Relojes, medidas y calendarios: Un sinfín de historias matemáticas

© Jordi Deulofeu, 2018

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Primera edición, abril de 2020, Barcelona

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eISBN: 978-84-18193-20-0

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ÍNDICE

Índice

Introducción

Forma y proporción: Las matemáticas en la vida y en los objetos

Soluciones y comentarios a los problemas

La medida del espacio: del tamaño del Sistema Solar al establecimiento del metro

Soluciones y comentarios a los problemas

La medida del tiempo: historias de calendarios y relojes

Soluciones y comentarios a los problemas

Bibliografía

Introducción

Si las personas no consideran que las matemáticas son sencillas, es porque no se dan cuenta de lo complicada que es la vida.

JOHN VON NEUMANN (1903-1957)

Hay dos finalidades de las matemáticas que sirven para explicar por qué esta ciencia es una de las más antiguas que existen y cuyo desarrollo se remonta a los orígenes de las civilizaciones. En efecto, por un lado las matemáticas son una manera de mirar el mundo que nos rodea, tanto el físico como el social, para tratar de entenderlo y de actuar en él; por otro, y de manera paralela, constituyen una herramienta para resolver problemas de todo tipo, tanto aquéllos que se relacionan con la vida cotidiana, como problemas generados en el interior de la propia matemática, pasando por aquéllos que plantean las distintas ciencias y para cuya resolución son necesarios modelos matemáticos.

Cuando analizamos el papel de las matemáticas en el mundo constatamos que las dicotomías entre matemática pura y aplicada, y también entre matemática «seria» y recreativa, llevan a discusiones poco productivas. En efecto, la historia está llena de ejemplos de conceptos y propiedades matemáticas surgidas en el interior de la disciplina que, con el tiempo, han servido para resolver problemas reales aparentemente alejados de dichos conceptos. De manera similar, muchos problemas reales han llevado a construir modelos matemáticos que han servido para resolver dichos problemas y, posteriormente, otros de carácter interno.

Con las matemáticas recreativas sucede algo similar: que un problema surja como un divertimento no significa en absoluto que las matemáticas necesarias para resolverlo no sean relevantes, aunque, a veces, puede haber recreaciones cuyo interés matemático sea discutible. Para convencernos de la importancia de las matemáticas recreativas, basta con analizar la obra de Martin Gardner (1914-2010), el mayor divulgador de las matemáticas del siglo XX: comprenderemos como detrás de un acertijo pueden esconderse matemáticas de gran profundidad. Y si se trata de matemáticas relevantes, en un día más o menos lejano se encontrará su aplicación a la resolución de problemas importantes.

En este libro pretendemos mostrar las dos ideas expuestas anteriormente. Por un lado, explicaremos cómo es posible hallar matemáticas en temáticas científicas y sociales diversas y, por otro, plantearemos problemas recreativos la mayoría de ellos asociados a dichas temáticas.

Empezamos, en el primer capítulo, hablando de proporciones y nos planteamos, entre otras, preguntas del tipo: ¿por qué una hoja DIN A-4 (210 x 297 mm) tiene las medidas que tiene y cuanto difieren éstas de las medidas de una tarjeta de crédito? ¿Es posible caracterizar la belleza a través de los números? ¿Qué relación hay entre forma y número?

Dedicamos el segundo capítulo a la medida y a través de ella nos sumergimos en la historia iniciada por Eratóstenes (s. III a.C.) para determinar la longitud del meridiano y con ello establecer las dimensiones de la Tierra. Esta medida ha sido repetida a lo largo de la historia con finalidades distintas, entre ellas, constatar si la Tierra es una esfera perfecta, o bien establecer una nueva unidad universal para la medida de longitudes: el metro.

En la segunda parte de este capítulo se desarrolla el trabajo de Aristarco de Samos sobre el tamaño y las distancias del Sol, la Tierra y la Luna. Aristarco, que vivió en el mismo siglo que Eratóstenes, defendió la hipótesis heliocéntrica (la Tierra gira alrededor del Sol y no al revés), dieciocho siglos antes que lo hiciera Copérnico, y en contra de lo que defendían la mayoría de pensadores del antiguo mundo griego, desde Platón a Ptolomeo.

El tercer capítulo aborda la interesante historia de la medida del tiempo, principalmente la historia de nuestro calendario como sistema de cómputo del tiempo y su coexistencia con otros calendarios. En ella vemos como las decisiones racionales de tipo científico y matemático se mezclan con otras de carácter social o político, cuyo origen se encuentra muy lejos de la ciencia, como por ejemplo, por qué en nuestro calendario los meses de julio y agosto que son consecutivos, tienen ambos 31 días de duración, o por qué los años 1700, 1800 y 1900 no fueron bisiestos y el 2000 si lo fue.

Muchas partes de este libro han sido extraídas del que el autor escribió en 2002 y que fue publicado con el nombre de: Una recreación matemática: historias, juegos y problemas. El lector observará que algunos problemas llevan la indicación (*) con la cual se pretende alertar de que se trata de cuestiones algo más difíciles que el resto de acertijos propuestos. En cualquier caso, se encontrará al final de cada capítulo soluciones y comentarios a todos los problemas propuestos.

Deseamos que la lectura de este libro, y la realización de los problemas y juegos que en él se proponen, proporcionen placer y conocimiento a partes iguales. Éste ha sido el objetivo del autor al escribirlo.

