Finanzas, modelación y riesgos

[email protected].

Introducción

El Grupo de Investigación en Ingeniería Financiera —GINIF— de la Universidad de Medellín hace varios años tomó la decisión de editar periódicamente un libro de compilación de resultados de investigación tanto del grupo como de otros investigadores externos. Lo anterior con el propósito de extender la visibilidad del programa de Ingeniería Financiera y contribuir con la generación de conocimiento mediante el desarrollo de actividades de docencia e investigación. Las ediciones anteriores se han presentado de manera exitosa en ferias internacionales como la Feria Internacional del Libro de Guadalajara y se utiliza como material de consulta académica e investigativa en diferentes países latinoamericanos como Ecuador, México, Perú, entre otros, constituyéndose como un aporte a la divulgación del conocimiento resultado de investigación de los diferentes proyectos que ha adelantado el grupo de investigación GINIF.

En esta ocasión se presenta el libro Finanzas, Modelación y Riesgos, resultado de diferentes actividades de investigación de profesionales internos y externos a la Universidad. Trabajos que se han adelantado en materia financiera y que pretenden fortalecer el conocimiento, aplicar nuevas teorías, indagar sobre problemáticas del entorno económico y financiero y proponer soluciones que permitan a inversionistas y empresas tener esquemas y modelos para la creación de valor y le brinden un panorama más amplio para el análisis del sector financiero en general.

Así mismo, los trabajos de investigación financiera presentados en esta edición fueron desarrollados en el ámbito nacional e internacional y buscan brindar herramientas que aporten al conocimiento de la comunidad acadé-mica y empresarial al tiempo que contribuyan a la solución de problemas y el aprovechamiento de oportunidades en materia de inversión, eficiencia y rentabilidad de los mercados financieros en general.

Los capítulos expuestos están suscritos en las líneas de trabajo del grupo de investigación GINIF y de la ingeniería financiera y son de índole académico y aplicado, comprendiendo temas alrededor de las áreas de los mercados financieros, las finanzas corporativas, la valoración de activos reales y financieros y los riesgos financieros en el marco de temáticas transversales como la econometría, la simulación y la modelación financiera en general.

CAPÍTULO I

Métodos paramétricos de medición del Valor en Riesgo: aplicación a opciones financieras sobre divisas

Diana Guzmán Aguilar *

Fredy Ocaris Pérez **

Carolina María Arboleda Arcila ***

INTRODUCCIÓN

A diferencia de la mayoría de productos financieros, las opciones tienen un comportamiento no lineal [1], el cual no es contemplado en los supuestos de los principales modelos que miden el riesgo de mercado, por lo que se hace necesario establecer metodologías propias para este tipo de instrumentos y obtener así un Valor en Riesgo (VaR por sus siglas en inglés Value at Risk), más ajustado a su comportamiento real.

En este capítulo se analizarán metodologías paramétricas para medir el riesgo de mercado (VaR) al que está expuesto un portafolio con opciones europeas de compra cuyo subyacente es la tasa de cambio peso-dólar, con el fin de concluir acerca de los modelos más adecuados para estimar el riesgo de mercado para este tipo de instrumentos.

1.1. VALORACIÓN DE OPCIONES

El precio de las opciones está afectado por los factores propios de este instrumento, donde su valor es igual a la prima que se estima como pago inicial por parte del comprador. Su variación depende del tiempo y de los cambios que se presenten en el precio del activo subyacente en el mercado. Para el caso de las opciones de compra, su valor intrínseco estará dado por la diferencia entre el precio de mercado del subyacente y el precio de ejercicio, si esta diferencia es positiva; de lo contrario, será igual a cero [2], como se muestra en la ecuación 1.1:

Donde: x es el valor intrínseco de la opción; St corresponde al precio al cual se transa el activo subyacente en los mercados de valores en el momento t de valoración; K es el precio pactado para realizar la compra del activo subyacente determinado en la opción.

1.1.1 Cálculo volatilidad

Para el cálculo de la volatilidad se usó el modelo EWMA (por sus siglas en inglés Exponentially Weighted Moving Average) que consiste en asignarle un mayor peso a las observaciones más recientes. El modelo define la varianza condicional en el día t mediante la ecuación 1.2:

Donde, λ es el factor de decaimiento seleccionado; r² es el cuadrado del rendimiento del día anterior; σ² es la varianza calculada para el día anterior; t es el día en que se calcula la volatilidad.

