Triangula nombro

Triangula nombro estas nombro de objektoj, kiun estas eble dismeti laŭ formo de egallatera triangulo. Evidente, ke $n$ -a triangula nombro estas sumo de $n$ komencaj naturaj nombroj.

La sinsekvo de triangulaj nombroj $T_{n}$ por $n=0,1,2,\ldots$ komenciĝas tiel:

0, 1, 3, 6, 10, 15, 21, 28, 36, 45, 55, 66, 78, 91, 105, 120 … — estas la sinsekvo (A000217 en OEIS).

Ecoj

La formuloj por $n$ -a triangula nombro:

$T_{n}={\frac {1}{2}}n(n+1)$ ;
$T_{n}=1+2+3+\dots +(n-2)+(n-1)+n=\sum _{j=1}^{n}j$ ;
$T_{n}={n+1 \choose 2}$ — estas binoma koeficiento;

Ekzemple, 2016 estas triangula nombro, ĉar:

T_{63}={\frac {63\cdot 64}{2}}=2016

.

La rikura formulo por $n$ -a triangula nombro:

T_{n}=T_{n-1}+n

.

Sumo de du sinsekvaj triangulaj nombroj estas kvadrata nombro, tio estas
: $T_{n}+T_{n-1}=n^{2}$ .

Ekzemple:

6 + 10 = 16

10 + 15 = 25

Ĉiu para perfekta nombro estas triangula^[1].
Ĉiun nenegativan entjeron eblas prezenti kiel sumo de ne pli ol tri triangulaj nombroj. La tezon unuafoje formulis Fermat en 1638 en sia letero al Mersenne, kaj ĝi estis pruvita en 1796 fare de Gauss
La entjero $m$ estas triangula se kaj nur se la nombro $8m+1$ estas kvadrata nombro.
La kvadrato de $n$ -a triangula nombro estas la sumo de kuboj de $n$ komencaj naturaj nombroj.
En la triaj diagonaloj de la triangulo de Pascal troviĝas triangulaj nombroj laŭ ordo.
La fama en mistiko la “nombro de la bestio” (666) estas 36-a triangula nombro. Ĝi estas plej malgranda triangula nombro, kiu estas sumo de kvadratoj de aliaj triangulaj nombroj: $666=15^{2}+21^{2}.$