Matemáticas básicas con trigonometría 2 Edición

acertadas.

Parte I

Los Fundamentos

Capítulo 1

Los números reales

Contenido

1.1. Introducción

1.2. Lo s axioma s d e cuerpo

1.3. Los axiomas de orden

1.4. El principio de buen orden

1.5. Números enteros y racionales

1.6. El axioma del extremo superior

1.7. El valor absoluto: propiedades

En este primer capítulo presentamos los fundamentos del curso. Para lograrlo estudiaremos en primer lugar la estructura de cuerpo ordenado de los números reales, además presentaremos las consecuencias más importantes de los axiomas asumidos.

1.1. Introducción

Existen múltiples formas para introducir el conjunto de los número reales. Una muy usual es postular la existencia del conjunto de los números naturales ℕ = {l, 2, 3, ...} y construir ampliaciones sucesivas de éste, pasando por los enteros, los racionales y los irracionales hasta llegar a los número reales. Esta opción por lo general carece de rigurosidad.

Nuestra propuesta metodológica con respecto al conjunto de los números reales no es constructiva, por el contrario, adoptaremos una descripción axiomática de éste. El método que utilizaremos es de tipo deductivo, es decir, se asume la noción de número real como concepto primitivo. Una vez aceptada la existencia de un conjunto cuyos elementos son los números reales, dotado con dos operaciones binarias, suma y multiplicación, el siguiente paso es aceptar un conjunto de axiomas o postulados, que describen entre otras las propiedades de las operaciones y con base en éstos deduciremos o demostraremos propiedades de los números reales.

Cuando usamos el término primitivo, queremos indicar que la naturaleza de los elementos del conjunto de los números reales (notado con ℝ) no jugará un papel central en el desarrollo de la teoría; lo importante será las propiedades que podamos deducir a partir de los postulados. Los axiomas que vamos a considerar estarán clasificados en tres grupos: los axiomas de cuerpo, los cuales hacen referencia a la componente algebraica del conjunto ℝ. Los axiomas de orden nos permitirán comparar dos números reales y de alguna manera estos inducen una geometría en ℝ. El tercero es el axioma del extremo superior, el cual garantiza la existencia de un número real especial asociado a subconjuntos no vacíos de ℝ, que son acotados superiormente. Con éste tenemos los primeros aspectos topológicos de ℝ.

Desde la Antigüedad se encuentran múltiples ejemplos de argumentaciones de tipo deductivo. Por ejemplo, Euclides de Alejandría¹ publicó múltiples obras, entre las que destacan los famosos Elementos, sin duda una de las grandes joyas de las matemáticas a lo largo de toda la historia. Estos están divididos en trece libros, los seis primeros están dedicados a la geometría elemental; en ellos Euclides recoge las técnicas geométricas utilizadas por los pitagóricos para resolver lo que hoy se consideran ejemplos de ecuaciones lineales y cuadráticas, e incluyen también la teoría general de la proporción, atribuida tradicionalmente a Eudoxo².

Los libros séptimo al noveno tratan sobre teoría de números, el décimo comienza con cuatro definiciones en las que se explica lo que son los segmentos conmensurables e inconmensurables, es decir, racionales e irracionales, y los tres restantes se ocupan de la geometría de los sólidos, hasta culminar en la construcción de los cinco poliedros regulares y sus esferas circunscritas, que había sido ya objeto de estudio.

Euclides estableció lo que, a partir de su contribución, había de ser la forma clásica de una proposición matemática: un enunciado deducido lógicamente a partir de unos principios previamente aceptados. En los Elementos, los principios que se toman como punto de partida son veintitrés definiciones, cinco postulados y cinco axiomas o nociones comunes. La naturaleza y el alcance de dichos principios han sido objeto de frecuente discusión a lo largo de la historia, en especial por lo que se refiere a los postulados y, en particular, al quinto postulado, el de las paralelas. Su condición distinta respecto de los restantes postulados fue ya percibida desde la misma Antigüedad, y hubo diversas tentativas de demostrarlo como teorema; los esfuerzos por hallarle una demostración prosiguieron hasta el siglo XIX, cuando se puso de manifiesto que era posible definir geometrías consistentes, llamadas no euclidianas, en las que no se cumpliera la existencia de una única paralela trazada a una recta por un punto exterior a ella.

