirá en cada partido de la próxima temporada. ¿A qué número conviene apostar como más grande: a la suma de esos goles o a su producto?

Hablando de probabilidad y estadística, hay un cuento sobre un especialista en estadística que le dijo a un amigo que él nunca viajaba en avión: «—He calculado la probabilidad de que haya una bomba en el avión —le explicó—, y aunque esta probabilidad es baja, es demasiado alta para dejarme tranquilo». Dos semanas más tarde, el amigo se encontró con el estadístico en un avión. «¿Cómo es que cambiaste tu teoría?», le preguntó. «No, no cambié mi teoría; es que después calculé la probabilidad de que hubiera dos bombas simultáneamente en un avión. Y esta probabilidad sí que es suficientemente baja para tranquilizarme. De modo que, simplemente, traje mi propia bomba».

¿Cómo ganar el premio deseado?

4. Los tres premios

Supongamos que me ofrecen uno de tres premios: A, B y C. El premio A es el mejor de los tres. El B es intermedio y el C es un premio consuelo. Debo formular un enunciado; si el enunciado es verdadero entonces gano el premio A o el B, pero si es falso gano el C, el premio consuelo.

Por supuesto que es fácil asegurarse el premio A o el B; todo lo que hace falta es decir: «Dos más dos son cuatro». Pero, supongamos que he puesto mi corazón en el premio A: ¿qué enunciado debo formular para asegurármelo?

5. Se agrega un cuarto premio

Se agrega ahora un cuarto premio: el premio D. Éste también es un premio consuelo. Las condiciones son ahora que si formulo un enunciado verdadero obtengo el premio A o el B. Pero si formulo uno falso obtengo uno de los premios consuelo, C o D.

Supongamos que sé de entrada en qué consiste cada premio y por alguna razón prefiero el premio C sobre los demás.

Dicho sea de paso, la situación no es necesariamente ficticia. Recuerdo que cuando era niño fui a una fiesta de cumpleaños en la que gané un premio, pero me sentí muy envidioso del ganador del premio consuelo, porque me gustaba más su premio que el mío. De hecho, el premio consuelo demostró ser el favorito, porque todos nos pasamos la mayor parte del día jugando con él.

Volviendo a la adivinanza, ¿qué afirmación puedo hacer para asegurarme el premio C?

6. Quiero confundirlo

De nuevo, tenemos los cuatro premios del último problema y las mismas condiciones. Ahora, supongamos que los cuatro premios me importan un rábano; sólo me interesa confundir al que me da el premio, haciendo un enunciado que haga imposible cumplir la oferta.

¿Qué enunciado sería éste?

Nota: Este problema es esencialmente el mismo que se conoce como la paradoja de Sancho Panza, discutida en la solución.

Soluciones

1. El primer estudiante estaba en lo cierto y he aquí la razón. Del informe del primer experto, se sigue que no puede haber más de una flor amarilla, porque si hubiera dos amarillas, uno podría recoger dos amarillas y una azul, formando así un grupo que no contiene ninguna flor roja. Esto contradice el informe de que todo grupo de tres flores debe contener una roja. Por lo tanto, no puede haber más de una flor amarilla. Del mismo modo, no puede haber más de una flor azul, porque si hubiera dos azules uno podría recoger dos flores azules y una amarilla, y de nuevo tendríamos un grupo de tres que no contiene ninguna roja. Así, del informe del primer experto se sigue que hay a lo sumo una flor amarilla y una azul. Y del informe del segundo experto, se sigue que hay a lo sumo una flor roja, porque si hubiera dos rojas, uno podría recoger dos rojas y una azul y obtener así un grupo de tres que no contiene ninguna amarilla. También se sigue del segundo informe que no puede haber más de una azul, aunque esto ya lo hemos deducido del primer informe.

El resultado final es que hay solamente tres flores en todo el jardín: una roja, una amarilla y una azul. Y por supuesto, es verdad que si recojo tres flores, una de ellas debe ser azul.

2. Supongamos que me preguntan: «¿Tu respuesta a esta pregunta es no?». Si contesto que sí, entonces estoy afirmando que no es mi respuesta a la pregunta, lo que por supuesto, es falso. Si contesto que no, entonces estoy negando que no sea la respuesta, pese a que no fue mi respuesta. Por lo tanto, para uno es imposible responder correctamente a la pregunta pese a que ésta posee una respuesta correcta: conteste uno que sí o que no. Si contesta que sí, entonces no es la respuesta correcta, pero en ningún caso puedo responder correctamente.

3. Lo más probable es que la suma sea el número más grande porque es muy posible que nuestro equipo no marque goles en algún encuentro; y un cero hace que todo el producto sea cero.

4. Si quiero ganar el premio A, lo que debo decir es: «No ganaré el premio B». ¿Qué pasa? Si me dan el premio C, entonces mi enunciado será verdadero —no gané el premio B—, de modo que me han dado el premio consuelo por formular un enunciado verdadero, lo que no puede ser. Si me dan el premio B, el enunciado será entonces falso, pero no pueden darme el premio B por un enunciado falso. Por lo tanto, me deben dar el premio A. He hecho un enunciado verdadero —no gané el premio B— y de acuerdo con esto debo ser recompensado con uno de los dos premio ofrecidos por hacer un enunciado verdadero.

Por supuesto que el enunciado «Ganaré el premio A o el C» también sirve.

5. Para ganar el premio C, simplemente debo decir: «Ganaré el premio D».

Dejo la demostración al lector.

6. Para romper la oferta, sólo debo decir: «Ganaré uno de los premios consuelo». ¿Qué pasa? Si me dan un premio consuelo, el enunciado se habrá vuelto verdadero, y se habrán violado las condiciones al darme justamente un premio consuelo. Si me dan el premio A o el premio B, otra vez se violan las condiciones, porque hice un enunciado falso, y me correspondía, en