Aritmética Básica Y Álgebra Elemental

Agradecimiento y Dedicatoria

No existe receta más deliciosa que aquella que sacia el alma.

La gracia del Señor es todo lo que necesito. Mi eterno agradecimiento a Dios por permitirme realizar este proyecto, así como por el talento que otorgó al autor de esta obra, cuyo principal  anhelo fue el de dotar a los estudiosos de esta materia de una herramienta que les permita el aprendizaje de la misma.

ADVERTENCIA IMPORTANTE

Los conocimientos comprendidos en los 13 primeros capítulos que corresponden a la ARITMETICA BASICA de este libro, son los conocimientos mínimos necesarios, pero fundamentales, para abordar el estudio del ALGEBRA ELEMENTAL.

Además, tienen constante aplicación en todos los grados subsecuentes de las matemáticas, inclusive en los más avanzados.

El estudio del Algebra Elemental que se abordará en los capítulos 14 y siguientes, resultará extremadamente claro y sencillo, si se tiene un sólido y firme conocimiento de la ARITMETICA BASICA.

Las demostraciones de los teoremas, a más de ser una magnífica gimnasia mental matemática, cumplen con el requisito fundamental de que, un teorema para ser aceptado necesita ser demostrado.

Sin embargo, cuando así se estime o así convenga, por haber realizado estudios post-primarios de Aritmética, bastará con memorizar y entender con toda claridad el significado de los teoremas y sus aplicaciones, para proseguir, sin dificultad, el estudio del ALGEBRA ELEMENTAL.

ARITMÉTICA

BÁSICA

CAPITULO 1

NUMEROS ENTEROS

SISTEMA DECIMAL DE NUMERACION

1.- En el sistema decimal de numeración, las unidades simples y las unidades mayores que ellas, son las unidades enteras que constituyen el sistema.

Las unidades simples, las decenas, las centenas, los millares etc., son pues las unidades enteras del sistema.

2.- NUMERO ENTERO es aquel que está formado solamente por unidades enteras.

3.- CIFRA. Para representar a todos los números, el sistema decimal de numeración utiliza diez cifras o signos que son: 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9.

PRINCIPIO FUNDAMENTAL DE LA NUMERACION ESCRITA DEL SISTEMA DECIMAL DE NUMERACION

4.-Toda cifra escrita a la izquierda de otra representa unidades diez veces mayores que las que representa ésta.

En 2465, 5 representa cinco unidades simples, 6 representa seis decenas, 4 representa cuatro centenas, y 2 dos millares.

5.- VALOR ABSOLUTO DE UNA CIFRA, es el valor que representa por su figura.

6.- VALOR RELATIVO DE UNA CIFRA, es el valor que representa por el lugar que ocupa en un número.

7.-VALOR DE UN NUMERO ENTERO. El valor de un número entero, es igual a la suma de los valores relativos de las cifras que lo forman, expresadas en unidades simples.

Así, el valor del número 2537 es igual a dos mil unidades simples, mas quinientas unidades simples, mas treinta unidades simples, mas siete unidades simples.

Dicho valor se expresa simplemente en la forma: dos mil quinientos treinta y siete, omitiendo las palabras unidades simples.

8.- REPRESENTACION DE LOS NUMEROS POR LETRAS. Los números se pueden representar también por medio de letras, habiéndose convenido en que los números cuyos valores se conocen o que se suponen conocidos, se representen por las primeras letras del alfabeto y los números de valores desconocidos por las últimas que, son w, x, y, z, generalmente.

En matemáticas es costumbre llamar a las letras, LITERALES.

SISTEMA BINARIO DE NUMERACION

9.- Para representar a todos los números, el sistema binario utiliza dos cifras o signos que son: 0 (cero) y 1 (uno).

PRINCIPIO FUNDAMENTAL DE LA NUMERACION ESCRITA DEL SISTEMA BINARIO

10.- Toda cifra escrita a la izquierda de otra, representa valores dos veces mayores que las que representa ésta. (Consulte la página ____)

En 11, el 1 de la derecha representa un valor de una unidad y el 1 de la izquierda un valor de dos unidades.

11.- VALOR ABSOLUTO DE LA CIFRA 1. El valor absoluto de la cifra 1, es UNO.

12.- VALOR RELATIVO DE LA CIFRA 1. El valor relativo de la cifra 1, es el valor que representa por el lugar que ocupa en un número binario.

