Rango (matrico)

La rango de matrico estas la maksimuma kvanto de lineare sendependaj kolumnoj aŭ linioj de ĝi.

Ĝi estas kutime skribata kiel rang(A), rg(A) (germana, franca); rank(A), rk(A) (angla); rz(A) (pola).

La rango de m×n matrico estas maksimume min(m, n). Pri matrico kiu havas rangon egalan al min(m, n) oni diras ke ĝi estas de plena rango; alie, la matrico havas mankon de rango.

Pli ĝenerale, se lineara operatoro sur vektora spaco (eble malfinidimensia) havas finidimensia limigo (ekzemple, finia ranga operatoro), tiam la rango de la operatoro estas difinita kiel la dimensio de la limigo.

Difinoj

Kolumna rango - dimensio de kolumna spaco

La maksimuma kvanto k de lineare sendependaj kolumnoj c₁, ..., c_k de la m×n matrico A estas egala al la dimensio de la kolumna spaco de A. La kolumna spaco estas la subspaco de F^m generata per la kolumnoj de A, kiu estas fakte ĝuste la bildo de la lineara bildigo f difinita per A, vidu sube.

Linia rango - dimensio de linia spaco

Oni povas ankaŭ difini la rangon de A kiel la dimensio de la linia spaco de A, aŭ la kvanto k de linioj r₁, ..., r_k en bazo de la linia spaco.

Per dimensio de bildo

Se konsideri linearan bildigon difinitan surbaze de la matrico A kiel

f: F^m → Fⁿ

f(x) = Ax

tiam la rango de A povas ankaŭ esti difinita kiel la dimensio de la bildo de f. Ĉi tiu difino havas la avantaĝon ke ĝi povas esti aplikita al ĉiu lineara bildigo sen bezono por specifa matrico. La rango povas ankaŭ esti difinita kiel m minus la dimensio de la kerno de f. La rango-kerna teoremo statas ke ĉi tiuj du difinoj (per bildo kaj per kerno) estas ekvivalentaj.

Determinanta rango - amplekso de plej granda ne-nula minoro

Alia ekvivalenta difino de la rango de matrico estas kiel la plej granda ordo de ne-nula minoro de la matrico. Ordo de minoro estas amplekso de la kvadrata sub-matrico kies determinanto ĝi estas. Simile al la malkomponaĵa difino de rango, ĉi tiu ne donas kompetentan manieron de komputado de la rango, sed ĝi estas utila teorie, ekzisto de ne-nula minoro donas suban baron por la rango de la matrico, kio povas esti utila por pruvi ke certaj operacioj ne malpligrandigas la rangon de la matrico.

Malkomponaĵa rango

La rango povas ankaŭ esti karakterizita kiel la malkomponaĵa rango, la minimuma k tia ke A povas esti faktorita kiel A=CR, kie C estas m×k matrico kaj R estas k×n matrico. Simile al la karakterizado per dimensio de bildo, ĉi tio povas esti ĝeneraligita al difino de la rango de lineara bildigo: la rango de lineara bildigo f de V → W estas la minimuma dimensio k de intera spaco X tia ke f povas esti skribita kiel la komponaĵo de bildigoj V → X kaj X → W. Ĉi tiu difino ne donas kompetentan manieron komputi la rangon, sed ĝi permesas facile kompreni multajn propraĵojn de la rango, ekzemple tion ke la rango de la transpono de A egalas al la rango de A.

Ekvivalenteco de la difinoj

Komuna maniero estas trairi al pli simpla formo per la gaŭsa elimina maniero per rudimentaj liniaj operacioj, la liniaj operacioj ne ŝanĝas la linian spacon kaj do ne ŝanĝas la linian rangon, kaj, estante inversigeblaj, bildigas la kolumnan spacon al izomorfia spaco (do ne ŝanĝas la kolumnan rangon). En la formo post la gaŭsa eliminado, la rango linia rango klare egalas al la kolumna rango, kaj egalas la kvanto de kondukaj ne-nulaj elementoj de linioj.

La ekvivalenteco kun la determinanta difino (rango de plej granda ne-nula minoro) estas ĝenerale pruvata alie. Ĝi estas ĝeneraligo de la frazo ke se la spaco generata de n vektoroj havas dimension p, do p el tiuj vektoroj generas la spacon. Oni povas elekti generantan aron kiu estas subaro de la vektoroj. Por determinanta rango, la frazo estas ke se la linia rango kaj kolumna rango de matrico estas p, tiam oni povas elekti p×p submatricon kiu estas inversigebla: subaro de la linioj kaj subaro de la kolumnoj samtempe difinas inversigeblan submatrico. Ĝi povas esti alternative komencita tiel: se la generata spaco de n vektoroj havas dimension p, do p el ĉi tiuj vektoroj generas la spaco kaj estas p el la koordinatoj sur kiuj ili estas lineare sendependaj.