De acuerdo con la metodología propuesta por RiskMetrics [3], el factor de decaimiento (Lambda λ) se selecciona mediante un proceso de optimización.

Con el fin de aplicar las metodologías paramétricas descritas en este documento, es necesario calcular la volatilidad como uno de los parámetros principales para la estimación del valor en riesgo, permitiendo conocer la frecuencia e intensidad de los cambios que ha sufrido la tasa de cambio peso-dólar para el periodo analizado.

Para la estimación de la volatilidad, se toman los rendimientos diarios de la Tasa Representativa del Mercado, como el logaritmo natural del precio actual sobre el precio del día anterior. Con este insumo se calcula la volatilidad de la serie de rendimientos mediante la metodología EWMA.

Como caso práctico de aplicación se toman los datos de la TRM (Tasa representativa del mercado) consultada de la base oficial publicada en la página del Banco de la República de Colombia, para un período de tres años comprendido entre el 1 de noviembre de 2012 y el 30 de octubre de 2015, trabajando con una base de 733 datos en total (sin fines de semana ni días festivos).

De acuerdo con el documento técnico de RiskMetrics [3], al aplicar el proceso de optimización para encontrar el Lambda (λ) que minimiza el error cuadrático medio de los cálculos para la volatilidad, se encuentra como solución un Lambda (λ)=94,59%.

1.1.2 Modelo de Black-Scholes (BS)

El modelo BS es un método ampliamente utilizado para la valoración de opciones, el cual realiza varios supuestos sobre cómo evolucionan los precios del activo subyacente a lo largo del tiempo. El principal supuesto que establece el modelo BS es que el precio del activo sigue un paseo aleatorio. Esto significa que los cambios porcentuales en el precio del activo en un período corto de tiempo siguen una distribución normal [4].

El modelo BS supone que el precio del activo subyacente se comportaba de acuerdo con un movimiento browniano geométrico ¹ . Al realizar esta hipótesis, y utilizando las propiedades del cálculo diferencial estocástico, determinaron que cualquier derivado de tipo europeo cuyo subyacente tuviera el mismo comportamiento de este modelo debía satisfacer una cierta ecuación diferencial. La ecuación de Black-Scholes, como menciona Hull [4], se basa en las siguientes hipótesis de mercado: el precio S(t) del subyacente tiene una distribución lognormal; los precios del activo subyacente siguen una caminata aleatoria, asumiendo que un período corto de tiempo sigue una distribución normal, con parámetros μ y σ constantes; el precio del activo y el precio de la opción dependen de la misma fuente de incertidumbre; se puede formar un portafolio con el activo subyacente y una opción sobre éste para eliminar la incertidumbre; no se presentan costos de transacción, impuestos, o pago de dividendos en el caso de acciones; no existen oportunidades de arbitraje libres de riesgo; los inversionistas pueden prestar o pedir prestado al mismo interés libre de riesgo, r cuyo valor es constante; el portafolio debe obtener una rentabilidad igual a la tasa libre de riesgo.

Un modelo analítico para valorar las opciones europeas sobre monedas en el tipo de cambio spot es el conocido Garman-Kohlhagen. Dicho mode-lo, no sigue el mismo supuesto de Black-Scholes, que indica que es posible endeudarse y otorgar préstamos a la misma tasa libre de riesgo. En el mercado de divisas, las tasas libres de riesgo son diferentes en cada país y el diferencial que se genera entre las dos tasas afecta el tipo de cambio. Según lo anterior, el modelo Garman-Kohlhagen incluye estos dos tipos de interés: la tasa de interés en la moneda nacional, y la tasa de interés en la moneda extranjera, como parte de las variables que afectan la valoración de una opción sobre divisas [5].

Proponiendo una ecuación diferencial estocástica con todos los elementos mencionados, se obtiene como solución la ecuación 1.3 para valorar una opción de compra:

Aquí, N(*) es una función de la distribución acumulada de una normal estándar, donde los valores de d1 y d2 están dados por la ecuación 1.4:

Teniendo las siguientes variables: c es el precio de la opción de compra; S0 el precio del activo subyacente en la fecha de valoración; k es el precio de ejercicio de la opción; r es la tasa libre de riesgo local; rf es la tasa libre de riesgo del activo subyacente. Para el caso de divisas, se refiere a la tasa foránea; σ es el valor de la volatilidad de los rendimientos del activo subyacente; y T es el plazo al vencimiento de la opción.