En el número binario 101: el 1 de la derecha representa una unidad; el cero indica carencia de unidades de valor 2; y el 1 de la izquierda representa una unidad de valor 4.

Los valores relativos de la cifra 1, entre otros, son como sigue de acuerdo con el lugar que ocupa:

13.- VALOR DE UN NUMERO BINARIO. El valor de un número binario es igual a la suma de los valores relativos de las cifras que lo forman, expresado en unidades.

Así, considerando las cifras de izquierda a derecha del número binario 10111, su valor es:

AXIOMAS Y TEOREMAS

Antes de abordar el estudio de las operaciones que se ejecutan con los números enteros, es preciso conocer las dos verdades siguientes en las que se fundamentan las matemáticas.

14.- AXIOMA es una verdad evidente por sí misma y por consiguiente no requiere de demostración para ser aceptada.

Así, un número entero es mayor que cualesquiera de las unidades que lo forman excepto el 1, es un axioma.

15.- TEOREMA es una verdad que para ser aceptada, es necesaria la correspondiente demostración.

Las matemáticas se estudian principalmente a base de teoremas.

SUMA O ADICION

16.- La suma o adición de números enteros es la operación que tiene por objeto obtener un número que contenga tantas unidades, cuantas unidades contengan otros números dados.

Sumar el número 12 con el número 435 es obtener un número que contenga todas las unidades, todas las decenas y todas las centenas que contengan 12 y 435.

17.- SUMANDO es cada uno de los números que se van a sumar.

18.- SUMA es el resultado de la operación.

19.- SIGNO DE LA SUMA. Para indicar que varios números se van a sumar, se interpone entre ellos el signo  +  que se lee mas.

Ejemplos:

20 + 50 + 17 + 30

a + b + c

20.- IGUALDAD FUNDAMENTAL DE LA SUMA. Puesto que la suma de los valores de los números que se van a sumar y el resultado de la operación tienen el mismo valor, esto se expresa poniendo entre los sumandos y el resultado el signo  =  que se lee igual a.

Así,

25 + 32 + 8 = 65

y representando el resultado de una suma cualquiera por S,

a + b + c = S

A estas expresiones se les llama IGUALDADES, y esta última que interpreta matemáticamente la definición de suma, es la igualdad fundamental de la suma.

Es oportuno incluir la definición de igualdad.

21.- IGUALDAD es la indicación de que dos expresiones diferentes tienen el mismo valor.

A la expresión colocada a la izquierda del signo = se le llama PRIMER MIEMBRO, y a la colocada a la derecha, SEGUNDO MIEMBRO.

PROPIEDADES DE LA SUMA

La condición necesaria de obtener un número que contenga TODAS LAS UNIDADES que contengan varios números dados expresada en la definición de suma (16) y el significado que tiene el valor de un número entero, (7) hacen evidentes las siguientes propiedades de la suma.

22.- La suma de varios números enteros es un número entero.

23.- En una suma de varios números, el orden de los sumandos no altera el valor de la suma.

Ejemplos:

24.- En una suma de varios números, dos o más sumandos pueden substituirse por su suma efectuada, sin que se altere el valor de la suma.

Ejemplos:

25.- En una suma de varios números, cualquier sumando puede substituirse por sus propios sumandos, sin que se altere el valor de la suma.

Ejemplos:

26.- Para sumar una suma con otra suma, se forma una sola suma con todos los sumandos y se opera con la suma resultante.

Ejemplos:

PRUEBA DE UNA OPERACION

27.- En general, la prueba de una operación es una segunda operación diferente de la primera, que tiene por objeto comprobar si es correcto el resultado obtenido en la primera.

La prueba de una suma se puede efectuar aplicando cualesquiera de las propiedades 23 ó 24.

MULTIPLICACION

28.- Multiplicación es la operación que tiene por objeto abreviar una suma de sumandos iguales.

125 + 125 + 125 + 125 + 125   es una suma de sumandos iguales que se puede abreviar por medio de una multiplicación.

29.- MULTIPLICANDO es el número que se repite como sumando.

30.- MULTIPLICADOR es el número que indica las veces que se repite el multiplicando.

31.- PRODUCTO es el resultado de la operación.

32.- FACTORES. Al multiplicando y al multiplicador, también se les llama factores.

33.- SIGNO DE LA MULTIPLICACION. Para indicar que se va a efectuar una multiplicación entre el multiplicando y el multiplicador, se coloca entre ellos el signo  x  que se lee por.