Reen, ekzisto de p×p submatrico kun ne-nula determinanto montras ke la linioj kaj kolumnoj de la submatrico estas lineare sendependa, kaj tial tiuj linioj kaj kolumnoj de la plena matrico estas lineare sendependa en la plena matrico, kaj do la linia kaj la kolumna rango estas minimume p.

Propraĵoj

Nur nula matrico havas rangon 0.

Identa n×n matrico havas rangon n.

La rango de matrico kun aldonitaj tute nulaj linioj aŭ kolumnoj egalas al rango de la fonta matrico.

Se A estas kvadrata n×n matrico super reelaj aŭ kompleksaj nombroj do:

A estas inversigebla se kaj nur se A havas rangon n (A havas plenan rangon).

Rango de A egalas al kvanto de ĝiaj ne-nulaj ejgenoj, kalkulante ilin kun la oblecoj.

A estu m×n matrico super reelaj aŭ kompleksaj nombroj; estu lineara bildigo f difinita per f(x) = Ax kiel pli supre. Tiam:

f estas disĵeto (enĵeto, enjekcio) se kaj nur se A havas rangon n (A havas plenan kolumnan rangon)

f estas surjekcio (surĵeto) se kaj nur se A havas rangon m (A havas plenan linian rangon).

f estas ensurĵeto se kaj nur se A estas kvadrata (m=n) kaj havas rangon n (A havas plenan rangon).

A kaj D estu m×n matricoj; B estu n×k matrico; C estu k×l matrico, ĉiuj kvar super reelaj aŭ kompleksaj nombroj. Tiam:

rank(A) ≤ min(m, n)

Subadicieco
rank(A+D) ≤ rank(A)+rank(D)

Tiel, matrico de rango p povas esti prezentita kiel sumo de p matricoj de rango 1, sed ne de malpli granda kvanto de matricoj de rango 1.

rank(AB) ≤ min(rank(A), rank(B))
Kiel ekzemplo de la "<" okazo estas la produto

${\begin{bmatrix}0&0\\1&0\\\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}0&0\\0&1\\\end{bmatrix}}$

Ambaŭ faktoroj havas rangon 1, sed la produto havas rangon 0.

Se B havas rangon n do
rank(AB) = rank(A)

Se A havas rangon n do
rank(AB) = rank(B)

La rango de A estas egala al r se kaj nur se ekzistas inversigebla m×m matrico X kaj inversigebla n×n matrico Y tiaj ke
$XAY={\begin{bmatrix}I_{r}&0\\0&0\\\end{bmatrix}}$

kie I_r estas la r×r identa matrico.

Ranga neegalaĵo de Sylvester:
rank(A)+rank(B)-n ≤ rank(AB)

La pruvo eblas per apliko de la rango-kerna teoremo al la neegalaĵo

dim(ker(AB)) ≤ dim(ker(A)) + dim(ker(B))

Ĉi tio estas speciala okazo de la sekva neegalaĵo.

La neegalaĵo de Frobenius:
rank(AB)+rank(BC) ≤ rank(B)+rank(ABC)

La pruvo eblas per tio ke bildigo

C: (ker(ABC) / ker(BC)) → (ker(AB) / ker(B))

estas bone-difinita kaj disĵeta (enjekcia). Oni tiel ricevas la neegalaĵon kun dimensioj de kernoj, kiu povas tiam esti konvertita en la neegalaĵon kun rangoj.

La rango-kerna teoremo - la rango de matrico plus la dimensio de kerno de la matrico egalas al kvanto de kolumnoj de la matrico.

Rango de matrico kaj de ĝia transpono estas egalaj
rank(A) = rank(A^T)

Rango de matrico kaj rango de ĝia respektiva grama matrico estas egalaj
rank(A) = rank(AA^T) = rank(A^TA)

Se rank(A)=p do A enhavas p×p submatricon kun ne-nula determinanto. En multiplikoj AA^T kaj A^TA, ĉi tiu submatrico estas multiplikata je si transponita, kaj formas denove p×p submatricon kun ne-nula determinanto.

Por reela matrico la propraĵo povas esti pruvita per egaleco de la kernoj. Kerno de la grama matrico estas donita per vektoroj x por kiu A^TAx=0. Se ĉi tiu kondiĉo estas vera, ankaŭ veras

0 = x^TA^TAx = (Ax)^TAx = |Ax|².

kaj do Ax=0. Reen estas pli simple, se Ax=0 do A^TAx=0.

Se ${\overline {A}}$ estas la laŭelementa kompleksa konjugito de A do
$\operatorname {rank} (A)=\operatorname {rank} ({\overline {A}})$

Se A^* estas la konjugita transpono de A do
rank(A) = rank(A^*) = rank(AA^*) = rank(A^*A)

Tio ke rank(A) = rank(A^*A) povas esti pruvita per egaleco de iliaj kernoj. Kerno de A^*A estas donita per vektoroj x por kiu A^*Ax=0. Se ĉi tiu kondiĉo estas vera, ankaŭ veras

0 = x^*A^*Ax = (Ax)^*(Ax) = |Ax|².

kaj do Ax=0. Reen estas pli simple, se Ax=0 do A^*Ax=0.