Isaac Newton³ con su obra más importante, Philosophiae naturalis principia mathematica, presenta en 1687 otro ejemplo de una teoría fundamentada en sistemas deductivos. En ella formuló rigurosamente las tres leyes fundamentales del movimiento: la primera ley de Newton o ley de la inercia, según la cual todo cuerpo permanece en reposo o en movimiento rectilíneo uniforme si sobre él no actúa ninguna fuerza; la segunda establece que la aceleración que experimenta un cuerpo es igual a la fuerza ejercida sobre él dividida por su masa; y la tercera, indica que por cada acción ejercida sobre un cuerpo existe una reacción igual de sentido contrario. La mayoría de estas ideas formaban parte del ambiente científico de la época; pero fue Newton quien les dio el carácter sistemático de una teoría general, capaz de sustentar la concepción científica del Universo durante varios siglos. Suele considerarse a Newton uno de los protagonistas principales de la llamada Revolución científica del siglo XVII y en cualquier caso, el padre de la mecánica moderna.

Otro ejemplo lo encontramos en el matemático alemán David Hilbert⁴, quien fue un enconado defensor de la axiomática como enfoque principal de los problemas científicos. Teniendo como fundamento a Euclides, publicó en 1899 su obra Grundlagen der Geometrie, en la que, mediante un exhaustivo análisis y perfeccionamiento de las ideas euclidianas, formuló sus principios de axiomatización. En esta obra Hilbert realizó el primer esfuerzo sistemático y global para hacer extensivo a la geometría el carácter puramente formal que ya habían adquirido la aritmética y el análisis matemático.

A partir de 1904 empezó a desarrollar un programa para dotar de una base axiomática a la lógica, la aritmética y la teoría de conjuntos, con el objetivo último de axiomatizar toda la matemática. Aunque su propósito de demostrar la consistencia de la aritmética había de verse frustrado por los resultados posteriores (1931) obtenidos por el matemático austriaco Kurt Göde1⁵, el programa de formalización de Hilbert contribuyó al desarrollo de la llamada metamatemática, como método para establecer la consistencia de cualquier sistema formal.

Kurt Gödel, a los 24 años de edad, como estudiante de la universidad de Viena presenta su tesis doctoral sobre un conjunto de axiomas de lógica elemental, con los cuales se demuestra que es posible derivar todas y solamente las verdades de la lógica. La demostración del teorema de completitud para el cálculo de predicados trajo la falsa esperanza a los matemáticos que trabajaban en esa área de que el programa de axiomatización de Hilbert sería viable. No obstante, un año después, en 1931, el mismo Gödel publicó en la revista alemana Monatshefte für Mathematik und Physik el extremadamente difícil y brillante articulo titulado Über formal unentscheidbare Sätze der Principia Mathematica und verwandter Systeme (Sobre proposiciones formalmente indecidibles de Principia Mathematica y sistemas afines) con el cual echaría por tierra el sueño hilbertiano.

1.2. Los axiomas de cuerpo

Dado que el primer interés es abordar el estudio de la parte algebraica de los números reales, asumimos que sobre ℝ están definidas dos operaciones binarias, denominadas suma y multiplicación, las cuales representaremos con + y · respectivamente. Esto es, cada par de números reales x, y tiene asociado un único número real x + y (su suma) y de igual manera otro único número real x · y (su producto). Escribiremos simplemente xy en lugar de x · y.

Antes de considerar los axiomas de cuerpo introducimos las propiedades que satisface el símbolo de igualdad en ℝ:

I1 Reflexividad. Para todo x ∈ ℝ, se verifica que x = x.

I2 Simetría. Para todo x, y ∈ ℝ, si x = y, entonces y = x.

I3 Transitividad. Para todo x, y, z ∈ ℝ, si x = y y y = z, entonces x = z.

I4 Monotonía. Para todo x, y, z ∈ ℝ, si x = y, entonces x + z = y + z y xz = yz.

Los axiomas de cuerpo para ℝ son los siguientes: Para todo x, y, z ∈ ℝ

Cl Asociatividad. (x + y) + z = x + (y + z) y (xy)z = x(yz).

C2 Conmutatividad. x + y = y + x y xy = yx.

C3 Existencia de módulos. Existe un números real 0 (cero) y un número real 1 (uno) tal que para todo x ∈ ℝ se verifica x + 0 = x y xl = x.

