Conjuntos y números

Maravillas

Capítulo 1. Lógica básica

Durante muchos siglos, la lógica fue una rama de la filosofía dedicada al estudio del razonamiento. Aristóteles, el filósofo de la antigua Grecia, escribió el primer tratado de lógica conocido actualmente; sin embargo, la lógica comenzó a aplicarse en matemáticas hace apenas cien años con el objetivo de establecer sólidamente los fundamentos de la aritmética, la geometría y el análisis.

Irónicamente, este capítulo es el más intuitivo e informal del texto. La lógica matemática es un tema complejo y sutil; en las próximas secciones sólo abordaremos algunos de sus temas más importantes.¹ El concepto central de este capítulo, que presentamos en la sección 1.1, es el de proposición. La teoría de proposiciones tiene dos ramas: la sintaxis, que se ocupa de su estructura y composición; y la semántica, que se ocupa de su interpretación y la construcción de argumentos. Algunos conceptos relacionados con la sintaxis son los cuantificadores y los conectivos, que estudiamos en las secciones 1.2 y 1.3; profundizamos en la semántica de las proposiciones en la sección 1.4.

1.1 Proposiciones

Recordemos que en la gramática del español la unidad mínima de lenguaje para manifestar una idea, con su significado completo, es la oración, la cual se forma con la estructura

sujeto + predicado.

Cada parte de la estructura de una oración se construye combinando diversos términos. Las oraciones se dividen en las siguientes clases: declarativas, imperativas, exclamativas e interrogativas. Cuando se expresa una idea completa en una oración, cuyo predicado afirma o niega algún atributo del sujeto, se obtiene una oración declarativa. Esta clase de oraciones son las que abordamos en nuestro estudio de la lógica matemática.

Ejemplo 1.1. Consideremos los siguientes ejemplos:

1) ¿Fue resuelta la ecuación por Erika?. Esta no es una oración declarativa sino interrogativa .

2) Javier, apresúrese con ese problema. Esta no es una oración declarativa sino imperativa .

3) La raíz cuadrada de 5 es menor que π . Esta es una oración declarativa .

4) Los lados de un triángulo no son congruentes. Esta es una oración declarativa .

5) La geometría de Riemann es una rama de las matemáticas muy interesante. Esta es una oración declarativa .

6) El promedio de x 1 , x 2 , · · ·, x N ∈ es

Esta es una oración declarativa.

Cada una de las oraciones anteriores se da en un contexto implícito que determina la naturaleza de los términos involucrados. Por ejemplo, la oración 3) se da en el contexto de la aritmética de los números reales, mientras que la oración 4) se da en el contexto de la geometría euclidiana. Llamaremos a este contexto el universo de discurso de la oración.

Ahora podemos precisar la noción de proposición.

Definición 1.2 (proposición). Una proposición es una oración declarativa, la cual, en un universo de discurso dado, puede caracterizarse como verdadera o falsa, pero no puede tener ambos atributos.

En el ejemplo 1.1, sólo las oraciones 3) y 6) son proposiciones. Las oraciones 1) y 2) no son proposiciones porque no son declarativas. La oración 4) no es una proposición ya que, al no precisar el triángulo al que se hace referencia, no es posible caracterizarla como verdadera o falsa (es verdadera para algunos triángulos pero falsa para otros). La oración 5) no es una proposición ya que no se ha establecido una definición universal para el término ser muy interesante; por lo tanto, es una declaración subjetiva, cuya verdad o falsedad depende de gustos y opiniones.

La característica de verdad o falsedad de una proposición se denomina valor de verdad.

Ejemplo 1.3. Consideremos algunos ejemplos:

1) Dos es un número primo. Esta es una proposición, ya que es una oración declarativa verdadera .

2) El área del círculo es mayor que el área del cuadrado. Esta no es una proposición, ya que no se puede determinar su valor de verdad: puede ser verdadera o falsa dependiendo del círculo y el cuadrado que se consideren .

3) Siempre que x sea un número real, se cumple que − x < 0. Esta es una proposición, ya que es una oración declarativa falsa. La razón de su falsedad recae en el uso de la palabra siempre: no es verdad porque podemos encontrar casos que la desmienten, por ejemplo − 1 es un número real tal que −(− 1) > 0.

Las proposiciones se clasifican en simples y compuestas. Las primeras se componen de términos singulares, los cuales hacen referencia a objetos particulares; actúan en calidad de nombre propio.

Ejemplo 1.4 (términos singulares). Pedro, José, 9, π, la constante de Euler, la ecuación de Laplace, etcétera.

Definición 1.5 (proposición simple). Decimos que una proposición es simple, o atómica, si está constituida por sujetos formados por términos singulares y un predicado con un verbo que expresa una acción sobre dichos sujetos.

En otras palabras, una proposición simple es aquella que no puede separarse en otros enunciados y afirma algo específico sobre un objeto particular.