Kalkulado

La plej facila por kompreno maniero por komputi la rango de matrico A estas per la gaŭsa elimina maniero. La matrico post la gaŭsa eliminado de A havas la saman rangon kiel A, kaj ĝia rango estas la kvanto de ne-nulaj linioj.

Konsideru ekzemple la 4×4 matricon

A={\begin{bmatrix}2&4&1&3\\-1&-2&1&0\\0&0&2&2\\3&6&2&5\\\end{bmatrix}}

En ĝi la dua kolumno estas dufoje la unua kolumno, kaj la kvara kolumno egalas al sumo de la unua kaj la tria kolumnoj. La unua kaj la tria kolumnoj estas lineare sendependaj, do la rango de A estas 2. Ĉi tio povas esti konfirmita per la gaŭsa algoritmo. Ĝi produktas jenan matrico post la gaŭsa eliminado de A:

{\begin{bmatrix}1&2&0&1\\0&0&1&1\\0&0&0&0\\0&0&0&0\\\end{bmatrix}}

kiu havas du ne-nulajn liniojn.

Baza gaŭsa eliminado (LU malkomponaĵo) povas esti neesperinda kiam farata per flosanta punkto sur komputilo. Pli taŭga malkomponaĵa maniero devas esti uzata anstataŭe. Efika alternativo estas la singulara valora malkomponaĵo, sed estas ankaŭ la aliaj malpli multekostaj manieroj, inter ili QR malkomponaĵo kun elekto de konduka elemento, kiu estas ankoraŭ pli ciferece fortika ol gaŭsa eliminado.

Pro eraroj dum komputado kun flosanta punkto, tute ĝustaj nuloj kiel la rezultoj ne estas ricevataj ĉiam kiam ili devus esti post precizaj komputadoj. Pro ĉi tio cifereca komputado de rango postulas kriterion por decidado ĉu iu valoro, ekzemple singulara valoro, devas esti konsiderata kiel nulo. La praktika elekto dependas de ambaŭ la matrico kaj la apliko.

Aplikoj

La teoremo de Rouché kaj Capelli estas pri kvanto de solvaĵoj de sistemo de linearaj ekvacioj Ax=b. La sistemo estas nekonsekvenca se la rango de la pligrandigita matrico ${\begin{bmatrix}A&b\end{bmatrix}}$ estas pli granda ol la rango de la koeficienta matrico A. Se rangoj de ĉi tiuj du matricoj estas egalaj, do la sistemo devas havas almenaŭ unu solvaĵon. La solvaĵo estas unika se kaj nur se la rango egalas la kvanto de variabloj. Alie la ĝenerala solvaĵo havas k liberaj parametroj kie k estas la diferenco inter la kvanto de variabloj kaj la rango.

En fermitcikla regilo, la rango de matrico povas esti uzita al difini ĉu lineara sistemo estas regebla ka observebla.

Ĝeneraligoj

Estas malsamaj ĝeneraligoj de la koncepto de rango al matricoj super ajna ringo. En tiuj ĝeneraligoj, kolumna rango, linio rango, dimensio de kolumna spaco kaj dimensio de linia spaco de matrico povas esti malsamaj aŭ povas ne ekzisti.

Konsiderante la matricon kiel tensoro (matrico estas tensoro de ordo 2), la tensora rango estas ĝeneraligo al ajnaj tensoroj. Por tensoro de ordo pli granda ol 2, rango estas tre peza en komputado, malsimile al rando de matrico.

Estas komprenaĵo de rango por glataj mapoj inter glataj sternaĵoj. Ĝi egalas al la lineara rango de la derivaĵo.

Vidu ankaŭ

Eksteraj ligiloj

Kaw, Autar K, Enkonduko al Matrica Algebro: Vektoroj [1]; Sistemo de ekvacioj [2]
Mike Brookes, Matrica referenca manlibro [3]
Murase, I., Rimarko pri rango de matrico, La Amerika Matematiko Monate, klasĉambraj notoj, 1960, pp.176-177. Pruvo de tio ke la kolumna rango kaj la linia rango estas ĉiam egalaj inter si.
Andrea, S. A., kaj Wong, E. T., Linia rango kaj kolumna rango de matrico, Matematika Revuo, 1960, pp. 33-34. Pruvo de tio ke la kolumna rango kaj la linia rango estas ĉiam egalaj inter si.
Williams, V. C., kaj Cater, F. S., Pri la rango de matrico, Matematika Revuo, 1968, pp. 249-250.
Mackiw, G., Noto pri la egaleco de la kolumna kaj linia rangoj de matrico, Matematika Revuo, 1995, pp. 285-286.