C4 Existencia de inversos. Para todo x ∈ ℝ existe y ∈ ℝ tal que x+y = 0. Se denotará este y con −x. Además para todo 0 ≠ x ∈ ℝ existe z ∈ ℝ tal que xz = 1. La notación usual para este z es x

C5 Distributividad. x(y + z) = xy + xz.

En este punto podemos decir que el conjunto ℝ con las operaciones suma y multiplicación adquiere la estructura algebraica de cuerpo (también usualmente denominada campo).

Nota. Como consecuencia de C1 podemos escribir x + y + z para denotar (x + y) + z o x + (y + z). De manera similar, la expresión xyz denota sin lugar a confusión (xy)z o x(yz).

Iniciamos ahora las deducciones de algunas resultados que son consecuencia inmediata de los axiomas de cuerpo y de la igualdad.

1.2.1 Teorema. (Propiedad cancelativa) Sean x, y ∈ ℝ

1. Si x + y = x + z , entonces y = z

2. Si xy = xz y x ≠ 0, entonces y = z

DEMOSTRACIÓN:

1. Sean x, y ∈ ℝ . Entonces

2. Sean x, y ∈ ℝ . Entonces

En el siguiente teorema se demuestra que los módulos para la suma y la multiplicación en ℝ son únicos.

1.2.2 Teorema. (Unicidad de los módulos) Existen a lo más un módulo para la suma y un módulo para la multiplicación en ℝ.

DEMOSTRACIÓN: La existencia de los respectivos módulos está garantizada por el axioma C3. Demostramos ahora que estos son únicos.

Supongamos que existen dos números reales, 0 y 0′, que satisfacen C3. Entonces para todo x ∈ ℝ se tiene que x + 0 = x y x + 0′ = x. Por lo tanto, x + 0 = x + 0′. Aplicando el teorema 1.2.1(1) se sigue que 0 = 0′.

De manera similar se demuestra que existe un único 1 ∈ ℝ que satisface el axioma C3. □

1.2.3 Teorema. (Unicidad de los inversos) Todo número real x admite un único inverso aditivo −x y todo número real no nulo x admite un único inverso multiplicativo x−1.

DEMOSTRACIÓN: Sea x ∈ ℝ y supongamos que x tiene otro inverso aditivo y. Esto es, existe y ∈ ℝ tal que x + y = 0. Entonces x + y = 0 = x + (−x). Nuevamente del teorema 1.2.1(1) se sigue que y = −x y se tiene la unicidad.

Denotemos con ℝ× el conjunto ℝ \ {0}. Sea ahora x ∈ ℝ× y supongamos que para x existe otro número real y tal que xy = 1. Entonces xy = 1 = xx−1. Si usamos ahora 1.2.1(2) se tiene que y = x−1. □

1.2.4 Teorema. Sean a, b ∈ ℝ Entonces

1. Existe un único número real x tal que a + x = b. Este número x es usualmente denotado con b − a.

2. Si a ≠ 0, entonces existe un único número real y tal que ay = b . Este número y

DEMOSTRACIÓN:

1. Existencia. Dado a ∈ ℝ , siempre existe su inverso aditivo − a ∈ ℝ . Defínase x := b + (− a ). Entonces

Unicidad. Supongamos que existe x′ ∈ ℝ tal que a + x′ = b. Entonces a + x = a + x′ y el resto se sigue del teorema 1.2.1(1).

2. Existencia. Si a ∈ ℝ × , entonces existe a −1 ∈ ℝ . Definamos y := a −1 b . Entonces

Unicidad. Supongamos que existen x, x′ ∈ ℝ tal que ax = b = ax′. Entonces ax = ax′. La conclusión se sigue de 1.2.1(2). □

En el siguiente teorema se demuestran propiedades importantes del cero. El segundo resultado será de gran importancia para la resolución de ecuaciones cuadráticas.

1.2.5 Teorema. Sean x, y ∈ ℝ. Entonces

1. x 0 = 0 x = 0

2. xy = 0 si y sólo si x = 0 ∨ y = 0

DEMOSTRACIÓN:

1. Sea x ∈ ℝ . Entonces 0 + x 0 = x 0 = x (0 + 0) = x 0 + x 0. Utilizando una vez más el teorema 1.2.1(1) se tiene la afirmación.

2. Si x = 0 ∘ y = 0, entonces de la parte 1 se sigue que xy = 0.

Recíprocamente, supongamos que xy = 0 y x ≠ 0. Demostramos que y = 0. En efecto

Como consecuencia de los axiomas de cuerpo