Ejemplo 1.6. Las siguientes son proposiciones simples:

1) Pedro tiene los ojos negros.

2) El área de un círculo de radio 1 es π .

3) 3 es la raíz cuadrada de 9.

4) 3 + 7 − 2 = 8.

5) 5 es un número impar.

Las proposiciones compuestas están conformadas por dos o más proposiciones simples; estudiaremos más acerca de esto en las próximas secciones.

Finalizaremos esta sección con el estudio de otro concepto importante. Un predicado es una expresión que establece una propiedad o característica de algún sujeto. Como mencionamos anteriormente, los predicados son una parte fundamental en la formación de oraciones. Algunos ejemplos son: es azul, es mayor que y es un número par.

En matemáticas, para hacer referencia a un predicado usamos variables (x, y, z, w, etc.) que representan un sujeto cualquiera dentro del universo de discurso; así pues, el predicado es azul será denotado por

A(x) = (x es azul).

Los predicados no son proposiciones, ya que no pueden ser caracterizados como verdaderos o falsos. Sin embargo, al evaluar las variables en sujetos particulares, los predicados producen proposiciones.

Ejemplo 1.7. Consideremos los siguientes ejemplos:

1) El predicado A ( x ) = ( x es azul) evaluado en x = (cielo) produce la proposición verdadera A (cielo) = (el cielo es azul).

2) El predicado P ( z ) = ( z es un número par) evaluado en z = 5 produce la proposición falsa P (5) = (5 es un número par).

3) Consideremos el predicado R ( x, y ) = ( x ≤ y ). Entonces R (3 , 5) es una proposición verdadera, mientras que R (7 , 4) es una proposición falsa.

Palabras clave de la sección: proposición, universo de discurso, valor de verdad, término singular, proposición simple, predicado.

1.1.1 Ejercicios de proposiciones

Ejercicio 1.8. Determina si las siguientes expresiones son proposiciones, predicados o ninguna de las dos. Justifica tu respuesta.

a) 5 es mayor que 9.

b) m es un número primo.

c) ¿Es 7 un número primo?

d) Un triángulo tiene cuatro lados.

e) Los matemáticos son personas inteligentes.

f) Escribe el resultado de la ecuación.

g) Sea x un número real mayor que cero.

h) Existe una función que es continua pero no diferenciable.

i) La raíz cuadrada de z es 5.

Ejercicio 1.9. Determina el universo de discurso de las siguientes proposiciones y escribe su valor de verdad. Justifica tu respuesta.

a) Existen aves que no pueden volar.

b) La ecuación x − 3 = 0 tiene un número infinito de soluciones.

c) La raíz cuadrada de 4 es 2 y la de 16 es 8.

d) El área de un círculo es igual a π por el cuadrado de su radio.

e) El número 6 es un múltiplo de 3.

f) 3 ² + 4 ² = 5 ² .

Ejercicio 1.10. , humano, número real, el conjunto de números reales, Pedro y 73°. ¿Cuáles de estos son términos singulares? Justifica tu respuesta.

Ejercicio 1.11. En cada uno de los siguientes predicados, encuentra los números enteros que producen proposiciones verdaderas.

a) P ( x ) = ( x ² = 16.

b) S ( y ) = (| y | < 3).

c) R ( z ) = ( z es par y primo).

d) T ( w, u ) = ( w + u = 1 y 2 u = 6).

1.2 Negaciones y cuantificadores

En esta sección estudiaremos dos temas fundamentales ligados a la construcción de proposiciones.

1.2.1 Negación

Si P es una proposición cualquiera, la negación de P, denotada como ~P, es una proposición cuyo valor de verdad es el opuesto al valor de verdad de P. En otras palabras, si P es verdadera, entonces ~P es falsa, y si P es falsa, entonces ~P es verdadera. También se usa comúnmente el símbolo ¬ en lugar de ~.

Ejemplo 1.12. Consideremos la proposición

P = (4 es igual a 2 + 2).

Entonces la negación de P es

~P = (4 no es igual a 2 + 2).

En este caso P es verdadera mientras que ~P es falsa.

Además del vocablo no, se usa la frase no es cierto que para negar proposiciones.

Ejemplo 1.13. Si

Q = (La raíz cuadrada de 9 es 2),

la negación de Q es

~Q = (No es cierto que la raíz cuadrada de 9 es 2).

En este caso Q es falsa, mientras que ~Q es verdadera.

Cuando el predicado de una proposición simple se representa mediante algún símbolo matemático, se acostumbra formar la negación cruzando el símbolo con una raya inclinada. De esta forma, si T = (5 = 4 + 1), entonces la negación es ~T = (5 ≠ 4 + 1).