Para la aplicación de la fórmula de valoración de las opciones de compra (call) se tomaron los datos descritos a continuación:

1.1.2.1 Tasa libre de riesgo

De acuerdo con la información publicada en la página de la Bolsa de Valores de Colombia para la negociación de derivados, se expone que: El valor de la tasa libre de riesgo corresponde a la tasa Cero Cupón del día de valoración para el plazo T expresada en forma continua.

Por su parte, según lo publicado por el Banco Mundial en su página de Internet, se tiene que la tasa de interés libre de riesgo es aquella a la que se emiten o negocian en el mercado público de valores las Letras del Tesoro Americano (Treasuries) a corto plazo.

Para el caso práctico, se consultaron las tasas de interés, tanto local como foránea, publicadas el 30 de octubre de 2015 para un plazo de 365 días.

1.1.2.2 Condiciones de la opción

La Tabla 1, muestra las condiciones de la opción de compra, incluyendo el cálculo de la volatilidad:

Tabla 1. Datos opción

Fuente: elaboración propia

1.1.3 Valor en Riesgo para derivados

Los métodos utilizados para medir el valor en riesgo de los derivados brindan información acerca de la velocidad de cambio de los parámetros y su exactitud. La velocidad se convierte en un factor importante cuando se tiene exposición a diferentes factores de riesgos lo que implica un gran número de correlaciones, como es el caso de las opciones, donde su valor se ve afectado por el cambio en el valor del subyacente, volatilidad implícita, tasa de interés o tiempo. Estas variables se manejan de forma más fácil con un enfoque que involucre las letras griegas, dados los componentes no lineales de las opciones [1].

Las letras griegas son llamadas así por su representación con letras del alfabeto griego. Se utilizan para cuantificar las exposiciones que contienen las opciones a los factores de riesgo. Cada una mide cómo el precio de la opción debería responder a un cambio en alguna variable, ya sea el precio del subyacente, la volatilidad implícita, la tasa de interés o el plazo.

Existen diversas variables externas que afectan el precio de una opción, cuyo efecto puede ser estudiado a través de las letras griegas, y que sirven, además, para establecer medidas de riesgo en los portafolios con opciones [6]. Las principales letras griegas se definen y calculan de la siguiente manera:

• Delta (δ): Se define como la variación que se presenta en el precio de la opción por una unidad de cambio en el precio del activo subyacente. Se conoce también como el coeficiente de cobertura, el cual indica el número de unidades del activo subyacente necesario para cubrir una posición en opciones. Se calcula a través de la derivada parcial del precio de la opción con relación al precio del activo subyacente. Utilizando la fórmula de valoración de Black-Scholes para una opción de compra se calcula con la ecuación 1.5:

También puede definirse el Delta (δ) de una opción como la probabilidad de ejercer la misma.

• Gamma (γ): Mide el efecto que la inestabilidad del mercado produce en el valor de Delta (δ). Por lo tanto, el Gamma (γ) de una opción mide la tasa de cambio del Delta (δ) cuando el precio de la acción varía una unidad. Matemáticamente se expresa como la segunda derivada del precio de la opción respecto a la variación en el precio del activo subyacente o la primera derivada de Delta (δ). En el caso de una opción de compra, el cálculo se realiza mediante la ecuación 1.6:

Siendo Z(d1) es el valor función de densidad de probabilidad de la distribución normal. Gamma (γ) es una medida de la sensibilidad de Delta (δ), si la última representa la velocidad de cambio, Gamma (γ) representa la aceleración de dicho cambio.