Forma y proporción:

Las matemáticas

en la vida y en los objetos

Finalmente he acabado por comprender que cada expresión del sentimiento se origina con un movi­miento dirigido por la geometría. La geometría es omnipresente en la naturaleza: he aquí el verdadero concierto de la naturaleza.

AUGUSTE RODIN (1840-1917)

Introducción

Una de las características de las matemáticas es que, a pesar de tratarse de una ciencia cuyos objetos son creaciones abstractas de la mente (como por ejemplo los números, las formas geométricas planas o las funciones) y, por lo tanto, no existentes en la realidad física, constituyen uno de los más poderosos instrumentos de análisis de dicha realidad. En este primer capítulo vamos a ocuparnos de diversas relaciones entre las matemáticas y el entorno, tanto físico como social, y concretamente de ciertas leyes que rigen la naturaleza y que responden, mayoritariamente, al conocido modelo matemático de las proporciones.

Los ejemplos existentes son innumerables y abarcan desde la realidad física, el universo en el que vivimos y las leyes que rigen su comportamiento (por ejemplo, cuál es la forma y el tamaño del universo, cuál es su antigüedad o cómo se mueven los cuerpos celestes), hasta la realidad social: cuáles son los modelos que sirven para explicar la evolución de la economía o cómo se elaboran las leyes electorales en los distintos países democráticos. También encontramos ejemplos en las ciencias de la vida y en el arte: cómo son las formas de los seres vivos o por qué los animales más grandes son más complejos; el uso de proporciones en la pintura, la escultura o la arquitectura, o bien la propia organización de la música definitiva, son innumerables los aspectos de nuestra vida cotidiana en los cuales la presencia de las matemáticas es constante, aunque esta presencia pase muchas veces de forma desapercibida.

De los muchos aspectos que nos brinda esta relación entre matemáti­cas y entorno, en este capítulo analizaremos con cierto detalle tres aspectos de las matemáticas que inciden de manera determinante en la for­ma de los objetos materiales. En primer lugar, nos referiremos a la relación entre las longitudes, las superficies y los volúmenes de dos cuerpos semejantes (semejanza es un término matemático que indica la igualdad de forma, prescindiendo del tamaño) que nos llevará a descu­brir la importancia de dicha relación en el crecimiento de los seres vivos.

En segundo lugar, hablaremos de algunos problemas relacionados con la optimización, en los cuales se trata de determinar el valor máximo (o mínimo) de una magnitud dependiente de otras cuyo valor está fijado. Por ejemplo, dada la medida de una superficie nos interesa averiguar cuál es la forma que ésta debe adoptar para que el volumen que encierre sea máximo; también, encontrar cuál es la superficie mínima necesaria para encerrar un volumen determinado. Veremos que este tipo de problemas, algunos de ellos clásicos, conocidos como problemas de máximos y mínimos, aparecen tanto en las formas de la naturaleza como en el comportamiento de la luz o en las filas de una autopista, por citar tres ejemplos bien distintos. En tercer lugar, analizaremos las proporciones de algunos objetos cotidianos, en particular las hojas de papel que utilizamos para escribir o las tarjetas de crédito, lo que nos llevará a hablar de la teoría de las proporciones aplicada al diseño y al arte.

Completaremos el capítulo con algunos problemas relacionados con una curiosa forma, la estrella pentagonal regular, una figura plana cuyas numerosas propiedades le confieren un carácter mágico y que ya los pitagóricos adoptaron como símbolo de su escuela.

Matemáticas y formas en la naturaleza

La relación entre matemáticas y naturaleza es mucho más importante de lo que puede parecer a primera vista. Es evidente que las leyes físicas se expresan mediante fórmulas matemáticas y que las funciones, construcciones puramente matemáticas, pueden entenderse como una abstracción de las distintas leyes que rigen la naturaleza, no solamente en la física sino también en la química y en las ciencias de la vida. Esta estrecha relación entre matemáticas y naturaleza ha sido considerada a lo largo de la historia por algunos de los más grandes científicos. Galileo sostenía que el mundo está escrito en lenguaje matemático, y también el gran fi­lósofo E. Kant afirmaba que aquello que caracteriza a una verdadera ciencia es su relación con las matemáticas. Sin embargo, otras personali­dades, como Pascal o Goethe, fueron más resistentes a tratar de explicar los fenómenos relacionados con la vida a través de las matemáticas. El gran avance de las ciencias de la vida, que empezó con las teorías sobre la evolución de Darwin y que han llevado a estas ciencias al inicio de una auténtica revolución a finales del siglo XX, ha venido a corroborar todavía más el importante papel de las distintas ciencias que se ocupan del mundo en el que vivimos.

Es evidente que las formas de los seres vivos son muy variadas, aunque en realidad muchas de ellas se parecen y globalmente corresponden a unos pocos modelos. Cabe pues plantearse si estas formas son arbitrarias o bien responden a ciertas leyes o modelos de carácter mecánico o geométrico. Una de estas leyes se refiere al crecimiento: ¿cómo crecen las distintas magnitudes de un cuerpo cuando éste aumenta su tamaño? Tengamos como ejemplo un cuerpo sencillo, un cubo cuya arista es de 1 cm. Hagamos «crecer» este cubo de forma que se mantenga su forma, es decir, que siga siendo un cubo, hasta que sus aristas midan el doble del inicial. Es fácil ver, por ejemplo, que su diagonal será el doble, al igual que sus dimensiones lineales, pero ¿qué sucede