La esencia de la negación de una proposición puede capturarse en una tabla de verdad, la cual, en este caso, consiste en un arreglo de dos renglones por dos columnas. En la primera columna se escriben los posibles valores de verdad de una proposición arbitraria

(verdadero, abreviado como V; y falso, abreviado como F). En la segunda columna se escriben los valores de verdad correspondientes a la negación de dicha proposición asumiendo el valor de verdad que se encuentra en el mismo renglón.

Específicamente, si P es una proposición arbitraria, la tabla de verdad de la negación se muestra en la tabla 1.1.

Tabla 1.1: Negación

Al negar la negación de una proposición P (hacer una doble negación), obtenemos una proposición con el mismo valor de verdad que P. Más adelante (en el ejercicio 1.47), veremos que las proposiciones P y ~(~P) son lógicamente equivalentes (definiremos esta idea en la sección 1.3.3). Si usamos el símbolo ≡ para expresar que dos proposiciones son lógicamente equivalentes, podemos escribir

~(~P) ≡ P.

Ejemplo 1.14. La doble negación de S = (Lilia estudia matemáticas) es la proposición

~(~ S) = (No es cierto que Lilia no estudia matemáticas)

           ≡ (Lilia estudia matemáticas) = S.

Ejemplo 1.15. La doble negación de la proposición P del ejemplo 1.12 es

~(~P) = (No es cierto que 4 no es igual a 2 + 2) ≡ P.

1.2.2 Cuantificadores

Sea P(x) un predicado cualquiera. En la sección anterior vimos que es posible producir proposiciones a partir de P(x) evaluando la variable x. Otra forma de producir una proposición a partir de P(x) es mediante el uso de un cuantificador. Hay dos tipos de cuantificadores:

■Cuantificador existencial , denotado por el símbolo ∃, el cual se lee como existe, para algún, hay al menos unoo frases equivalentes.

■Cuantificador universal , denotado por el símbolo ∀, el cual se lee como para todo, para cada, para cualquiero frases equivalentes.

Los cuantificadores son elementos clave para lograr la precisión del lenguaje requerida en la formulación de proposiciones.

Por ejemplo, consideremos el predicado

P(x) = (x estudia matemáticas),

donde el universo de discurso es el conjunto de personas. Podemos evaluar P(x) en personas particulares para producir proposiciones verdaderas o falsas; por otro lado, podemos usar los cuantificadores previamente definidos:

■Existencial :

∃x P(x) = (Existe una persona que estudia matemáticas).

■Universal :

∀x P(x) = (Todas las personas estudian matemáticas).

Queda claro que el uso de los cuantificadores está restringido al universo de discurso.

Las proposiciones previas tienen significados muy distintos. La primera de ellas es verdadera porque efectivamente existe una persona que estudia matemáticas (por ejemplo, el lector de este texto). La segunda proposición es falsa ya que también podemos encontrar personas que no estudian matemáticas.

Ejemplo 1.16. Si el universo de discurso es el conjunto de números reales, el predicado Q(x) = (x² − 1 < 0) tiene dos interpretaciones:

1) Existencial : existe un número real x tal que x ² − 1 < 0.

2) Universal : todos los números reales x satisfacen que x ² − 1 < 0.

La proposición 1) es verdadera porque se cumple para al menos un número real (por ejemplo, x = 0). La proposición 2) es falsa porque no se cumple para x = 2 o x = 3.

Ejemplo 1.17. Sea x un número real. El predicado x² ≥ 0 tiene dos interpretaciones:

1) Existencial : existe un número real x tal que x ² ≥ 0.

2) Universal : para todo número real x se cumple que x ² ≥ 0.

Ambas proposiciones son verdaderas porque el cuadrado de cualquier número real siempre es mayor o igual que cero. De hecho, la veracidad de la segunda proposición implica la veracidad de la primera.

En el ejemplo anterior, la frase "sea x un número real" establece que el universo de discurso es el conjunto de los números reales.

Cabe señalar que la expresión "existe un x tal que significa lo mismo que existe al menos un x tal que". La frase al menos es redundante en la mayoría de los casos. Para expresar que sólo existe un x con cierta propiedad, usamos frases como existe exactamente uno o existe y es único. Usamos el símbolo ∃! para denotar existencia y unicidad.

Ejemplo 1.18. Si z es un número real y T(z) = (2z − 7 = 0), la proposición de existencia y unicidad asociada es

∃! T(z) = (Existe exactamente un número real z tal que 2z − 7 = 0).

En este caso, la proposición anterior es verdadera.

Las proposiciones que usan cuantificadores no son proposiciones simples; al igual que las proposiciones de la siguiente sección, son llamadas proposiciones compuestas.

Es importante entender cómo se obtiene la negación de una proposición cuantificada. Por ejemplo, si

P = (Todos los mexicanos son matemáticos),

¿cuál es la negación de P? A simple vista, podríamos pensar que ~P es la proposición

Q = (Todos los mexicanos no son matemáticos),

= (Ningún mexicano es matemático).

Sin embargo, esto es un error. Por definición, ~P es