Para el caso de aplicación de este capítulo de libro, teniendo en cuenta el dato de volatilidad anual hallado, y de los datos relacionados en la Tabla 1, se obtuvieron los siguientes resultados de la Tabla 2 para las letras griegas:

Tabla 2: Resultados Delta y Gamma

Fuente: elaboración propia

1.2 METODOLOGÍAS DE VALOR EN RIESGO (VaR)

1.2.1 El VaR Delta-Gamma

Cuando se miden los riesgos asociados a un portafolio, los analistas pueden utilizar aproximaciones a los valores del portafolio, en lugar de tomar los rendimientos exactos del mismo. Para cubrir un portafolio de derivados con respecto al cambio del precio del activo subyacente, la aproximación Delta- Gamma es útil para hacer coincidir la sensibilidad de la cartera con la de los instrumentos de cobertura [7].

La aproximación Delta-Gamma establece que un cambio en el precio del derivado durante un período de tiempo determinado como consecuencia de la variación del precio del activo subyacente se puede aproximar por una función polinómica de segundo orden, cuyos coeficientes están dados por las sensibilidades principales de los derivados, como son Delta (δ) y Gamma (γ) [8].

La aproximación Delta-Gamma requiere el cálculo de la derivada de segundo orden, además el Delta (δ) y la rentabilidad de cada instrumento se calculan de la ecuación 2.1:

Donde: Δ(P) representa el cambio en el valor del portafolio; Δ(S) representa el cambio en el valor del activo subyacente; Delta (δ) es la primera derivada del precio de la opción respecto al precio del activo subyacente; Gamma (γ) es la derivada de segundo orden del instrumento con respecto al subyacente.

A partir de los rendimientos calculados usando la fórmula anterior, los rendimientos del portafolio se determinan y el cuantil requerido es elegido como el VaR. El método Delta-Gamma funciona razonablemente bien para los instrumentos no lineales simples, ya que la curvatura de la relación con el factor de riesgo del subyacente se puede aproximar con la medida de la convexidad.

Al aplicar los métodos de valoración local se pierden todos los tipos de riesgos, menos el riesgo Delta (δ). Se podría pensar en agregar términos que permitan incluir otros factores de riesgo, como, por ejemplo, el riesgo Gamma (γ), los cuales serían términos adicionales en la expansión de la serie de Taylor de los cambios en la función de valoración del portafolio, como menciona Riviera [9].

Donde Delta (δ) y Gamma (γ) son valores netos para el portafolio de opciones referidas al mismo activo subyacente: Delta (δ) es la tasa de cobertura de la opción; Gamma (γ) es la segunda derivada del valor del portafolio o convexidad.

El Comité Interbancario de Basilea, en los acuerdos de 1995, recomienda que mínimamente, los métodos internos de cálculo del riesgo deberían incorporar el comportamiento del precio de la opción a través de un enfoque de aproximación no-lineal que involucre sensibilidades del factor riesgo de orden superior, como, por ejemplo, Gamma (γ).

Bajo la hipótesis de que las variaciones del precio del activo subyacente siguen una distribución normal con media cero y desviación σ , se tendría que el valor crítico de ΔS (variación precio activo subyacente) estaría dado por la ecuación 2.2:

Para un nivel de confianza de α y un horizonte de tiempo T [10].

Cuando se aplica este resultado para el cálculo del VaR en una posición larga en una opción de compra, donde el riesgo esté determinado por la caída del precio del activo subyacente, es decir cuando ΔS* sea menor que cero, se tiene que la variación extrema del precio de la opción está dada por la ecuación 2.3:

Con la medición en valor absoluto del VaR, se tendría la ecuación 2.4:

Donde,

Zα corresponde al α-percentil de la distribución normal estándar, con parámetros (0,1); S es el precio del activo subyacente en la fecha de cálculo; σ es la volatilidad de los rendimientos del activo subyacente; T es el período de tiempo al que se calcula el VaR.

Para el caso práctico analizado se obtiene como resultado, con un nivel de confianza del 99%, que la máxima pérdida esperada obtenida a 10 días con la posición inicial en opciones sea de $20.455.687, correspondiente al 48,86% de la posición total.

1.2.2 Aproximación cuadrática

Cuando un portafolio incluye opciones, los modelos lineales son una aproximación. Estos no tienen en cuenta el Gamma (γ) del portafolio o posición. Se sabe que Delta (δ) se define como la tasa de cambio del valor del portafolio respecto a la variación de mercado del activo subyacente, mientras que Gamma (γ) se define como la tasa de cambio de Delta (δ) respecto a las variaciones del subyacente. Gamma (γ) mide la curvatura de la relación entre el valor del portafolio y la variación de mercado del subyacente (Hull [11]).