La suma de 6 sumandos iguales a 15, se abrevia por medio de una multiplicación que se expresa en la forma, 15 x 6

34.- CONVENCION. Cuando no hay lugar a confusiones, se escribe simplemente multiplicando y multiplicador, uno a continuación del otro.

Ejemplos:

12  a, a  b, c  15, m  x, etc.

35.- IGUALDAD FUNDAMENTAL DE LA MULTIPLICACION. La igualdad de valores que hay entre la multiplicación de un factor a por un factor b, y su producto P, se expresa en la forma

a  b = P

que es la igualdad fundamental.

36.- CONSECUENCIAS.

17 x 0 = 0 El multiplicando 17 se ha repetido 0 veces.

0 x 25 = 0 El multiplicando 0 se ha repetido 25 veces.

a  x  0 = 0

0  x m = 0

15 x 1 = 15

1  x  b = b

37.- TEOREMA. El orden de DOS factores no altera el valor del producto.

Ejemplos:

Demostración.

Sea el producto 3 x 4

Por definición de multiplicación,

(L.Q.Q.D.) (léase lo que quería demostrarse)

Como el razonamiento anterior puede aplicarse a cualquier par de números enteros, la demostración es una DEMOSTRACION GENERAL y por lo mismo, válida para que el teorema sea aceptado.

38.- PRUEBA DE LA MULTIPLICACION. La prueba de la multiplicación (27) se efectúa aplicando el teorema (37).

Así, la multiplicación  142 x 27 = 3834  se prueba con la multiplicación  27 x 142 = 3834.

39.- MULTIPLO DE UN NUMERO es el producto de dicho número por cualquier número entero.

Ejemplos:

Así mismo, por (37), 30 es múltiplo de 2 y 135 es múltiplo de 9.

SUBSTRACCION O RESTA

40.- Substracción o resta es la operación que tiene por objeto investigar en cuántas unidades excede un número mayor a otro menor.

La substracción de 179 y 65 tiene por objeto investigar en cuántas unidades, decenas y centenas excede 179 a 65.

41.- MINUENDO es el número mayor.

42.- SUBSTRAENDO es el número menor.

43.- RESTA EXCESO O DIFERENCIA es el resultado de la operación.

44.- SIGNO DE LA SUBSTRACCION. Para indicar que se va a efectuar una substracción entre los números 125 y 68, se escribe el minuendo, enseguida el signo  –  que se lee menos y a continuación el substraendo.

Ejemplos:

125 – 68 a – b

45.- IGUALDAD FUNDAMENTAL DE LA SUBSTRACCION. Si se conviene en que el minuendo se represente por la letra M, el substraendo por la letra S, y la resta por R, se tiene por definición que,

M – S = R  que es la igualdad fundamental.

PROPIEDADES DE LA SUBSTRACCION

De la definición de substracción o resta, se deducen las siguientes propiedades, que son evidentes.

46.- El minuendo es igual al substraendo más lo que excede el primero al segundo, es decir,

M = S + R

47.- El minuendo menos lo que éste excede al substraendo, es igual al substraendo, es decir,

M – R = S

48.- PRUEBA DE LA SUBSTRACCION. Generalmente la prueba de la substracción (27) se efectúa aplicando la propiedad (46).

49.- TEOREMA. Si en una substracción, al minuendo y al substraendo se les agrega o se les quita un mismo número, el valor de la resta no se altera.

Ejemplo:

472 – 346 = 126 y si se agrega 32 al minuendo y al substraendo, se obtiene

504 – 378 = 126

O también, si se les quita 64, resulta

408 – 282 = 126

Demostración.

Sea la substracción     56 – 24 = 32

Si se agrega una unidad al minuendo 56, la resta 32 queda aumentada en una unidad, y consecuentemente, si se agregan n unidades al minuendo, la resta queda aumentada en n unidades.

Por otra parte, si se agrega una unidad al substraendo 24, la resta queda disminuida en una unidad, y consecuentemente, si se agregan n unidades al substraendo, claro está que sin rebasar el valor del minuendo, la resta queda disminuida en n unidades.

En consecuencia, agregando n unidades al minuendo y al substraendo, el valor de la resta no se alterará, puesto que queda aumentada y disminuida, a la vez, n unidades.

Análogamente, si se quitan n unidades al minuendo, la resta queda