Cuando Gamma (γ) es positiva, la distribución de probabilidad de los cambios del valor de la opción tiende a ser sesgada positivamente; cuando Gamma (γ) es negativa, tiende a sesgarse negativamente. Una posición larga en una opción de compra (call) es un ejemplo de una posición con un Gamma (γ) positivo. De otro lado, una posición corta en una opción tiene un Gamma (γ) negativo. En este caso, se observa que una distribución normal para el precio del activo subyacente se mapea en una distribución sesgada negativamente para el valor de la posición en la opción [12].

Entre los métodos más aplicados a la medición del riesgo de mercado, se encuentran las aproximaciones. Es preciso considerar dos aproximaciones, una lineal y otra cuadrática, en la aplicación a un portafolio con opciones, para hallar los rendimientos y variaciones en el precio de todo el portafolio. Allí se incluye el precio del activo subyacente, la letra griega Delta (δ), que indica el cambio del precio de la opción respecto al cambio en el precio del activo subyacente, así como los rendimientos de la opción [13]. La aproximación lineal se presenta de la ecuación 2.5:

Donde,

ΔP representa la variación de un portafolio que contiene opciones; Si es el precio del activo subyacente i, en caso de contar con n activos diferen-tes; Delta (δi) es la variación del precio de la opción respecto al precio del subyacente para cada activoi; Δxi representa el cambio en los rendimientos del activo subyacente i.

Para el caso en donde solo se cuente con un activo subyacente, como es el caso analizado en el presente trabajo, donde se estudiarán las opciones sobre el activo subyacente tasa de cambio peso-dólar, se tiene la ecuación 2.6:

De otro lado, la aproximación cuadrática se genera a partir de la expansión de Taylor de segundo orden para los cambios en los precios, obteniendo la ecuación 2.7:

Donde, en el caso de tener en el portafolio un solo activo subyacente, se simplifica a la ecuación 2.8:

Las aproximaciones expuestas se utilizan de acuerdo con la composición del portafolio y la dependencia que exista entre sus instrumentos, ya sea con uno o más activos subyacentes.

Si se asume que los rendimientos del portafolio siguen una distribución normal multivariada con media cero, y una varianza para cada día analizado, entonces se podría asumir que las variaciones en el precio del portafolio también se distribuyen normalmente. Según estos supuestos, el VaR para t días y con un nivel de confianza de (1–α)* 100% se podría calcular mediante la ecuación 2.9:

Donde Zα es el percentil α de la distribución normal estándar. En caso de que la media no sea cero, se tendría como medida del VaR la ecuación 2.10:

Donde se calcula una media para el portafolio, correspondiente a la ecuación 2.11:

Asimismo, se calcula la volatilidad del portafolio con la ecuación 2.12:

Para la aplicación de aproximación cuadrática, y de acuerdo con los datos ya obtenidos, tomando un α = 1%, y partir de las estimaciones realizadas, se calcula el valor en riesgo a 10 días, obteniendo los siguientes resultados de la tabla 3:

Tabla 3: Result ado VaR bajo aproximación cuadrática

Fuente: elaboracíon propia

1.2.3 Expansión de Cornish-Fisher

La expansión de Cornish-Fisher [14], es una metodología que introduce una forma fácil y parsimoniosa de tomar en consideración los momentos de la distribución de los precios y retornos de un activo. Esta expansión brinda una relación simple entre los parámetros de asimetría y curtosis, y el valor en riesgo.

La expansión de Cornish-Fisher, también llamada VaR modificado o modificado Cornish-Fisher VaR, es un enfoque alternativo para el cálculo del VaR. Si el retorno de un portafolio no tiene una distribución Gaussiana entonces el método VaR clásico ya no será una medida eficiente del riesgo. El método de Cornish- Fisher es preciso cuando los rendimientos son cercanos a una distribución de Gauss. Este método tiene en cuenta los momentos más altos, es decir, la asimetría y la curtosis [15].

La asimetría es la inclinación de los rendimientos, y la curtosis es una medida de las colas pesada de los rendimientos. Los momentos de un portafolio pueden estimarse ya sea mediante el